Hàm legendre và các vấn đề liên quan

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

—————————

PHẠM THỊ NGỌC

HÀM LEGENDRE

VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số: 60.46.40

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2013

Luận văn được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS. Cao Văn Nuôi

Phản biện 1: PGS.TSKH. Trần Quốc Chiến

Phản biện 2: GS.TS. Lê Văn Thuyết

Luận văn được bảo vệ trước hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp

thạc sĩ Phương pháp Toán sơ cấp họp tại Đại học Đà Nẵng vào

ngày 25 tháng 5 năm 2013

*Có thể tìm hiểu luận văn tại:

-Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư phạm Đà Nẵng, Đại học Đà Nẵng

1

MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài

Có thể nói, lý thuyết số là một trong những ngành toán học

lâu đời nhất, được hầu hết mọi người sử dụng ở nhiều mức độ

khác nhau từ công việc thường ngày cho đến các tính toán khoa

học. Nó là một ngành của toán học lý thuyết nghiên cứu về tính

chất của số nói chung và số nguyên nói riêng. Những bài toán số

học luôn có mặt trong các đề thi chọn học sinh giỏi toán ở tất cả

các cấp học và ở hấu hết các nước trên thế giới.

Hàm Legendre là một trong những hàm cơ bản, đóng vai trò

quan trọng không những trong toán học mà còn nhiều ứng dụng

trong lĩnh vực vật lý và kỹ thuật.

Nhằm tìm hiểu hàm Legendre, ứng dụng của nó và các vấn

đề liên quan, tôi chọn đề tài luận văn thạc sĩ của mình là “Hàm

Legendre và các vấn đề liên quan”.

2. Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu sâu sắc hơn về hàm Legendre và các vấn đề liên quan.

Trên cơ sở đó tìm cách ứng dụng chúng để giải quyết một số bài

toán trong chương trình phổ thông, phục vụ cho việc giảng dạy

toán sau này.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu hàm Legendre, hàm ϕ Euler, số nguyên tố, số

Fermat, số Mersenne, và số hoàn hảo.

- Tìm hiểu, nghiên cứu ứng dụng và mối quan hệ giữa các hàm

trên.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của bản luận văn này gồm

khảo sát hàm Legendre, hàm ϕ Euler và các ứng dụng của chúng

đến tập các số nguyên tố.

5. Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu các tài liệu về lý thuyết số có liên quan đến nội

dung luận văn, và các ứng dụng của hàm Legendre, hàm ϕ Euler.

- Nghiên cứu tính chất của hàm Legendre, hàm ϕ Euler, số

nguyên tố, từ đó áp dụng cụ thể vào việc giải quyết một số bài

toán số học đặc biệt.

6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Xây dựng một giáo trình có tính hệ thống với thời lượng thu

gọn, có thể dạy được cho các học sinh chuyên toán bậc trung học

2

phổ thông.

Xây dựng một hệ thống các bài toán.

7. Cấu trúc luận văn

Luận văn được chia thành ba chương:

Chương 1: Các kiến thức cơ sở

Trình bày các kiến thức cơ sở liên quan như tính chia hết, số

nguyên tố và định lý cơ bản của số học, quan hệ đồng dư và lớp

thặng dư, ... làm cơ sở để xây dựng lý thuyết về hàm Legendre và

các vấn đề liên quan.

Chương 2. Hàm Legendre và các vấn đề liên quan

Chương này trình bày khá đầy đủ lý thuyết về hàm nhân tính,

hàm ϕ Euler, định lý Euler và định lý nhỏ Fermat, hàm Floor,

hàm Legendre, số Fermat, số Mersenne và số hoàn hảo. Trong

từng phần đều có các ví dụ minh họa cụ thể.

Chương 3. Các ứng dụng của hàm Legendre và các vấn đề liên

quan

Chương này áp dụng lý thuyết của chương hai để giải một số

bài toán và được chia làm ba dạng: các bài toán liên quan đến

hàm Legendre, các bài toán liên quan đến hàm ϕ Euler và các bài

toán về các số nguyên tố.

3

CHƯƠNG 1

CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ

1.1. TÍNH CHIA HẾT

Định nghĩa 1.1. ([8]) Giả sử a, b là các số nguyên và a 6= 0. Ta

nói a chia hết b (hoặc b chia hết cho a hoặc a là ước của b) nếu

tồn tại số nguyên c sao cho b = ac.

Nếu a chia hết b, ta kí hiệu a | b hoặc b

.

.

.a, nếu a không chia

hết b, ta kí hiệu a - b hoặc b 6

.

.

.a.

