Thư viện tri thức trực tuyến
Kho tài liệu với 50,000+ tài liệu học thuật
© 2023 Siêu thị PDF - Kho tài liệu học thuật hàng đầu Việt Nam
Hiệu chỉnh bài toán cân bằng theo phương pháp điểm gần kề
Nội dung xem thử
Mô tả chi tiết
§¹I HäC TH¸I NGUY£N
tr êng ®¹i häc s ph¹m
Ph¹m TuÊ n viÖt
hiÖu chØnh bµi to¸n c©n b»ng
theo ph ¬ng ph¸p ®iÓm gÇn kÒ
LuËn v¨n th¹c sü
chuyªn ngµnh to¸n gi¶i tÝch
Th¸i Nguyªn - N¨m 2011
1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
§¹I HäC TH¸I NGUY£N
tr êng ®¹i häc s ph¹m
Ph¹m TuÊ n viÖt
hiÖu chØnh bµi to¸n c©n b»ng
theo ph ¬ng ph¸p ®iÓm gÇn kÒ
Chuyªn ngµnh: To¸n Gi¶i TÝch
M· sè: 60.46.01
LuËn v¨n th¹c sü
chuyªn ngµnh to¸n gi¶i tÝch
ngêi híng dÉn khoa häc: GS.TSKH lª dòng mu
Th¸i Nguyªn - N¨m 2011
2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Môc lôc
Lêi nãi ®Çu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
Ch¬ng 1: KiÕn thøc chuÈn bÞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1 Kh«ng gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.1 ChuÈn cña kh«ng gian tuyÕn tÝnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2 TÝch v« híng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.3 Kh«ng gian Hilbert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.4 Mét sè vÝ dô vÒ kh«ng gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.5 TÝnh trùc giao vµ h×nh chiÕu trong kh«ng gian Hilbert . . . . . . 8
1.1.6 HÖ trùc chuÈn trong kh«ng gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.7 PhiÕm hµm tuyÕn tÝnh vµ song tuyÕn tÝnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.8 To¸n tö ®èi xøng hoµn toµn liªn tôc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 C¸c kiÕn thøc liªn quan ®Õn gi¶i tÝch låi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Ch¬ng 2: Bµi to¸n c©n b»ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1 Bµi to¸n c©n b»ng vµ sù tån t¹i nghiÖm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2 C¸c trêng hîp riªng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.1 Bµi to¸n c©n b»ng Nash trong trß ch¬i kh«ng hîp t¸c . . . . . 25
2.2.2 Bµi to¸n tèi u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27
2.2.3 Bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.4 Bµi to¸n bï phi tuyÕn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.5 Bµi to¸n ®iÓm bÊt ®éng Kakutani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.6 Bµi to¸n ®iÓm yªn ngùa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Ch¬ng 3: Ph¬ng ph¸p hiÖu chØnh ®iÓm gÇn kÒ . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.1 Ph¬ng ph¸p bµi to¸n phô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2 HiÖu chØnh theo ph¬ng ph¸p ®iÓm gÇn kÒ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3 Mét sè øng dông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.3.1 Tèi u låi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3.2 Bao hµm thøc ®¬n ®iÖu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3.3 VÊn ®Ò c©n b»ng Nash . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
KÕt luËn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Tµi liÖu tham kh¶o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Lêi nãi ®Çu
Bµi to¸n c©n b»ng ®· ®îc nghiªn cøu tõ l©u bëi c¸c c«ng tr×nh nghiªn
cøu cña Ky Fan, Browder, Oettli vµ mét sè t¸c gi¶ kh¸c. GÇn ®©y bµi to¸n
nµy cµng ®îc quan t©m nghiªn cøu c¶ vÒ mÆt ®Þnh tÝnh vµ ®Þnh lîng,
v× nh÷ng øng dông réng r·i cña vÊn ®Ò c©n b»ng. Trªn thùc tÕ, cã thÓ nãi
mäi sù vËt, hiÖn tîng trong cuéc sèng tù nhiªn, x· héi ®Òu híng ®Õn sù
c©n b»ng. §Æc biÖt trong thêi ®¹i th«ng tin hiÖn nay, mäi ho¹t ®éng ®Òu
cã liªn quan ®Õn nhiÒu ®èi t¸c vµ lîi Ých cña c¸c ®èi t¸c ®Òu phô thuéc
nhau, nhiÒu khi m©u thuÉn, ®èi kh¸ng nhau. Mét gi¶i ph¸p tèt cho ®èi t¸c
nµy l¹i cã thÓ kh«ng tèt cho ®èi t¸c kh¸c. Do ®ã ®Ó gi¶i quyÕt m©u thuÉn,
mét gi¶i ph¸p c©n b»ng thêng dÔ ®îc mäi ®èi t¸c chÊp nhËn.
