Hàm lồi và ứng dụng trong chứng minh các bất đẳng thức.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

HUỲNH THANH LONG

HÀM LỒI VÀ ỨNG DỤNG TRONG

CHỨNG MINH CÁC BẤT ĐẲNG THỨC

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60.46.01.13

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2015

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS. CAO VĂN NUÔI

Phản biện 1: TS. NGUYỄN DUY THÁI SƠN

Phản biện 2: TS. HOÀNG QUANG TUYẾN

Luận văn được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt

nghiệp thạc sĩ Khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 19 tháng

12 năm 2015

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Lý thuyết về các tập lồi và hàm lồi có một vị trí quan trọng

trong toán học, các kết quả của giải tích lồi được áp dụng trong nhiều

lĩnh vực của lý thuyết các bài toán cực trị, tối ưu hóa, hình học, toán

kinh tế …

Hầu hết trong chương trình hình học ở phổ thông học sinh đã

hình thành các khái niệm về "tập lồi", giới hạn trong các hình lồi:

Tam giác, hình thang, hình bình hành, hình tròn, khối lăng trụ

…Trong đại số và giải tích tính lồi, lõm của hàm số được dùng để

khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.

Hàm lồi cùng với những tính chất của nó đóng vai trò quan

trọng trong việc xây dựng những bài toán mới. Sử dụng các kết quả

cơ bản về hàm lồi cho phép chúng ta thành công trong việc giải

nhiều lớp các bài toán sơ cấp như: Chứng minh bất đẳng thức, tìm

giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số. Với mong muốn khái quát một

số lớp bài toán với một lời giải có chung một ý tưởng, và những

chứng minh có đường lối rõ ràng cho các bất đẳng thức tổng quát từ

bất đẳng thức đã biết dựa trên hàm lồi, tác giả đã lựa chọn đề tài

“HÀM LỒI VÀ ỨNG DỤNG TRONG CHỨNG MINH CÁC BẤT

ĐẲNG THỨC ” làm luận văn thạc sĩ của mình.

2. Mục tiêu nghiên cứu

Mục tiêu nghiên cứu của luận văn này là về tập lồi, hàm lồi

và các tính chất của chúng, đặc biệt ứng dụng vào chứng minh các

bất đẳng thức.

2

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Tập trung nghiên cứu về tập lồi,

hàm lồi, nhất là hàm lồi theo nghĩa Schur và ứng dụng của chúng

trong giải toán bậc trung học phổ thông.

- Phạm vi nghiên cứu: Nội dung nghiên cứu của luận văn

được giới hạn trong phạm vi ứng dụng hàm lồi chứng minh bất đẳng

thức.

4. Phương pháp nghiên cứu

Trình bày tóm tắt lý thuyết, với các phương pháp chứng

minh định lý, hệ quả. Đưa ra phương pháp ứng dụng hàm lồi trong

chứng minh bất đẳng thức, thông qua tham khảo, phân tích, nghiên

cứu, tổng hợp các tài liệu chuyên đề, sách giáo khoa phổ thông, tài

liệu của giáo viên hướng dẫn, tài liệu trên mạng. Các kiến thức được

sử dụng thuộc các lĩnh vực: Giải tích lồi, Giải tích hàm, Đại số tuyến

tính...

5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Đề tài tiếp cận một số vấn đề trong vận dụng hàm lồi chứng

minh bất đẳng thức, phù hợp trong việc giảng dạy, bồi dưỡng học

sinh giỏi bậc trung học phổ thông. Có thể mở rộng nghiên cứu hàm

lồi theo nghĩa Schur. Luận văn là tài liệu tham khảo cho sinh viên,

giáo viên và những ai quan tâm đến lĩnh vực này.

6. Tổng quan về luận văn

Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được chia thành ba chương,

với những nội dung chính như sau:

Chương 1: Tập lồi.

Gồm các kiến thức cơ bản nhất, các định nghĩa, tính chất về

tập lồi, nón lồi, định lý Carathéodory làm cơ sở phục vụ cho nội

dung chương sau.

3

Chương 2: Hàm lồi.

Chương này bao gồm các khái niệm về hàm lồi, các định lý,

bất đẳng thức Jensen, từ các phép toán đến tính liên tục, khả vi cấp

hai của hàm lồi trong đó có mối liên quan của hàm lồi và ma trận

Hessian.

Chương 3: Áp dụng hàm lồi trong giải toán bậc trung học phổ thông.

Chương này trình bày ứng dụng của bất đẳng thức Jensen,

tính khả vi của hàm lồi trong chứng minh các bất đẳng thức. Đặc biệt

là định nghĩa, tính chất của hàm lồi theo nghĩa Schur và ví dụ minh

họa áp dụng tính chất này để chứng minh bất đẳng thức.

4

Chương 1

TẬP LỒI

1.1. ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT

Định nghĩa 1.1.1 Cho

X

là không gian tuyến tính, R

là tập các số

thực. Tập

A X 

được gọi là tập lồi, nếu:

  x y A ,

và

     R: 0,1  

thì

  x y A    (1 )

Chú ý: tập



được xem là tập lồi.

Định nghĩa 1.1.2. Đoạn nối x, y, kí hiệu:

x y, , được định nghĩa:

x y z z x y , (1 ) ,0 1            

Nhận xét: Tập

A

lồi, nếu

  x y A ,

thì

x y A ,   .

