Hàm giải tích các định lý picard.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

LÊ KHẮC HIỆU

HÀM GIẢI TÍCH

CÁC ĐỊNH LÝ PICARD

Chuyên ngành : Phương toán sơ cấp

Mã số : 60.46.40

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng – Năm 2015

Công trình đ c hoàn thành t i

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người h ng dẫn khoa học: TS. LÊ HOÀNG TRÍ

Ph n bi n : TS Cao V n Nuôi

Phản biện : GS. . Nguyễn Văn M u

Luận văn đã được bảo vệ tr c H i đồng chấm Luận văn tốt nghiệp

Thạc sĩ Khoa học họp tại Đại Học Đà Nẵng vào ngày ă

2015.

Có thể tìm hiểu Luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Trung tâm Học liệu, Đại học Đà Nẵng.

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Toán học là một môn khoa học muôn hình muôn vẻ. Tất cả các nghành

khoa học khác sinh ra và phát triển dựa trên sự phát triển của Toán học.

Sự phát triển của Toán học tiến triển theo sự phát triển về tư duy lôgic của

loài người. Việc giải quyết các bài toán trên không gian thực đã dần đưa

chúng ta đến với trường số phức. Trong Toán học, trường số phức đóng

một vai trò rất quan trọng. Tập hợp số phức là một tập số lớn nhất trong

các tập số mà chúng ta đã học. Vì vậy, việc nghiên cứu và giải quyết các

vấn đề trên trường số phức là hết sức phức tạp.

Để có thể hiểu đi sâu vào lĩnh vực nghiên cứu về trường số phức, chúng

ta cần nắm rõ hơn các định nghĩa, định lý, các khái niệm cơ bản... liên

quan và sau đó đến việc giải các bài toán trên trường số phức. Với sự hiểu

biết và tư duy hạn hẹp của mình về chuyên ngành toán, tôi cần học tập và

tìm hiểu nhiều hơn mới mong nắm được ý tưởng và phương pháp nghiên

cứu các bài toán liên quan đến trường số phức mà cụ thể hơn là giải tích

hàm trên trường số phức.

Với sự hướng dẫn của thầy Lê Hoàng Trí đã giúp cho tôi nhận diện

được phần nào về giải tích hàm. Nắm được một số nội dung về khái niệm

và định lý về giải tích hàm trên trường số phức. Do đó, tôi mạo muội nghĩ

đến việc mình có thể và nên đi sâu vào nghiên cứu về lĩnh vực này mà cụ

thể là các định lý Picard.

Vì những lý do trên, tôi xin chọn đề tài “HÀM GIẢI TÍCH VÀ CÁC

ĐỊNH LÝ PICARD”

2. Mục đích nghiên cứu

Nắm, hiểu được nội dung và chứng minh các định lý Picard.

2

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Hàm giải tích, định lý Picard nhỏ, định lý Picard lớn.

4. Nội dung nghiên cứu

Hàm giải tích, các điểm bất thường, các định lý, bổ đề, mệnh đề liên quan

và hai định lý Picard nhỏ, Picard lớn.

5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Về mặt khoa học, luận văn giúp người đọc có được một cái nhìn tổng

quan hơn về hàm giải tích trên trường số phức.

Về mặt thực tiễn, luận văn giúp mọi người, ít nhất là người viết luận

văn hiểu được sâu sắc hơn về trường số phức, cung cấp một số kiến thức

cho người đọc để có thể đi sâu hơn vào vấn đề nghiên cứu trường số phức.

6. Phương pháp nghiên cứu

Thu thập, phân tích tìm kiếm các tài liệu và thông tin liên quan đến

hàm giải tích và các vấn đề liên quan đến việc chứng minh được các định

lý Picard.

Trao đổi, thảo luận với giáo viên hướng dẫn để thực hiện đề tài.

Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, phần kết luận, mục lục, luận văn gồm 3 chương:

Chương 1: Những kiến thức cơ bản về số phức

Trong chương này, luận văn trình bày các kiến thức cơ bản về số

phức, dãy số phức, chuỗi số phức, hàm biến phức, đạo hàm của hàm biến

phức, hàm giải tích, và tích phân phức.

Chương 2: Các điểm bất thường

Trong chương này trình bày các khái niệm, định lý và hệ quả về các

điểm bất thường, phân loại các điểm bất thường.

Chương 3: Các định lý Picard

Chương này trình bày mục đích chính của luận văn là đi chứng minh

các định lý Picard một cách cụ thể.

