Hạt nhân và đẳng hóa trong phạm trù các vị nhóm

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

——————————–

BÙI NHƯ THÀNH NHÂN

HẠT NHÂN VÀ ĐẲNG HÓA

TRONG PHẠM TRÙ CÁC VỊ NHÓM

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60.46.01.13

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2017

Công trình được hoàn thành tại

Trường Đại học Sư phạm - ĐHĐN

Người hướng dẫn khoa học: TS. TRƯƠNG CÔNG QUỲNH

Phản biện 1:

TS. Nguyễn Ngọc Châu.

Phản biện 2:

PGS.TS. Trần Đạo Dõng.

Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp

thạc sĩ Khoa học họp tại Trường Đại học Sư phạm - ĐHĐN vào ngày

28 tháng 01 năm 2018

Có thể tìm hiểu luận văn tại

- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Nghiên cứu về lý thuyết phạm trù đã có từ những năm đầu của thế kỉ

XX và nhiều nhà Toán học đã có được những kết quả đột phá. Tuy nhiên,

đây là lĩnh vực còn mới, nhiều vấn đề mở và hấp dẫn với những người yêu

thích Toán học.

Vị nhóm cùng với nhóm và nửa nhóm là những cấu trúc đơn giản của

đại số trừu tượng. Vị nhóm, cũng giống như các cấu trúc đại số khác, có

phạm trù riêng của nó, được gọi là Mon, trong đó các vật là các vị nhóm,

và các xạ là các đồng cấu vị nhóm.

Trong khuôn khổ của luận văn, ta nghiên cứu về các đặc trưng và tính

chất của hạt nhân và đẳng hóa trong phạm trù các vị nhóm, và cụ thể hơn

là trong các phạm trù con đầy đủ của nó, như phạm trù Cmon, cCMon,

rKMon, FMon; và ứng dụng của vị nhóm trong một số thiết bị trạng

thái hữu hạn. Chính vì thế, nhằm góp phần phát triển lý thuyết phạm trù

và những ứng dụng của nó, tôi chọn đề tài cho luận văn tốt nghiệp của mình

là: “Hạt nhân và đẳng hóa trong phạm trù các vị nhóm”.

2. Mục đích nghiên cứu

- Nghiên cứu về phạm trù vị nhóm và các phạm trù con.

- Nghiên cứu về các đặc trưng, tính chất của hạt nhân, đẳng hóa trong

phạm trù vị nhóm và các phạm trù con đầy đủ của nó (CMon, cCMon,

rKMon, FMon).

- Nghiên cứu về ứng dụng của vị nhóm trong một số thiết bị trạng thái

2

hữu hạn.

3. Đối tượng nghiên cứu

- Phạm trù vị nhóm và các phạm trù con đầy đủ của nó.

4. Phạm vi nghiên cứu

Hạt nhân và đẳng hóa với những tính chất và đặc trưng của nó.

Ứng dụng của vị nhóm trong một số thiết bị trạng thái hữu hạn.

5. Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu tư liệu: Nghiên cứu qua các bài báo khoa học của các vấn

đề liên quan đến đề tài, các giáo trình Toán, và các tài liệu trên Internet.

- Phương pháp nghiên cứu: Tổng hợp, phân tích và hệ thống các tài

liệu sưu tầm được để thực hiện luận văn.

- Trao đổi, thảo luận với người hướng dẫn, tham gia các buổi seminar.

6. Cấu trúc luận văn

Luận văn có cấu trúc như sau

Mở đầu

Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị

1.1 Phạm trù - Một số khái niệm cơ bản.

1.2 Phạm trù con đầy đủ CMon, cCMon, rKMon, FMon.

1.3 Vật khởi đầu - Vật tận cùng - Vật không - Xạ không.

1.4 Hạt nhân và đẳng hóa trong lí thuyết phạm trù.

1.5 Hạt nhân và đẳng hóa trong phạm trù các vị nhóm Mon.

3

1.6 Cái kéo lại - Cái đẩy đi.

1.7 Vị nhóm con đóng.

1.8 Nửa nhóm hỗn hợp.

1.9 Hỗn hợp tích tự do.

1.10 Tích tenxơ của vị nhóm.

Chương 2: Một số đặc trưng của hạt nhân và đẳng hóa

trong phạm trù Mon

2.1 Đẳng hóa trong phạm trù Mon.

2.2 Hạt nhân trong phạm trù Mon.

Chương 3: Một số đặc trưng của hạt nhân và đẳng hóa

trong phạm trù CMon, cCMon, rKMon, FMon

3.1 Hạt nhân trong phạm trù CMon.

3.2 Mối liên hệ giữa hạt nhân và đẳng hóa trong phạm trù cCMon.

3.3 Hạt nhân trong phạm trù rKMon.

3.4 Hạt nhân và đẳng hóa trong phạm trù FMon.

3.5 Ứng dụng của vị nhóm trong thiết bị trạng thái hữu hạn.

