Hàm số bậc ba

OÂN TAÄP VEÀ HAØM SOÁ BAÄC 3

(Trung taâm Luyeän thi ñaïi hoïc Vónh Vieãn)

Giaû söû : y = ax3

+ bx2

+ cx + d vôùi a ≠ 0 coù ñoà thò laø (C). y’ = 3ax2

+ 2bx + c, y” = 6ax + 2b

1) y” = 0 ⇔ x =

3a

−b

(a ≠ 0 )

x =

3a

−b

laø hoaønh ñoä ñieåm uoán. Ñoà thò haøm baäc 3 nhaän ñieåm uoán laøm taâm ñoái xöùng.

2) Ñeå veõ ñoà thò 1 haøm soá baäc 3, ta caàn bieát caùc tröôøng hôïp sau :

i) a > 0 vaø y’ = 0 voâ nghieäm ⇒ haøm soá taêng treân R (luoân luoân taêng)

ii) a < 0 vaø y’ = 0 voâ nghieäm ⇒ haøm soá giaûm (nghòch bieán) treân R (luoân luoân giaûm)

iii) a > 0 vaø y’ = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät x1, x2 vôùi x1 < x2

⇒ haøm soá ñaït cöïc ñaïi taïi x1 vaø ñaït cöïc tieåu taïi x2.

Ngoaøi ra ta coøn coù :

+ x1 + x2 = 2x0 vôùi x0 laø hoaønh ñoä ñieåm uoán.

+ haøm soá taêng treân (−∞, x1)

+ haøm soá taêng treân (x2, +∞)

+ haøm soá giaûm treân (x1, x2)

iv) a < 0 vaø y’ = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät x1, x2 vôùi x1 < x2

⇒ haøm ñaït cöïc tieåu taïi x1 vaø ñaït cöïc ñaïi taïi x2 thoûa ñieàu kieän x1 + x2 = 2x0 (x0 laø hoaønh ñoä ñieåm

uoán). Ta cuõng coù :

+ haøm soá giaûm treân (−∞, x1)

+ haøm soá giaûm treân (x2, +∞)

+ haøm soá taêng treân (x1, x2)

3) Giaû söû y’ = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät vaø y = k(Ax + B)y’ + r x + q vôùi k laø haèng soá khaùc 0;

thì phöông trình ñöôøng thaúng qua 2 ñieåm cöïc trò laø y = r x + q

4) (C) caét Ox taïi 3 ñieåm phaân bieät

⇔









<

=

) 0 2 ).y(x 1 y(x

2 ,x 1 y' 0 coù2 nghieäm phaân bieät x

5) Giaû söû a > 0 ta coù :

i) (C) caét Ox taïi 3 ñieåm phaân bieät > α

⇔















<

α <

= α < <

) 0 2 ).y(x 1 y(x

y( ) 0

2x 1 y' 0 coù2 nghieäm phaân bieät thoûa x

ii) (C) caét Ox taïi 3 ñieåm phaân bieät < α