3

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ SỐ PHỨC

1.1 SỐ PHỨC

1.1.1 Định nghĩa số phức

Định nghĩa 1.1.1.1. Số phức là số có dạng

z = x + iy (1.1)

Trong đó: x, y là các số thực

Tập hợp các số phức là C = z = x + iy; x, y ∈ R

Nếu y = 0 thì z = x: số thực là trường hợp riêng của số phức, nếu

x = 0 thì z = iy: số thuần ảo

Cho hai số phức: z1 = x1 + iy1, z2 = x2 + iy2, x1, y1, x2, y2 ∈ R.

z1 = z2 ⇔

(

x1 = x2

y1 = y2

(1.2)

Định nghĩa 1.1.1.2. Cho số phức z = x + iy, x, y ∈ R. Số phức liên hợp

phức của z, kí hiệu là:

z = x − iy (1.3)

Với mỗi số phức z bất kì, ta có: z = z

Định nghĩa 1.1.1.3. Cho số phức z = x + iy, x, y ∈ R. Môđun của số

phức z, kí hiệu là:

|z| =

p

x

2 + y

2

(1.4)

Với mỗi số phức z bất kì, ta có: |z| = |z|

4

1.1.2 Phép cộng

Cho hai số phức: z1 = x1 + iy1, z2 = x2 + iy2, x1, y1, x2, y2 ∈ R. Tổng

của z1 và z2 là số phức z thỏa mãn

z = z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2) (1.5)

1.1.3 Phép trừ

Số phức đối của số phức z = x + iy, x, y ∈ R là số phức −z = −x − iy.

Hiệu của hai số phức z1 và z2 là

z1 − z2 = (x1 − x2) + i(y1 − y2). (1.6)

1.1.4 Phép nhân

Tích của hai số phức z1 và z2 là số phức z thỏa mãn:

z = z1z2 = (x1x2 − y1y2) + i(x1y2 + x2y1). (1.7)

1.1.5 Phép chia

Định Nghĩa 1.1.5.1. Số phức nghịch đảo của số phức z, kí hiệu là z

−1

.

z

−1 =

1

z =

z

zz =

z

|z|

2

.

Định nghĩa 1.1.5.2. Thương của hai số phức

z1

z2

= z1z2

−1 =

z1z2

|z2|

2

. (1.8)

1.1.6 Căn bậc hai của số phức

Định nghĩa 1.1.6.1. Cho số phức w. Một số phức z được gọi là một căn

bậc hai của số phức w khi và chỉ khi z

2 = w.

1.1.7 Biểu diễn hình học

1.1.8 Argument của số phức

Cho số phức z = x + iy có tọa vị M.

Độ dài r =

−−→OM

 =

p

x

2 + y

2

là môđun của số phức z.

5

Góc lượng giác −→Ox, −−→OM

xác định sai khác k2π (k ∈ Z) được gọi là

argument của z. Kí hiệu là Arg(z).

1.1.9 Dạng lượng giác và căn của số phức

Định nghĩa 1.1.9.1. Cho một số phức z = x + iy, x, y ∈ R và ϕ là một

arg(z). Khi đó, số phức z được viết dưới dạng

z = r(cosϕ + isinϕ) (1.9)

được gọi là dạng lượng giác của số phức z.

1.1.10 Căn bậc n của số phức

Cho một số phức w = R(cos ϕ + isin ϕ) 6= 0 và một số nguyên n ≥ 2,

R

1

n



cos

1

n

(ϕ + k2π) + isin

1

n

(ϕ + k2π)



với 0 ≤ k ≤ n − 1 (1.10)

là những căn bậc n của w.

1.1.11 Dạng mũ của số phức

Dựa vào công thức Euler e

iϕ = cos ϕ + isin ϕ ta có thể biểu diễn số

phức dưới dạng số mũ như sau:

z = reiϕ (1.11)

với r = |z| và ϕ là một arg z.

1.1.12 Dãy trị phức - Chuỗi trị phức

Định nghĩa 1.1.12.1. Một ánh xạ

ϕ : N

∗ → C

zn = xn + iyn

(1.12)

gọi là dãy số phức và kí hiệu là (zn)n∈N∗.

6

Định lý 1.1.12.2. Cho dãy số phức (zn = xn + iyn)n∈N∗ và z0 = x0 + iy0.

Khi đó

lim

n→+∞

zn = z0 ⇔ lim

n→+∞

xn = x0 và lim

n→+∞

yn = y0. (1.13)

Định nghĩa 1.1.12.3. Cho dãy số phức (zn = xn + iyn)n∈N

. Tổng vô hạn

số hạng

X

+∞

n=0

zn = z0 + z1 + z2 + ... (1.14)

được gọi là chuỗi số phức.

Định nghĩa 1.1.12.4. Chuỗi hội tụ tuyệt đối

Chuỗi số phức

+

P

∞

n=0

zn gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi module

+

P

∞

n=0

|zn|

hội tụ. Rõ ràng chuỗi hội tụ tuyệt đối là chuỗi hội tụ.

1.2 ĐỊNH NGHĨA HÀM BIẾN PHỨC

1.2.1 Khái niệm về miền và biên của miền

Định nghĩa 1.2.1.1. Giả sử E là tập hợp điểm trong mặt phẳng phức

Oxy và z0 là một điểm thuộc E. Nếu tồn tại một số ε sao cho đĩa tròn

B(z0, ε) nằm hoàn toàn trong E thì z0 được gọi là điểm trong của tập E.