Định lý 1.1.1. Cho họ

A X I ,   

là các tập lồi, với

I

là tập chỉ

số bất kỳ. Khi đó,

I

A



cũng là tập lồi.

Định lý 1.1.2. Giả sử

A X i 

là các tập lồi,

,( 1,..., ) i   R i n

. Khi

đó,

1 1 2 2

1

...

n

n n i i

i

    A A A A



   

là tập lồi.

Định lý 1.1.3. Giả sử

Xi

là không gian tuyến tính, A X i i 

là các

tập lồi

( 1,..., ) i n 

. Khi đó,

1

n

i

i

A





là tập lồi trong

1

n

i

i

X



 .

Định lý 1.1.4. Cho

X Y,

là các không gian tuyến tính, T X Y : 

là toán tử tuyến tính. Khi đó,

i)

A X 

lồi

T A( )

lồi;

ii)

B Y 

lồi



nghịch ảnh

1

T B( ) 

của B là tập lồi.

Định nghĩa 1.1.3.

Véc tơ

x X 

được gọi là tổ hợp lồi của các véc tơ:

1 2 , ,..., n

x x x X 

nếu

1

0 ( 1,..., ), 1

n

i i

i

  i n



    

sao cho

1

n

i i

i

x x 



  .

5

Định lý 1.1.5. Giả sử tập

A X 

là lồi; các véctơ

1 2 , ,..., m

x x x A  .

Khi đó,

1

0,( 1,...., ); 1

m

i i

i

  i m



     , thì:

1

A

m

i i

i

 x



  . (A chứa

mọi tổ hợp lồi của

1 2 , ,..., m

x x x

).

Định nghĩa 1.1.4. Cho

A X 

, khi đó, giao của tất cả các tập lồi

chứa A được gọi là bao lồi của tập A, kí hiệu là

coA.

Nhận xét:

coA

là một tập lồi. Đó là tập lồi nhỏ nhất chứa A.

Định lý 1.1.6. A là tập lồi khi và chỉ khi

A coA  .

Định lý 1.1.7. coA trùng với tập tất cả các tổ hợp lồi của A

Tức là:

i i

i I

: , 0, λ =1, x i i i

i I

coA x x x A  

 

           

, I hữu hạn.

Hệ quả: Tập A lồi khi và chỉ khi A chứa tất cả các tổ hợp lồi của A.

Định nghĩa 1.1.5. Cho

A X  , khi đó: Giao của tất cả các tập lồi

đóng chứa A được gọi là bao lồi đóng của tập A, kí hiệu:

coA.

Nhận xét :

coA

là một tập lồi đóng. Đó là tập lồi đóng nhỏ nhất

chứa A.

Định lý 1.1.8. Bao lồi đóng của tập A trùng với bao đóng của bao

lồi A. Tức là

coA coA 

1.2. NÓN LỒI

Định nghĩa 1.2.1. Tập

K X 

, được gọi là nón có đỉnh tại 0 nếu:

    x K, 0 

ta có

x K  .

K được gọi là nón có đỉnh tại

0

x

nếu

K x  0

là nón có đỉnh tại 0.

Định nghĩa 1.2.2. Nón K có đỉnh tại 0 gọi là nón lồi nếu K là tập lồi,

có nghĩa là:

     x, y K, , > 0 x + y K     .

Định lý 1.2.1. Giả sử

K I , ( )   

là các nón lồi (có đỉnh tại

0

x

).

Khi đó:

K I , ( )   

là các nón lồi có đỉnh tại x0 .

Định lý 1.2.2. Tập

K X 

là một nón lồi có đỉnh tại 0 khi và chỉ khi

        x y x y K x K , , 0 , K   .

6

Hệ quả 1.2.2.1. Tập

K X 

là một nón lồi khi và chỉ khi K chứa tất

cả các tổ hợp tuyến tính dương của các phần tử của K . Tức là, nếu:

1 2 1 2 , ,..., ; , ,..., 0 n n x x x K     

thì:

1

n

i i

i

 x K



  .

Hệ quả 1.2.2.2. Giả sử A là tập bất kỳ trong X, K là tập tất cả các tổ

hợp tuyến tính dương của A. Khi đó K là nón lồi nhỏ nhất chứa A.

Định nghĩa 1.2.3. Giao của tất cả các nón lồi (có đỉnh tại 0) chứa tập

A và điểm 0 là một nón lồi và được gọi là nón lồi sinh bởi tập A, kí

hiệu là

KA

.

1.3. ĐỊNH LÝ CARATHÉODORY

Giả sử X là không gian hữu hạn chiều:

n X R 

Định lý 1.3.1. (Định lý Carathéodory đối với nón lồi). Giả sử

n A  , A 

(dimA=m), KA

là nón lồi sinh bởi tập A. Khi đó

mỗi điểm

x x A   0,

đều có thể biểu diễn dưới dạng:

1 1 2 2 ... m m x x x x       

, trong đó

0 , , ( 1, ) i i     x A i m

, các

điểm

1 2 , ,..., m

x x x

độc lập tuyến tính, và nói riêng

m n  .

Định lý 1.3.2. (Định lý Carathéodory đối với tập lồi).

Giả sử

n A R  . Khi đó mỗi điểm của tập

coA

là tổ hợp lồi của

không quá n +1 điểm khác nhau của A.