VÒ mÆt to¸n häc, bµi to¸n c©n b»ng ®îc ph¸t biÓu kh¸ ®¬n gi¶n díi
d¹ng bÊt ®¼ng thøc Ky Fan. Tuy nhiªn nhiÒu bµi to¸n rÊt quan träng nhbµi to¸n tèi u, bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n, ®iÓm bÊt ®éng Kakutani, bµi to¸n
minimax, vµ nhiÒu m« h×nh c©n b»ng, t¨ng trëng kinh tÕ, giao th«ng vËn
t¶i v.v... ®Òu cã thÓ m« t¶ díi d¹ng bµi to¸n c©n b»ng.
Mét híng nghiªn cøu quan träng trong bµi to¸n c©n b»ng lµ vÊn ®Ò
hiÖu chØnh. HiÖu chØnh lµ mét kü thuËt c¬ b¶n ®Ó gi¶i quyÕt c¸c bµi to¸n
kh«ng cã tÝnh æn ®Þnh, theo nghÜa lµ c¸c sai sè nhá cña d÷ liÖu, cã thÓ dÉn
®Õn c¸c sai lÖch lín vÒ lêi gi¶i. Néi dung chÝnh cña kü thuËt hiÖu chØnh lµ
thay thÕ bµi to¸n kh«ng æn ®Þnh, khã gi¶i quyÕt, b»ng c¸c bµi to¸n æn ®Þnh
dÔ gi¶i quyÕt h¬n. Cã mét sè ph¬ng ph¸p hiÖu chØnh, trong ®ã hiÖu chØnh
theo ph¬ng ph¸p ®iÓm gÇn kÒ ®îc sö dông rÊt nhiÒu trong c¸c lÜnh vùc
kh¸c nhau. GÇn ®©y ph¬ng ph¸p hiÖu chØnh nµy ®îc më réng cho bµi
to¸n c©n b»ng.
Môc ®Ých cña b¶n luËn v¨n nµy lµ nh»m giíi thiÖu c¸c kiÕn thøc c¬
b¶n nhÊt vÒ bµi to¸n c©n b»ng trong kh«ng gian Hilbert. LuËn v¨n nhÊn
m¹nh vµo mèi liªn quan gi÷a bµi to¸n c©n b»ng vµ c¸c bµi to¸n ®· nªu ë
trªn. TiÕp ®Õn luËn v¨n tr×nh bµy ph¬ng ph¸p gi¶i bµi to¸n c©n b»ng theo
nguyªn lý bµi to¸n phô. Cuèi cïng, b¶n luËn v¨n tr×nh bµy vÊn ®Ò hiÖu
chØnh theo ph¬ng ph¸p ®iÓm gÇn kÒ ®îc ®Ò xuÊt bëi Moudafi cho bµi
to¸n c©n b»ng. Nguyªn lý bµi to¸n phô sÏ ®îc sö dông ®Ó gi¶i c¸c bµi
to¸n ®· ®îc hiÖu chØnh trong ph¬ng ph¸p ®iÓm gÇn kÒ.
B¶n luËn v¨n ®îc tr×nh bµy trong 3 ch¬ng:
Ch¬ng 1 dµnh ®Ó tr×nh bµy c¸c kiÕn thøc bæ trî vÒ kh«ng gian Hilbert,
c¸c kiÕn thøc vÒ gi¶i tÝch låi sÏ ®îc sö dông trong c¸c ch¬ng sau.
4
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn