Hàm lồi, hàm lồi suy rộng và tính chất

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

Nguyễn Thị Hải Đường

HÀM LỒI, HÀM LỒI SUY RỘNG

VÀ TÍNH CHẤT

CONVEX FUNCTIONS AND GENERALIZATIONS

WITH THEIR PROPERTIES

Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG

Mã số: 60 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2014

Công trình được hoàn thành tại

Trường Đại học khoa học - Đại học Thái Nguyên

Người hướng dẫn khoa học: GS.TS. Trần Vũ Thiệu

Phản biện 1: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Phản biện 2: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Luận văn sẽ được bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại:

Trường Đại học khoa học - Đại học Thái Nguyên

Ngày 21 tháng 6 năm 2014

Có thể tìm hiểu tại

Thư viện Đại học Thái Nguyên

1

Mục lục

Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Chương 1. HÀM LỒI VÀ HÀM LÕM 4

1.1. TẬP LỒI VÀ TẬP LỒI ĐA DIỆN . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1. Định nghĩa tập lồi, bao lồi và nón lồi . . . . . . . 4

1.1.2. Tập lồi đa diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.3. Các phép toán bảo toàn tập lồi . . . . . . . . . . 8

1.2. HÀM LỒI (LỒI CHẶT) VÀ HÀM LÕM (LÕM CHẶT) . 8

1.2.1. Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.2. Tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.3. Hàm lồi khả vi và cách nhận biết hàm lồi . . . . . 15

1.2.4. Các phép toán bảo toàn hàm lồi . . . . . . . . . . 17

Chương 2. HÀM LỒI VÀ HÀM LÕM SUY RỘNG 21

2.1. HÀM TỰA LỒI VÀ HÀM TỰA LÕM . . . . . . . . . . 21

2.2. HÀM GIẢ LỒI VÀ HÀM GIẢ LÕM . . . . . . . . . . . 27

2.3. HÀM LỒI TẠI MỘT ĐIỂM . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.4. HÀM PHÂN THỨC AFIN . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.5. HÀM LÔGA-LỒI VÀ HÀM LÔGA-LÕM . . . . . . . . . 33

Chương 3. CỰC TRỊ CỦA HÀM LỒI VÀ HÀM LÕM SUY

RỘNG 36

3.1. CỰC TIỂU ĐỊA PHƯƠNG VÀ TOÀN CỤC . . . . . . . 36

3.2. CỰC TIỂU HÀM LỒI (CỰC ĐẠI HÀM LÕM) . . . . . 37

3.3. BÀI TOÁN TỐI ƯU TỰA LỒI . . . . . . . . . . . . . . 41

KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2

Lời nói đầu

Hàm lồi và hàm lõm có nhiều tính chất đặc biệt, đáng chú ý và được

sử dụng nhiều trong lý thuyết và ứng dụng thực tiễn, đặc biệt trong giải

tích lồi và tối ưu hóa. Chẳng hạn, cực tiểu địa phương của một hàm lồi

trên một tập lồi luôn là cực tiểu toàn cục, hàm lồi khả vi đạt cực tiểu

tự do tại điểm có đạo hàm bằng 0 hay hàm lồi đạt cực đại tại một đỉnh

của tập lồi đa diện ... Một số hàm lồi suy rộng cũng có các tính chất

tương tự. Vì thế hàm lồi và hàm lồi suy rộng là chủ đề hấp dẫn và luôn

thu hút sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu.

Mục tiêu của luận văn này là tìm hiểu và trình bày các khái niệm

và kết quả chính liên quan đến chủ đề về các hàm lồi, lõm và các hàm

lồi, lõm suy rộng: hàm tựa lồi, tựa lõm (tựa lồi chặt, tựa lồi mạnh, tựa

lõm chặt), giả lồi, giả lõm, giả lồi chặt, hàm lồi tại một điểm, hàm phân

thức afin, các tính chất đáng chú ý của chúng, đặc biệt là tính chất cực

trị và mối quan hệ giữa các hàm này. Các tính chất của hàm lồi và hàm

lồi suy rộng hay được dùng trong thiết lập các điều kiện tối ưu và trong

xây dựng các lược đồ tính toán giải các bài toán tối ưu có chứa các hàm

lồi và hàm lõm.

Luận văn được viết thành ba chương.

Chương 1 “Hàm lồi và hàm lõm” nhắc lại một số kiến thức cơ bản về

tập lồi, tập lồi đa diện và các phép toán bảo toàn tập lồi. Tiếp theo tập

trung trình bày khái niệm về hàm lồi, hàm lõm và một số tính chất cơ

bản như tính liên tục, đạo hàm theo hướng, dưới vi phân của hàm lồi,

hàm liên hợp, dấu hiệu nhận biết hàm lồi và các phép toán bảo toàn

hàm lồi, cho phép từ các hàm lồi đã có tạo ra nhiều hàm lồi mới. Nội

dung trình bày trong chương được minh họa bằng nhiều ví dụ và hình

vẽ cụ thể, cung cấp thêm các thông tin cần thiết giúp hiểu rõ hơn về tập

lồi và hàm lồi.

Chương 2 “Hàm lồi (lồi chặt) và hàm lõm (lõm chặt)” trình bày một

số lớp hàm lồi, hàm lõm suy rộng và các tính chất đáng chú ý của chúng.

Hàm tựa lồi (tựa lõm) là mở rộng trực tiếp của hàm lồi (hàm lõm).