Hàm số và các vấn đề liên quan.

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Giáo viên hướng dẫn : Th.S Nguyễn Thị Sinh

Sinh viên thực hiện : Lê Thị Thái Huyền

Lớp : 09ST

- §µ N½ng, th¸ng 05 n¨m 2013 -

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

KHOA TOÁN

Đề tài:

GVHD : ThS. ĐOÀN NGỌC MINH TÚ

SVTH : LÊ QUANG PHÚ

Lớp: 26ĐNT

MSSV : 26NT569

HÀM SỐ VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN

GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh Hàm số và các vấn đề liên quan

SVTH: Lê Thị Thái Huyền Trang 1

MỤC LỤC

LỜI CÁM ƠN ................................................................................................. 3

MỞ ĐẦU......................................................................................................... 4

Chương I. LÝ THUYẾT CƠ SỞ ..................................................... 6

I. Hàm số ................................................................................................. 6

II. Khảo sát hàm số.................................................................................... 8

III.Các dạng hàm số thường gặp................................................................ 9

Chương II. CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN HÀM SỐ................ 11

A. Vấn đề 1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ VÀ

ỨNG DỤNG..................................................... ............. 11

A.1. Tính đơn điệu của hàm số ................................................................. 11

 Tìm giá trị của tham số để hàm số đồng biến (nghịch biến)

trên D ........................................................................................ 11

A.2. Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số ................................................. 14

 Dạng 1: Ứng dụng trong giải phương trình, bất phương trình, hệ

phương trình, hệ bất phương trình................................ 14

 Dạng 2: Ứng dụng trong chứng minh bất đẳng thức.................. 19

B. Vấn đề 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ ............................................ 24

 Dạng 1: Tìm giá trị của tham số m để (Cm): y = f(x, m) đạt cực

đại, cực tiểu tại x0 ......................................................... 24

 Dạng 2: Tìm giá trị của tham số m để (Cm): y = f(x, m) có n cực

trị thỏa mãn điều kiện cho trước (nếu có). ................... 26

 Dạng 3: Lập phương trình đường thẳng qua hai điểm

cực trị ............................................................................ 30

 Dạng 4: Tìm quỹ tích các điểm cực trị....................................... 32

GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh Hàm số và các vấn đề liên quan

SVTH: Lê Thị Thái Huyền Trang 2

C. Vấn đề 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT.......... 35

D. Vấn đề 4. ĐIỂM CỐ ĐỊNH........................................................... 42

 Dạng 1: Điểm cố định mà họ đường cong (Cm) đi qua .............. 43

 Dạng 2: Tập hợp điểm mà không có họ đường cong (Cm)

nào đi qua...................................................................... 45

 Dạng 3: Điểm có n đồ thị (Cm) đi qua ........................................ 47

E. Vấn đề 5. TIẾP TUYẾN VÀ TIẾP XÚC ..................................... 49

 Dạng 1: Tiếp tuyến tại M(x0; y0) ∈(C): y = f(x)......................... 49

 Dạng 2: Tiếp tuyến có phương cho sẵn...................................... 51

 Dạng 3: Tiếp tuyến qua một điểm.............................................. 53

 Dạng 4: Điều kiện tiếp xúc. Tính chất và số lượng

tiếp tuyến ..................................................................... 54

F. Vấn đề 6. BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH BẰNG

ĐỒ THỊ......................................................................... 59

G. Vấn đề 7. SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ....................... 69

 Dạng 1: Biện luận sự tương giao của hai đường........................ 69

 Dạng 2: Chứng minh (Cm): y = f(x, m) luôn tiếp xúc với một

đường cố định ............................................................... 72

KẾT LUẬN............ ........................................................................................ 77

TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................... 78

GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh Hàm số và các vấn đề liên quan

SVTH: Lê Thị Thái Huyền Trang 3

LỜI CẢM ƠN

Sau một thời gian nghiên cứu và được sự chỉ bảo, hướng dẫn tận tình

của cô giáo Nguyễn Thị Sinh, đến nay luận văn tốt nghiệp của em đã được

hoàn thành.

Em xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô giáo Nguyễn Thị

Sinh đã giúp đỡ em rất nhiều trong thời gian nghiên cứu và hoàn thành luận

văn tốt nghiệp của mình.

Xin chân thành cảm ơn quý thầy cô khoa Toán, thư viện đã giúp đỡ và

tạo điều kiện thuận lợi nhất để em hoàn thành luận văn tốt nghiệp này.

GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh Hàm số và các vấn đề liên quan

SVTH: Lê Thị Thái Huyền Trang 4

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Hàm số và ứng dụng của hàm số là một chủ đề xuyên suốt

trong quá trình giảng dạy và học tập bộ môn Toán ở trường Trung

học Phổ thông, với vai trò như một công cụ đắc lực, nhằm giải quyết

hiệu quả các bài toán của đại số, hình học và giải tích. Việc sử dụng

các đặc trưng của hàm số tỏ ra ưu việt khi đưa ra lời giải cho các bài

toán về phương trình, bất phương trình và hệ bất phương trình mà ít

có phương pháp khác cho lời giải ngắn gọn hơn.

Do đó, hầu hết các đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng hằng

năm đều khai thác triệt để các ứng dụng này bằng nhiều dạng toán

phong phú, đòi hỏi học sinh phải nắm được các đặc trưng và tính

chất của hàm số để đưa ra lời giải phù hợp.

“ Hàm số và các vấn đề liên quan” là đề tài được nghiên cứu

với mong muốn xây dựng một hệ thống các đặc trưng của hàm số và

phương pháp giải phù hợp với yêu cầu của từng loại bài tập, giúp cho

học sinh củng cố lại toàn bộ kiến thức về hàm số và là tài liệu bổ ích

cho sinh viên khoa Toán cũng như giáo viên phổ thông trong suốt

quá trình giảng dạy.

2. Phạm vi nghiên cứu

Đề tài “ Hàm số và các vấn đề liên quan” nghiên cứu giải

một số dạng toán trong chương trình phổ thông.

3. Cấu trúc của luận văn

Luận văn gồm hai chương:

Chương I: Lý thuyết cơ sở.

GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh Hàm số và các vấn đề liên quan

SVTH: Lê Thị Thái Huyền Trang 5

Chương này trình bày về khái niệm hàm số và các kiến thức cơ

sở về hàm số nhằm vận dụng cho chương II.

Chương II: Các vấn đề liên quan đến hàm số

Chương này trình bày 7 vấn đề liên quan đến hàm số, mỗi vấn

đề bao gồm nhiều phương pháp giải tối ưu, các dạng bài tập được

trình cách giải rõ ràng, logic và cung cấp một số bài tập tự giải được

tổng hợp từ đề thi đại học, cao đẳng của những năm trước.

GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh Hàm số và các vấn đề liên quan

SVTH: Lê Thị Thái Huyền Trang 6

Chương I. LÝ THUYẾT CƠ SỞ

I. HÀM SỐ

1. Định nghĩa

Giả sử X và Y là hai tập hợp tùy ý. Nếu có một quy tắc f cho tương

ứng mỗi x ∈ X với một và chỉ một y ∈ Y thì ta nói rằng f là một hàm từ

X vào Y, kí hiệu:

f: X → Y

x ⟼ y = f(x)

Nếu X, Y là các tập hợp số thì f được gọi là một hàm số. Trong luận

văn này chúng ta chỉ xét các hàm số thực của các biến số thực, nghĩa

là: �� ⊆ ��; �� ⊆ ��

X được gọi là tập xác định (hay miền xác định) của hàm số f.

(Trong luận văn này kí hiệu tập xác định của hàm số là D).

Số thực x ∈ X được gọi là biến số độc lập (gọi tắt là biến số hay đối

số. Số thực y = f(x) ∈ Y được gọi là giá trị của hàm số f tại điểm x. Tập

hợp tất cả các giá trị f(x) khi x lấy mọi số thực thuộc tập hợp X gọi là tập

giá trị (miền giá trị) của hàm số f và được kí hiệu là ����, (như vậy Tf =

{f(x)|x ∈ X} = f(X)).

2. Đồ thị của hàm số

Cho hàm số y = f(x) có tập xác định D, ta gọi tập hợp các điểm

(x; f(x)) với x ∈ D là đồ thị của hàm số y = f(x).

Việc biểu diễn các điểm (x; f(x)) thuộc đồ thị của hàm số y = f(x)

lên mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi là vẽ đồ thị hàm số.

3. Hàm số đơn điệu

a. Định nghĩa

GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh Hàm số và các vấn đề liên quan

SVTH: Lê Thị Thái Huyền Trang 7

Cho hàm số y = f(x) có tập xác định là D, khoảng (a; b) là tập con

của D. Khi đó ta có:

- Hàm số y = f(x) gọi là đồng biến (hay tăng) trên khoảng (a; b),

nếu với ∀x1, x2 ∈ (a; b), x1 < x2 ⇒ f(x1

) < ��(x2).

- Hàm số y = f(x) gọi là nghịch biến (hay giảm) trên khoảng (a; b)

nếu với ∀x1, x2 ∈ (a; b), x1 < x2 ⇒ f(x1

) > ��(x2).

Một hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng (a; b) thì ta nói

hàm số đơn điệu trên khoảng đó.

b. Định lý

b.1. Định lý 1: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên miền D.

- Nếu f′(x) ≥ 0, ∀x ∈ D thì hàm số đồng biến trên D.

- Nếu f′(x) ≤ 0, ∀x ∈ D thì hàm số nghịch biến trên D.

- Nếu f

′

(x) = 0, ∀x ∈ D thì hàm f là hàm hằng trên D.

b.2. Định lý 2: Nếu hàm số f đồng biến (nghịch biến) trên D thì

f

′

(x) ≥ 0, ∀x ∈ D ( ��′(��) ≥ ��, ∀�� ∈ ��)

c. Tính chất

- Nếu hàm số y = f(x) đồng biến (nghịch biến) trên khoảng (a; b)

thì hàm số y = f(x) + c (c là hằng số) cũng đồng biến (nghịch biến) trên

khoảng (a; b).

- Nếu hàm số y = f(x) đồng biến (nghịch biến) trên khoảng (a; b)

thì hàm số y = kf(x) cũng đồng biến (nghịch biến) trên khoảng (a; b) nếu

k > 0; hàm số y = kf(x) nghịch biến (đồng biến) trên khoảng (a; b) nếu

k < 0.

- Nếu hàm số y = f(x) và y = g(x) đồng biến (nghịch biến) trên

khoảng (a; b) thì hàm số y = f(x) + g(x) cũng đồng biến (nghịch biến)

trên khoảng (a; b).