Mệnh đề 1.1. ([8]) Cho a, b, c là các số nguyên và a 6= 0. Ta có

các tính chất cơ bản sau:

(a) a | a (tính phản xạ);

(b) Nếu a | b và b | c thì a | c (tính bắc cầu);

(c) Nếu a | b và b 6= 0 thì |a| ≤ |b|;

(d) Nếu a | b và a | c thì a | (αb + βc) với mọi số nguyên α

và β;

(e) Nếu a | b và a | (b ± c) thì a | c;

(f) Nếu a | b và b | a thì |a| = |b|;

(g) Nếu a | b và b 6= 0 thì b

a

| b;

1.2 THUẬT TOÁN CHIA

Định lý 1.1. ([1]) Giả sử a, b là các số nguyên và b > 0. Khi

đó tồn tại duy nhất các số nguyên q và r sao cho

a = bq + r, 0 ≤ r < b.

Ta gọi q là thương và r là phần dư. Như vậy a chia hết cho b nếu

và chỉ nếu phần dư trong phép chia bằng 0.

1.3. SỐ NGUYÊN TỐ

Định nghĩa 1.2. ([8]) Số nguyên p > 1 được gọi là số nguyên tố

(hoặc nguyên tố) nếu không có số nguyên d với d > 1 và d 6= p để

d|p.

Định nghĩa 1.3. ([8]) Số nguyên n > 1 không là số nguyên tố

được gọi là hợp số.

Nhận xét 1.1.

Số 0 và số 1 không là số nguyên tố cũng không là hợp số.

Tất cả các số nguyên chẵn lớn hơn 2 đều là hợp số, và 2 là số

chẵn duy nhất (và nhỏ nhất) là nguyên tố. Tất cả các số nguyên

tố khác 2 là số lẻ, chúng không chia hết cho 2.

4

Ta thấy 2 và 3 là hai số nguyên tố liên tiếp duy nhất.

Bổ đề 1.1. ([1]) Mỗi số nguyên lớn hơn 1 đều có ước nguyên tố.

Để chứng minh Bổ đề 1.1 ta nhắc lại nguyên lý sau

Nguyên lý sắp thứ tự tốt. Mỗi tập không rỗng các số nguyên

dương đều có phần tử bé nhất.

Định lý 1.2. ([8]) Có vô số số nguyên tố.

1.4. ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ THUẬT TOÁN EU￾CLIDE

1.4.1. Ước chung lớn nhất

Định nghĩa 1.4. ([1]) Ước chung lớn nhất của hai số nguyên a

và b không đồng thời bằng 0 là số nguyên lớn nhất chia hết cả a

và b.

Ta dùng kí hiệu (a, b) để chỉ ước chung lớn nhất hai số

nguyên a và b.

Nhận xét 1.2.

Ước chung lớn nhất của các số nguyên không đồng thời

bằng không a1, a2, ..., an là số nguyên lớn nhất chia hết tất cả các

ai

, 1 ≤ i ≤ n. Ước chung lớn nhất của các số nguyên a1, a2, ..., an

kí hiệu là (a1, a2, ..., an).

(a, b) = (|a|, |b|) = (b, a) (a, b không đồng thời bằng 0) nên

ta chỉ quan tâm đến ước chung lớn nhất của các số nguyên dương.

(a, 0) = |a|, (a 6= 0).

Cho p là số nguyên tố nếu k là số nguyên dương lớn nhất

để p

k

| n thì ta kí hiệu là p

k

||n .

Định nghĩa 1.5. ([1]) Các số nguyên a và b không đồng thời bằng

0 được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu (a, b) = 1.

Mệnh đề 1.2. ([8])

(a) Nếu p là số nguyên tố, thì (p, m) = p hoặc (p, m) = 1.

(b) Nếu d = (m, n), m = dm0

, n = dn0

, thì (m0

, n0

) = 1.

(c) Nếu d = (m, n), m = d

0m00, n = d

0n

00

,(m00n

00) = 1, thì

d

0 = d.

(d) Nếu d

0

là ước chung của m và n, thì d

0

chia hết (m, n).

(e) Nếu p

x

||m và p

y

||n, thì p

min{x,y}

||(m, n). Hơn nữa, nếu

m = p

α1

1

...pαk

k

và n = p

β1

1

...p

βk

k

, αi

, βi ≥ 0, i = 1, ..., k, thì

(m, n) = p

min{α1,β1}

1

...p

min{αk,βk}

k

(f) Nếu m = nq + r, thì (m, n) = (n, r).

5

(g) Nếu ((m, n), p) = (m,(n, p)) = d thì (m, n, p) = d;

(h) Nếu d | ai

, i = 1, ..., s, thì d|(a1, ..., as);

(i) Nếu ai = p

α1i

1

...pαki

k

, i = 1, ..., s, thì

(a1, ..., as) = p

min{α11,...,α1k}

1

...p

min{αk1,...,αkk}

k

Nhận xét 1.3.

a1, a2, ..., an là nguyên tố cùng nhau nếu (a1, a2, ..., an) = 1.

(a1, a2, ..., an) = 1 không suy ra (ai

, aj ) = 1 với

1 ≤ i < j ≤ n.

Ví dụ, ta có (2, 3, 6) = 1 nhưng (2, 6) = 2.

Nếu a1, a2, ..., an thỏa mãn (ai

, aj ) = 1 với 1 ≤ i < j ≤ n,

ta nói a1, a2, ..., an là các số nguyên tố cùng nhau.

1.4.2. Thuật chia Euclide

Để tìm ước chung lớn nhất của hai số nguyên ta có thể sử

dụng thuật chia Euclide sau đây.

Định lý 1.3 ([1]) (Thuật chia Euclide). Giả sử r0 = a là số

nguyên, r1 = b là số nguyên lớn hơn 0. Ta thực hiện liên tiếp

thuật toán chia:

rj = qj+1rj+1 + rj+2, (1.1)

với qj+1, rj+2 là các số nguyên và 0 ≤ rj+2 < rj+1 và nhận được

dãy số giảm r1 > r2 > ... ≥ 0 cho đến khi lần đầu tiên nhận được

rn+1 = 0

(2 ≤ n ∈ Z, 0 < rj+2 < rj+1 nếu 0 ≤ j < n − 2). Khi đó (a, b) =

rn.

Nói cách khác, (a, b) là phần dư khác 0 cuối cùng trong dãy

phép chia (1.1).

1.5. ĐỊNH LÝ BÉZOUT

Định lý 1.4 (Bézout, ([8])). Giả sử m, n là hai số nguyên, n > 0

khi đó tồn tại các số nguyên x và y thỏa mãn mx + ny = (m, n).

Định lý Bézout có thể mở rộng cho nhiều số. Nếu (a1, a2, ..., an) =

d thì tốn tại x1, x2, ..., xn thỏa mãn a1x1 + a2x2 + ... + anxn = d.

Hệ quả 1.1. ([8]) Nếu a | bc và (a, b) = 1, thì a | c.

Hệ quả 1.2. ([1]) Nếu p | a1a2...an, trong đó p là số nguyên tố và

6

a1, a2, ..., an là các số nguyên dương, thì tồn tại i, 1 ≤ i ≤ n sao

cho p | ai

.

Hệ quả 1.3. ([8]) Cho a và b là hai số nguyên tố cùng nhau. Nếu

c là số nguyên thỏa mãn a | c và b | c, thì ab | c.

Hệ quả 1.4. ([8]) Cho p là số nguyên tố, và k là số nguyên với

1 ≤ k < p thì p | C

k

p

.

1.6. ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA SỐ HỌC

Định lý 1.5 (Định lý cơ bản của số học, ([1])). Mọi số nguyên

lớn hơn 1 đều biểu diễn được một cách duy nhất dưới dạng tích

các thừa số nguyên tố, trong đó các thừa số được viết theo thứ tự

không giảm.

Nhận xét 1.4.

Từ định lý trên, ta có mọi số nguyên n > 1 có thể được viết

duy nhất dưới dạng

n = p

α1

1

...pαk

k

, với p1, ..., pk là các số nguyên tố đôi một khác nhau

và α1, ..., αk là các số nguyên dương. Biểu diễn trên được gọi là

phân tích tiêu chuẩn của n hay biểu diễn chính tắc của n hoặc

dạng tiêu chuẩn của n.

Bổ đề 1.2. ([1]) Giả sử m, n là các số nguyên dương nguyên tố

cùng nhau. Khi đó, nếu d là một ước dương của mn, thì tồn tại

cặp duy nhất các ước dương d1 của m, d2 của n sao cho d = d1d2.

Ngược lại, nếu d1 và d2 là các ước dương tương ứng của m và n,

thì d = d1d2 là một ước dương của mn.

1.7. QUAN HỆ ĐỒNG DƯ VÀ LỚP THẶNG DƯ

1.7.1. Quan hệ đồng dư

Định nghĩa 1.6. ([1]) Cho m là số nguyên dương, a, b là các số

nguyên ta nói rằng a đồng dư với b theo modulo m nếu m là ước

của a − b.

Khi a đồng dư với b modulo m, ta viết a ≡ b (mod m). Nếu

a không đồng dư với b modulo m, ta viết a 6≡ b (mod m).

Định lý 1.6. ([1]) Quan hệ đồng dư modulo m là một quan hệ

tương đương trên tập Z, tức là có các tính chất:

(a) Tính phản xạ: a ≡ a (mod m);

(b) Tính đối xứng: Nếu a ≡ b (mod m) thì b ≡ a (mod m);

(c) Tính bắc cầu: Nếu a ≡ b (mod m) và b ≡ c (mod m),

thì a ≡ c (mod m).