Hiệu chỉnh bài toán tìm không điểm của toán tử accretive

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ HƯỜNG

HIỆU CHỈNH BÀI TOÁN TÌM

KHÔNG ĐIỂM CỦA

TOÁN TỬ ACCRETIVE

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG

Mã số: 60.46.01.12

Người hướng dẫn khoa học:

TS.NGUYỄN THỊ THU THỦY

THÁI NGUYÊN - NĂM 2013

Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc-tnu.edu.vn/

1

Mục lục

Mở đầu 2

1 Một số kiến thức bổ trợ 5

1.1 Một số cấu trúc hình học của không gian Banach . . . . 5

1.1.1 Không gian Banach lồi chặt và lồi đều . . . . . . 5

1.1.2 Không gian Banach trơn và trơn đều . . . . . . . 7

1.2 Toán tử accretive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.1 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.2 Ánh xạ không giãn . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.3 Toán tử accretive . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.4 Ánh xạ co rút không giãn . . . . . . . . . . . . . 13

1.3 Bài toán đặt không chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3.1 Khái niệm về bài toán đặt không chỉnh . . . . . . 14

1.3.2 Ví dụ về bài toán đặt không chỉnh . . . . . . . . 15

2 Hiệu chỉnh bài toán tìm không điểm của toán tử accretive

trong không gian Banach 17

2.1 Toán tử hiệu chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2 Một số bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3 Hiệu chỉnh bài toán tìm không điểm của toán tử accretive 21

Kết luận 30

Tài liệu tham khảo 31

Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc-tnu.edu.vn/

2

Mở đầu

Bài toán tìm không điểm của toán tử accretive trong không gian

Banach có nhiều ứng dụng quan trọng trong việc nghiên cứu phương

trình vi phân đạo hàm riêng trong không gian Lp hay không gian Sobolev

Wm

p

.

Trong đề tài luận văn, chúng tôi nghiên cứu bài toán: tìm phần tử

x0 ∈ X sao cho

A(x0) = f, (0.1)

ở đây A là một toán tử accretive từ không gian Banach phản xạ thực

X vào X, f là phần tử của X. Nếu không có thêm điều kiện đặt lên

cho toán tử A, chẳng hạn tính accretive đều hoặc accretive mạnh, thì

phương trình toán tử (0.1) nói chung là một bài toán đặt không chỉnh,

theo nghĩa nghiệm của nó không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu

A và f. Để giải loại bài toán này, ta cần sử dụng các phương pháp giải

ổn định so cho khi sai số của dữ kiện đầu vào càng nhỏ thì nghiệm xấp

xỉ tìm được càng gần với nghiệm đúng của bài toán ban đầu.

Trong [2] Alber và Ryazansteva đã nghiên cứu phương pháp hiệu

chỉnh Tikhonov dạng:

A(x) + α(x − x

+

) = fδ (0.2)

trong trường hợp toán tử A đơn điệu được cho chính xác, còn vế phải f

được cho xấp xỉ bởi fδ thỏa mãn kf − fδk ≤ δ, δ → 0, x

+ ∈ X là một

phần tử cho trước thuộc X tùy ý, α là một tham số dương. Với điều

kiện liên tục yếu theo dãy của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J của không

gian X, họ đã chứng minh sự tồn tại duy nhất nghiệm x

δ

α

của bài toán

(0.2), và nghiệm này hội tụ mạnh đến nghiệm x0 của bài toán (0.1) khi

α, δ/α → 0.

Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc-tnu.edu.vn/