Kết luận

Tài liệu tham khảo

4

CHƯƠNG 1

MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, luận văn trình bày một số kiến thức về khái niệm

phạm trù, phạm trù Mon, các phạm trù con đầy đủ CMon, cCMon, rKMon,

FMon; cùng một số kiến thức liên quan. Các kiến thức trong chương này

được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [1], [2], [5], [9], [12], [13].

1.1. Phạm trù - Một số khái niệm cơ bản

1.1.1. Phạm trù - phạm trù con

Định nghĩa 1.1.1. (Phạm trù) Cho một phạm trù P tức là cho các

dữ liệu sau:

• Lớp P, các phần tử của P gọi là các vật, kí hiệu A, B, C, ...

• ∀A, B ∈ P, Mor[A, B] là tập hợp các xạ (hay cấu xạ) từ A đến

B.

Với mỗi f ∈ Mor [A, B], f được gọi là xạ (hay cấu xạ) từ A đến B.

Kí hiệu f : A → B hay A

f

−→ B.

• Với A, B, C ∈ P, cho ánh xạ

Mor [B, C] × Mor [A, B] → Mor [A, C]

(g, f) 7→ g ◦ f

g ◦ f được gọi là hợp thành của hai xạ f, g.

Định nghĩa 1.1.2. (Phạm trù con)

Phạm trù C được gọi là phạm trù con của phạm trù P nếu:

• Mọi vật của C đều là vật của P.

• ∀A, B ∈ C: Mor[A, B]

C ⊂ Mor[A, B]P

.

5

• Phép hợp thành trong C trùng với phép hợp thành trong P.

• ∀A ∈ C: xạ 1A trong C trùng với xạ 1A trong P.

1.1.2. Phạm trù các vị nhóm Mon

Định nghĩa 1.1.3. Phạm trù các vị nhóm Mon có:

• Vật là các vị nhóm.

• Xạ: Với hai vị nhóm bất kì A, B:

Mor [A, B] = {f : A → B |f là đồng cấu vị nhóm}.

• Hợp thành của 2 xạ chính là phép hợp thành của hai đồng cấu vị

nhóm.

1.2. Phạm trù con đầy đủ CMon, cCMon, rKMon, FMon

1.2.1. Phạm trù CMon

Phạm trù các vị nhóm giao hoán là phạm trù con của phạm trù Mon,

trong đó, các vật là các vị nhóm có tính giao hoán.

1.2.2. Phạm trù cCMon

Là phạm trù các vị nhóm giao hoán có tính giản ước, nó có các vật là

các vị nhóm giao hoán có tính giản ước.

Nếu vị nhóm M giản ước cả bên phải và bên trái, thì ta nói vị nhóm

đó có tính giản ước.

1.2.3. Phạm trù FMon

Là phạm trù các vị nhóm tự do, có các vật là các vị nhóm tự do.

1.2.4. Phạm trù rKMon

Là phạm trù các vị nhóm Krull thu gọn, nó có các vật là các vị nhóm

Krull thu gọn.

6

1.3. Vật khởi đầu - Vật tận cùng - Vật không - Xạ không

1.3.1. Vật khởi đầu - Vật tận cùng

Vật khởi đầu và vật tận cùng là hai khái niệm đối ngẫu.

a) Vật khởi đầu

Vật A gọi là vật khởi đầu trong phạm trù P nếu ∀X ∈ P tập

Mor[A, X] chỉ có đúng một phần tử.

b) Vật tận cùng

Vật A gọi là vật tận cùng trong phạm trù P nếu ∀X ∈ P tập

Mor[X, A] chỉ có đúng một phần tử.

1.3.2. Vật không

Vật vừa là vật khởi đầu, vừa là vật tận cùng thì được gọi là vật không.

Kí hiệu: 0.

1.3.3. Xạ không

• Trong phạm trù có vật không, xạ không là xạ phân tích được qua vật

không.

• Cho hai vật A, B trong phạm trù P có vật không. Khi đó 

∃!f : A → 0

∃!g : 0 → B

Vậy chỉ có duy nhất một xạ không từ vật A đến vật B, kí hiệu là 0AB,

hoặc 0 (trong trường hợp không gây nhầm lẫn).

• Hợp thành của hai xạ, trong đó có một xạ không, là xạ không.

1.4. Hạt nhân và đẳng hóa trong lí thuyết phạm trù

1.4.1. Đẳng hóa

Định nghĩa 1.4.1. Cho hai xạ α, β : A → B. Một xạ u : K → A được

gọi là cái đẳng hóa của hai xạ α, β nếu xạ u thỏa hai điều kiện:

(i) αu = βu.

7

(ii) ∀u

0

: K0 → A cũng thỏa αu0 = βu0

thì ∃!γ : K0 → K sao cho

u

0 = uγ.

Kí hiệu: u = Ker(α, β).

K A

K0

B

u

u

0

γ

α

β

1.4.2. Hạt nhân

Định nghĩa 1.4.2. Trong phạm trù có vật không, cho xạ f : A → B.

Hạt nhân của xạ f là xạ u : K → A thỏa hai điều kiện:

(i) fu = 0.

(ii) Nếu có xạ u

0

: K0 → A sao cho fu0 = 0 thì tồn tại duy nhất xạ

γ : K0 → K sao cho u

0 = uγ.

Kí hiệu: u = Kerf.

K A

K0

B

u f

u

0

γ

Nhận xét 1.4.3. Hạt nhân của xạ f chính là cái đẳng hóa của cặp xạ

(f, 0AB).

1.5. Hạt nhân và đẳng hóa trong phạm trù các vị nhóm Mon

1.5.1. Đẳng hóa trong phạm trù Mon

Trong phạm trù Mon và các phạm trù con của nó, cái đẳng hóa của

cặp xạ f, g : M → N là xạ ε : E → M, với

E = {x ∈ M : f(x) = g(x)}

8

và ε là ánh xạ nhúng.

E M N. ε

f

g

1.5.2. Hạt nhân trong phạm trù Mon

Hạt nhân của xạ f : M → N trong phạm trù Mon là cái đẳng hóa

của cặp xạ f : M → N và xạ không OMN : M → N. Cụ thể:

Ker(f) = {x ∈ M : f(x) = 1N } .

1.6. Cái kéo lại - Cái đẩy đi

1.6.1. Cái kéo lại

Định nghĩa 1.6.1. Cho cặp xạ α1 : A1 → A và α2 : A2 → A. Hình

vuông H1 được gọi là cái kéo lại của cặp xạ α1; α2 nếu thỏa hai điều kiện

sau:

P A2

A1 A

β2

β1

α1

α2

Hình vuông H1

P A2

A1 A

P

0

β2

β1

α1

α2

γ

β2

0

β1

0

Biểu đồ H2

(i) Hình vuông giao hoán: α1β1 = α2β2.

(ii) Với mọi cặp xạ β

0

1

: P

0 → A1 và β

0

2

: P

0 → A2 làm cho tứ giác ở biểu

đồ H2 giao hoán thì ∃!γ : P

0 → P sao cho 

β1γ = β

0

1

β2γ = β

0

2

.

1.6.2. Cái đẩy đi

Cái đẩy đi là khái niệm đối ngẫu của khái niệm cái kéo lại.

Định nghĩa 1.6.2. Cho cặp xạ p1 : A → A1 và p2 : A → A2. Hình

vuông H3 được gọi là cái dẩy đi của cặp xạ p1, p2 nếu thỏa hai điều kiện:

9

A A1

A2 Q

p1

p2

β2

β1

Hình vuông H3

A A1

A2 Q

Q0

p1

p2

β2

β1 β1

0

β2

0

γ

Biểu đồ H4

(i) Hình vuông giao hoán.

(ii) Với mọi cặp xạ β

0

1

: A1 → Q0

và β

0

2

: A2 → Q0

làm cho tứ giác ở biểu

đồ H4 giao hoán thì ∃!γ : Q → Q0

sao cho 

γβ1 = β

0

1

γβ2 = β

0

2

.

1.7. Vị nhóm con đóng

Định nghĩa 1.7.1. Cho U là vị nhóm con của vị nhóm M. Phần tử

d ∈ M được gọi là làm trội U nếu với mọi vị nhóm N và mọi đồng cấu vị

nhóm f, g : M → N thì ta có:

f(u) = g(u), ∀u ∈ U ⇒ f(d) = g(d).

Ta kí hiệu: DomM(U) = { d ∈ M |d làm trội M} .

Nhận xét 1.7.2. DomM(U) là vị nhóm con của M và U ⊆ DomM(U).

Định nghĩa 1.7.3. Vị nhóm con U của M được gọi là đóng nếu DomM(U) =

U.

Mệnh đề 1.7.4. Cho E là vị nhóm con đóng của M và f : M → N

là 1 đơn cấu. Khi đó ảnh f(E) của E đóng trong f(M). Hơn nữa, nếu

E1, E2 đóng trong M1, M2 thì E1 × E2 đóng trong M1 × M2.

Định nghĩa 1.7.5. Cho U là vị nhóm con của vị nhóm S và một phần