Hệ số đối xứng của giản đồ Feynman và ứng dụng vào mô hình 3-3-1 tiết kiệm

bộ giáo dục & đào tạo viện hàn lâm

khoa học và công nghệ vn

viện vật lý

HÀ THANH HÙNG

hệ số đối xứng của giản đồ feynman và

ứng dụng vào mô hình 3-3-1 tiết kiệm

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán

Mã nghành: 62 44 01 01

Người hướng dẫn: GS. TS. Hoàng Ngọc Long

Luận án tiến sĩ

Hà Nội—2014

Lời cảm ơn

Trước tiên, tôi xin cảm ơn GS. TS. Hoàng Ngọc Long đã hướng dẫn

và động viên tôi rất nhiều, kể từ khi tôi tham gia khóa học thạc sĩ

và trong suốt thời gian tôi làm NCS. Tôi xin cảm ơn nhóm lý thuyết

trường của thầy Long đã tạo nhiều thuận lợi cho tôi cùng làm việc,

cùng học tập và cùng nghiên cứu trong thời gian tôi làm NCS và giúp

đỡ tôi hoàn thành luận án này.

Tôi xin cảm ơn các đồng nghiệp TS. Phùng Văn Đồng, TS. Lê

Thọ Huệ và TS. Nguyễn Huy Thảo đã hợp tác và đồng ý cho tôi sử

dụng các công bố chứa các kết quả mà luận án đã sử dụng.

Tôi xin cảm ơn Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, nơi tôi làm

việc đã có những hỗ trợ và động viên cần thiết trong thời gian tôi làm

NCS. Tôi xin cảm ơn phòng sau đại học-Viện Vật lý và Viện Vật lý đã

giúp đỡ tôi hoàn thành các thủ tục hành chính trong học tập nghiên

cứu và bảo vệ luận án.

Cuối cùng, tôi xin dành sự biết ơn tới gia đình đã động viên, chia

sẽ những khó khăn và ủng hộ và hỗ trợ vô điều kiện về mọi mặt để

tôi có thể yên tâm nghiên cứu và hoàn thành luận án này.

ii

Lời cam đoan

Tôi xin đảm bảo luận án này gồm các kết quả chính mà tôi đã thực

hiện trong thời gian làm nghiên cứu sinh. Cụ thể, phần mở đầu là

phần tổng quan giới thiệu những vấn đề trước đó liên quan đến luận

án, đồng thời đưa ra những động lực để thực hiện các kết quả chính

của luận án. Trong chương một tôi đã sử dụng kết quả nghiên cứu

mà tôi đã thực hiện cùng với thầy hướng dẫn và các đồng nghiệp TS.

Phùng Văn Đồng, TS. Lê Thọ Huệ, TS. Nguyễn Huy Thảo. Chương

hai tôi sử dụng các kết quả đã thực hiện cùng với thầy hướng dẫn và

TS. Phùng Văn Đồng.

Cuối cùng tôi xin khẳng định các kết quả có trong luận án "Hệ

số đối xứng của giản đồ Feynman và ứng dụng vào mô hình 3-3-1 tiết

kiệm" là kết quả mới không trùng lặp với các kết quả của các luận án

và công trình đã có trước đây.

iii

Mục lục

Lời cảm ơn ii

Lời cam đoan iii

Các ký hiệu chung vi

Danh sách các bảng vii

Danh sách hình vẽ viii

1 Hệ số đối xứng của giản đồ Feynman 6

1.1 Khai triển bậc cao trong lý thuyết trường . . . . . . . 6

1.1.1 Ma trận tán xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.2 Toán tử tiến triển thời gian (evolution operator) 7

1.1.3 Các định lý Wick . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.4 Hàm Green trong lý thuyết trường . . . . . . . 13

1.1.5 Hàm Green và yếu tố của S ma trận . . . . . . 19

1.2 Hệ số đối xứng của giản đồ Feynman . . . . . . . . . 19

1.2.1 Hệ số đối xứng của các giản đồ Feynman cho

trường vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.2.2 Hệ số đối xứng của giản đồ Feynman cho QED 32

1.2.3 Hệ số đối xứng cho QCD . . . . . . . . . . . . 37

2 Đối xứng Peccei-Quinn và khối lượng các quark trong

mô hình E331 41

2.1 Mô hình E331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.1.1 Sắp xếp các hạt trong mô hình E331 . . . . . . 41

2.1.2 Các boson chuẩn trong mô hình E331 . . . . . . 44

2.1.3 Các dòng trong mô hình E331 . . . . . . . . . . 46

2.1.4 Khối lượng các fermions trong mô hình E331 . . 48

iv

2.2 Đối xứng Peccei-Quinn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.2.1 Vấn đề Strong-CP . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.2.2 Đóng góp từ phép biến đổi U(1) chiral vào số

hạng vi phạm CP trong QCD . . . . . . . . . . 53

2.2.3 Xây dựng lý thuyết giải thích θ nhỏ . . . . . . . 56

2.2.4 Khử số hạng vi phạm CP . . . . . . . . . . . . 59

2.3 Đối xứng Peccei-Quinn trong mô hình E331 . . . . . . 61

2.4 Khối lượng các up- quark và down-quark trong mô hình

E331 ở bậc một vòng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Danh sách các công bố của tác giả 73

Tài liệu tham khảo 74

Phụ lục 84

A HSĐX của các giản đồ Feynman cho trường vô hướng

tính đến bậc ba của lý thuyết nhiễu loạn 85

B Các giản đồ Feynman trong QED được tính đến bậc 4

của lý thuyết nhiễu loạn. 91

C Các giản đồ của quá trình rã : µ

− → νµ + e

− + νfe tính

đến bậc 10 của lý thuyết nhiễu loạn 95

D Các tích phân 98

E Các bổ đính 99

v

Các ký hiệu chung

Trong luận án này tôi sử dụng các kí hiệu sau:

Tên Viết tắt

Mô hình chuẩn SM

Mô hình 3-3-1 tiết kiệm E331

Mô hình 3-3-1 với neutrinos phân cực phải 331RH

Hệ số đối xứng HSĐX

Giá trị trung bình chân không VEV

Đối xứng Peccei-Quinn PQ

Điện động lực học lượng tử QED

Điện động lực học lượng tử vô hướng sQED

Sắc động học lượng tử QCD

Liên hợp tích chẵn lẽ CP

Máy gia tốc năng lượng cao (Large Hadron collider) LHC

vi

Danh sách bảng

1.1 Phân loại các trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.1 Tích B và L cho các đa tuyến trong mô hình E331. . . 43

2.2 Số lepton khác không L của các trường trong mô hình

E331. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.3 Ba đối xứng chiral trong mô hình 3-3-1 tiết kiệm . . . 62

2.4 Các bổ đính ở bậc một vòng của các phần tử (MuU). . 67

vii

Danh sách hình vẽ

1.1 Ý nghĩa hình học của phương trình 1.17 . . . . . . . . 10

1.2 Quỹ đạo tích phân trong mặt phẳng k0 . . . . . . . . . 16

1.3 Mối liên hệ giữa yếu tố của S ma trận và hàm Green . 19

1.4 Các giản đồ bậc một của hàm hai điểm trong lý thuyết

φ

4

thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.5 Các giản đồ bậc hai của hàm hai điểm trong lý thuyết

φ

4

thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.6 Hàm truyền của trường vô hướng phức . . . . . . . . . 28

1.7 Các giản đồ bậc một của hàm hai điểm trong lý thuyết

ϕ

4 phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.8 Các giản đồ bậc hai của hàm hai điểm trong lý thuyết

ϕ

4 phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.9 Các đỉnh tương tác trong QED . . . . . . . . . . . . . 33

1.10 Các đỉnh tương tác trong sQED . . . . . . . . . . . . 36

2.1 Các đỉnh tương tác bảo toàn số lepton . . . . . . . . . 65

2.2 Các đỉnh tương tác vi phạm số lepton . . . . . . . . . . 65

2.3 Đỉnh tương tác giữa các Higgs . . . . . . . . . . . . . . 66

2.4 Bổ đính của giản đồ thứ 2 của (MuU)11 . . . . . . . . . 68

2.5 Các giản đồ cho đóng góp của số hạng C1 . . . . . . . 69

2.6 Các giản đồ cho đóng góp của số hạng C2 . . . . . . . 70

E.1 Các bổ đính cho phần tử (MuU)11 . . . . . . . . . . . . 99

E.2 Các bổ đính cho phần tử (MuU)12. . . . . . . . . . . . . 100

E.3 Các bổ đính cho phần tử (MuU)21. . . . . . . . . . . . . 101

E.4 Các bổ đính cho phần tử (MuU)22. . . . . . . . . . . . . 102

viii

Mở đầu

Lý do chọn đề tài

Trong vật lý hạt cơ bản, việc xác định đặc tính của các hạt mới

đã và đang là công việc rất quan trọng. Cùng với sự phát triển của

khoa học và kỹ thuật các máy gia tốc đang dần hoạt động ở mức năng

lượng cao hơn, nhiều mô hình vật lý tiếp tục được phát triển và mở

rộng để kiểm chứng các dự đoán. Một sự kiện mới gần đây, máy gia

tốc năng lượng cao LHC (Large Hadron Colidder) tại CERN-Thuỵ Sĩ

đã phát hiện ra một loại hạt vô hướng tương tự - Higgs với khối lượng

khoảng 125-126 GeV. Đây là hạt đã được dự đoán bởi SM, và cũng là

phần cuối cùng được tiến hành kiểm chứng. Việc xác định hạt Higgs

thuộc mô hình nào sẽ đóng vai trò là kim chỉ nam cho sự phát triển

của khoa học.

Việc kiểm chứng hạt vô hướng Higgs cũng như các quá trình vật

lý khác đòi hỏi rất nhiều về kỹ thuật thực nghiệm cũng như phương

pháp tính toán. ở mức cây, hầu hết các lý thuyết còn nhiều sai lệch

với thực nghiệm. Vì vậy, để có sự phù hợp lớn hơn giữa thực nghiệm

và lý thuyết, đòi hỏi tất yếu là phải tính toán các bổ đính bậc cao.

Đặc biệt, một số quá trình vật lý chỉ xuất hiện ở khai triển bậc cao

như: moment từ của neutrino, rã Higgs thành hai photon... Đây là vấn

đề đã nhận được nhiều sự quan tâm và hiện nay vẫn đang tiếp tục

được phát triển. Khai triển bậc cao trong lý thuyết trường cho chúng

ta xác định các bổ đính bậc cao, một phần rất quan trọng trong các

quá trình vật lý, nhưng không được kể đến ở mức cây (tree-level). Đặc

biệt, khi thực hiện khai triển bậc cao trong lý thuyết trường, các yếu

tố của giản đồ Feynman như: hàm truyền, đỉnh tương tác, hệ số đối

xứng sẽ được xác định một cách cụ thể, rõ ràng.

Các quá trình va chạm nói chung sẽ được đón nhận đầy đủ các

thông tin nếu chúng ta xác định được ma trận tán xạ. Cụ thể, mỗi

phần tử của ma trận tán xạ tương ứng với một hoặc nhiều giản đồ

1

Feynman. Một trong những yếu tố quan trọng ở đây là hệ số đối xứng

(HSĐX) của các giản đồ Feynman. Đây là vấn đề phức tạp được nhiều

người quan tâm. Kastening và các đồng nghiệp đã có một số công bố

về cách tính hệ số đối xứng cho các giản đồ Feynman dựa trên các

đặc điểm về các yếu tố hình dạng (topo) của các giản đồ [23]. Bên

cạnh đó, còn có nhiều chương trình sử dụng máy tính để tính hệ số đối

xứng của các giản đồ Feynman như, FeynArt [21], QGRAF [22]...Tuy

nhiên, các chương trình này gần như chỉ mới chú ý đến các trường

thực và các giản đồ liên kết mà chưa chú ý đến các trường phức và các

giản đồ chân không (vacuum diagrams) - các yếu tố có vai trò quan

trọng trong lý thuyết hiệu dụng và chuyển pha trong vũ trụ học. Bên

cạnh đó, chúng ta cũng phải kể đến công trình rất chi tiết [11] của

T.P.Cheng và L.F.Li, đã đưa ra HSĐX của một số giản đồ cho trường

vô hướng thực, nhưng còn hạn chế là chưa đưa ra công thức tổng quát

tính HSĐX. Ngoài ra, M.E.Peskin và D.V.Schroeder có kể đến sự thừa

số hóa chân không của các giản đồ nhưng chưa đưa ra được công thức

tổng quát để tính HSĐX [12]. Đặc biệt, gần đây C.D.Palmer và các

đồng tác giả đã công bố cách tính hệ số đối xứng của giản đồ Feynman

cho nhiều trường hợp: vô hướng, spinor QED, scalar QED, QCD [35].

Tuy nhiên, các tác giả trong [35] chỉ mới xét đến các giản đồ liên kết,

chưa xét đến các giản đồ chân không và chưa chỉ ra được cách xác

định hệ số hoán vị g giữa các đỉnh tương tác trong giản đồ.

Có nhiều cách tiếp cận khác nhau để xây dựng công thức tính

hệ số đối xứng của các giản đồ Feynman. Một số công bố sử dụng

phương pháp đạo hàm phiếm hàm (functional derivative method) để

tính HSĐX của các giản đồ [6, 7, 8, 9]. Còn các tác giả trong [10] lại

đưa ra cách tính HSĐX của các giản đồ ở bậc nhiễu loạn cao hơn dựa

trên HSĐX của các giản đồ ở bậc nhiễu loạn thấp hơn. Một số công bố

khác sử dụng cách khai triển bậc cao trong lý thuyết trường để đưa ra

cách tính hệ số đối xứng của các giản đồ Feynman [11, 12, 13, 14, 15].

Cách tiếp cận này rất đơn giản và trực quan, bằng cách khai triển T￾tích của các hàm Green, HSĐX của các giản đồ được đưa ra một cách

tự nhiên.

Thực tế, các quá trình vật lý xảy ra rất phong phú với sự xuất

hiện của nhiều trường khác nhau. Do vậy, việc xây dựng công thức xác

định hệ số đối xứng cho giản đồ Feynman có các trường khác nhau

là rất quan trọng. Phải nhấn mạnh rằng, chúng ta có kết quả vật lý

2

đúng chỉ khi có HSĐX của giản đồ chính xác. Trong luận án này, với

việc sử dụng kết quả từ [19] và [20], chúng tôi đã xây dựng công thức

xác định hệ số đối xứng tổng quát cho các giản đồ Feynman. Một

trong những kết quả rất ý nghĩa là định lý về HSĐX trong điện động

lực học lượng tử (QED). Đó là, HSĐX của các giản đồ liên kết trong

QED luôn bằng 1, kết quả này thực sự rất bổ ích khi áp dụng cho các

lý thuyết thống nhất các tương tác.

Một vấn đề mang tính thời sự bậc nhất trong khoa học hiện nay

là sự hoạt động trở lại của máy gia tốc LHC, với năng lượng các hạt

được gia tốc cỡ 14 TeV, và điều này cho chúng ta kỳ vọng vào các

hiện tượng vật lý mới. Mô hình chuẩn với nhiều thành công và những

tiên đoán chính xác tiếp tục định hướng cho sự phát triển của vật

lý hạt cơ bản. Tuy nhiên, các tồn tại của mô hình chuẩn như: giải

thích khối lượng và sự dao động của neutrino, giải thích nguồn gốc tự

nhiên của khối lượng các hạt, vì sao phải cần cơ chế Higss để sinh khối

lượng cho các hạt, giải thích sự phân bậc khối lượng giữa thang yếu

và thang Planck, giải thích sự không đối xứng của vật chất và phản

vật chất trong vũ trụ... là bằng chứng tin cậy cho thấy, mô hình chuẩn

(dựa trên nhóm đối xứng chuẩn SU(3)C

N

SU(2)L

N

U(1)Y ) là một lý

thuyết hiệu dụng của một lý thuyết tổng quát hơn. Để giải quyết các

vấn đề tồn tại của mô hình chuẩn, chúng ta đã phát triển các mô hình

chuẩn mở rộng. Các mô hình 3-3-1(mở rộng nhóm đối xứng chuẩn

thành SU(3)C

N

SU(3)L

N

U(1)X) đã phát triển theo hướng mở rộng

mô hình chuẩn và đạt được nhiều thành quả quan trọng. Các mô hình

3-3-1 đã giải thích một cách rất tự nhiên tại sao số thế hệ phải là 3 [16].

Đồng thời, các mô hình 3-3-1 còn giải quyết vấn đề lượng tử hóa điện

tích, khối lượng các neutrinos... Có hai phiên bản của mô hình 3-3-1,

việc phân chia này phụ thuộc vào phần lepton được đưa vào trong mô

hình. Phiên bản thứ nhất, gọi là mô hình 3-3-1 tối thiểu, được đề xuất

bởi Pisano, Pleitez và Frampton vào năm 1992 [99], trong đó, ta đưa

lepton mang điện phân cực phải vào đáy của ba tam tuyến lepton của

nhóm SU(3)L. Phiên bản này đòi hỏi ba tam tuyến và một lục tuyến

vô hướng Higgs để thực hiện phá vỡ đối xứng tự phát, sinh khối lượng

cho các fermions. Phiên bản thứ hai, được các tác giả Foot, Long và

Tuan đề xuất năm 1994, trong đó, thành phần thứ ba của các tam

tuyến lepton của nhóm SU(3)L là các neutrinos phân cực phải [17]. Mô

hình 3-3-1 tiết kiệm (E331) với hai tam tuyến Higgs [34], có số trường

3