Hàm R-lồi và ứng dụng

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

ĐẠ I HỌ C THÁ I NGUYÊN

TRƢỜ NG ĐẠ I HỌ C KHOA HỌ C

NGUYỄN MINH ĐỨC

HÀM r-LỒI VÀ Ƣ́ NG DỤ NG

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số: 60.46.36

LUẬ N VĂN THẠ C SĨTOÁ N HỌ C

NGƢỜI HƢỚ NG DẪN KHOA HỌ C

PGS.TS TẠ DUY PHƢỢ NG

THÁI NGUYÊN - NĂM 2011

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

MỤC LỤC

Trang

LỜI NÓI ĐẦU ..................................................................................................1

CHƢƠNG 1: HÀM r-LỒI ..............................................................................3

1.1 Một số khái niệm hàm lồi và hàm r-lồi ...................................................3

1.2 Tính chất của hàm r-lồi.........................................................................12

1.3 Tính khả vi của hàm r-lồi .......................................................................17

1.4. Quan hệ với hàm lồi suy rộng khác .......................................................20

CHƢƠNG 2: TỐI ƢU VỚI HÀM MỤC TIÊU r-LỒI...............................25

2.1 Bài toán tối ưu.........................................................................................25

2.2 Điều kiện tối ưu đối với bài toán có ràng buộc ......................................31

2.3 Điều kiện tối ưu và thuật toán giải bài toán tối ưu r-lồi.........................36

2.4 Ví dụ về tối ưu hàm r-lồi phi tuyến .......................................................45

KẾT LUẬ N .....................................................................................................48

TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................49

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

DANH MỤ C CHƢ̃ VIẾT TẮT

Stt Tƣ̀ viết tắt Nội dung

01 KKT Karush-Kuhn-Tucker

02 CP Bài toán tối ưu lồi khả vi

03 NLP Bài toán tối ưu phi tuyến

1

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

LỜI NÓI ĐẦU

Giải tích lồi với hai khái niệm cơ bản là tập lồi và hàm lồi đã phát triển

mạnh mẽ và cơ bản định hình trong những năm 70 của thế kỉ trước . Hàm lồi

là mở rộng của hàm tuyến tính và do đó nó cho phép nghiên cứu lớp các bài

toán tối ưu lồi , rộng hơn nhiều so với lớp bài toán tối ưu tuyến tính . Vì vậy

Giải tích lồi đóng vai trò quan trọng trong ứng dụng toán học vào các bài toán

tối ưu trong thực tế.

Tuy nhiên, các bài toán trong thực tế thường không nhất thiết là lồi. Vì

vậy, cần mở rộng khái niệm hàm lồi. Mangasarian, Hoàng Tụy,

Rockaffelar...là những người có đóng góp lớn trong nghiên cứu các lớp hàm

lồi suy rộng (lớp các hàm tựa lồi, giả lồi,...).

Avriel (1973) đã đưa ra một lớp hàm

r 

lồi, là sự mở rộng của lớp hàm lồi

và có một số tính chất tốt khi áp dụng cho bài toán tối ưu.

Luận văn Hàm

r 

lồi và ứng dụ ng có mục đích trình bày nội dung hai

bài báo của Avriel về hàm lồi và ứng dụng của nó trong tối ưu. Luận văn

gồm hai chương.

Chương 1 “Hàm

r 

lồi” trình bày các tính chất cơ bản của hàm

r 

lồi. Các tính chất của hàm

r 

lồi (khả vi hay không khả vi) cho thấy mối

quan hệ thú vị giữa các lớp hàm lồi và hàm lồi suy rộng với lớp hàm

r 

lồi.

Chương 2 “Tối ưu với hàm mụ c tiêu

r 

lồi” trình bày ứng dụng của

hàm

r 

lồi trong bài toán tối ưu với các hàm mục tiêu và hàm tham gia trong

hạn chế là các hàm

r 

lồi. Trình bày thuật toán và ví dụ giải bài toán tối ưu

với hàm

r 

lồi.

Do thời gian có hạn nên luận văn này mới chỉ dừng lại ở việc tìm hiểu tài

liệu, sắp xếp và trình bày các kết quả nghiên cứu đã có theo chủ đề đặt ra .

Trong quá trình viết luận văn cũng như trong xử lý văn bản chắc chắ n không

2

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

tránh khỏi có những sai sót nhất định . Tác giả rất mong nhận được sự góp ý

của các thầy cô và các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn.

Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy hướng dẫn, PGS-TS

Tạ Duy Phượng đã tận tình giúp đỡ trong suốt quá trình làm luận văn.

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu , Khoa Toán và Phòng Đào

tạo sau Đại học Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên , các thầy,

cô ở Viện Toán họ c đã tận tình giảng dạy và tạo mọ i điều kiện thuận lợ i cho

tác giả trong quá trình học tập tại trường.

Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu , Tổ Toán - Tin và các

thầy cô giáo Trường THPT Lương Ngọ c Quyến , nơi tác giả công tác , đã tạo

những điều kiện thuận lợ i để tác giả hoàn thành nhiệm vụ họ c tập.

Tác giả cũng xin bày tỏ sự quý mến và lòng biết ơn sâu sắc tới bố mẹ , gia

đình và người thân đã luôn khuyến khích , độ ng vi ên tác giả trong suốt quá

trình học cao học và viết luận văn này.

Thái Nguyên, tháng 7 năm 2011

Tác giả