Định nghĩa 1.2.1.2. Biên của một tập: Điểm ζ thuộc E hay không thuộc

E được gọi là điểm biên của tập E nếu mọi ε, đĩa tròn B(ζ, ε) đều luôn

chứa những điểm thuộc E và không thuộc E. Tập hợp các điểm biên của

tập E được gọi là biên của tập E, kí hiệu là ∂E.

1.2.2 Định nghĩa hàm biến phức

Định nghĩa 1.2.2.1. Giả sử E là một tập hợp điểm trên mặt phẳng phức.

Nếu có một quy luật cho ứng với mỗi số phức z ∈ E một số phức xác định

w thì ta nói rằng w là một hàm số đơn trị của biến phức z xác định trên

E và ký hiệu:

w = f(z), z ∈ E. (1.15)

7

Tính chất 1.2.2.2. Cho hàm w = f(z) nghĩa là cho phần thực u và phần

ảo v của nó.

w = u(x, y) + iv(x, y) (1.16)

1.2.3 Phép biến hình thực hiện bởi hàm biến phức

Cho hàm biến phức w = f(z), z ∈ E. Lấy hai mặt phẳng phức Oxy

(mặt phẳng phức z ) và Ouv (mặt phẳng phức w ). Với mỗi điểm z0 ∈ E

ta có một điểm w0 = f(z0) trong mặt phẳng w. Cho nên về mặt hình học,

hàm w = f(z0) xác định một phép biến hình từ mặt phẳng z sang mặt

phẳng w. Điểm w0 được gọi là ảnh của z0 và z0 là nghịch ảnh của w0.

1.2.4 Hàm ngược

Định nghĩa 1.2.4.1. Cho hàm w = f(z) xác định trên tập E. Nếu ánh

xạ f là đơn ánh, nghĩa là nếu giá trị của hàm số tại hai điểm khác nhau

của tập E là khác nhau, thì hàm số được gọi là đơn diệp trên tập E.

Định nghĩa 1.2.4.2. Cho w = f(z) là một hàm đơn diệp trên E và F là

ảnh của E qua phép biến hình đơn diệp w = f(z). Với mỗi điểm w ∈ F

luôn xác định được duy nhất một điểm z ∈ E sao cho f(z) = w. Như vậy,

trên tập E xác định một hàm số z = ϕ(w) gọi là hàm ngược của hàm

w = f(z). Hàm ngược này cũng là một hàm đơn trị.

1.2.5 Giới hạn của hàm biến phức

Định nghĩa 1.2.5.1. Giả sử f(z) là hàm xác định trong lân cận của z0

(có thể trừ z0). Ta nói số phức A là giới hạn của f(z) khi z dần tới z0 nếu

và chỉ nếu khi |z − z0| −→ 0 thì |f(z) − A| −→ 0.

Ta kí hiệu: lim

z→z0

f(z) = A.

Định nghĩa 1.2.5.2. Ta nói số phức A là giới hạn của hàm w = f(z) khi

z dần ra vô cùng, nếu khi |z| −→ +∞ thì |f(z) − A| −→ 0.

Ta kí hiệu: lim

z→∞

f(z) = A.

8

Định nghĩa 1.2.5.3. Ta nói hàm w = f(z) dần ra vô cùng khi z dần tới

z0, nếu khi |z − z0| −→ 0 thì |f(z)| −→ +∞, kí hiệu: lim

z→z0

f(z) = ∞.

Định nghĩa 1.2.5.4. Ta nói hàm w = f(z) dần ra vô cùng khi z dần ra

vô cùng, nếu khi |z| −→ +∞ thì |f(z)| −→ +∞, kí hiệu: lim

z→∞

f(z) = ∞.

1.2.6 Hàm biến phức liên tục

Định nghĩa 1.2.6.1. Giả sử w = f(z) là một hàm số xác định trong một

miền chứa điểm z0. Hàm số f(z) được gọi là liên tục tại điểm z0 nếu và chỉ

nếu lim

z→z0

f(z) = f(z0).

Định nghĩa 1.2.6.2. Hàm w = f(z) liên tục tại mọi điểm trên miền G

thì được gọi là liên tục trên miền G.

1.2.7 Đạo hàm của hàm biến phức

Định nghĩa 1.2.7.1. Cho hàm w = f(z) xác định trong một miền chứa

điểm z = x+iy. Cho z một số gia ∆z = ∆x+i∆y. Gọi ∆w là số gia tương

ứng của hàm số f(z): ∆w = f(z + ∆z) − f(z).

f

′

(z) = lim

∆z→0

∆w

∆z

= lim

∆z→0

f(z + ∆z) − f(z)

∆z

. (1.17)

1.2.8 Điều kiện khả vi

Định lý 1.2.8.1. Nếu hàm w = f(z) = u(x, y) + iv(x, y) có đạo hàm tại

z, thì phần thực u(x, y) và phần ảo v(x, y) của nó có đạo hàm riêng tại

(x, y) và các đạo hàm riêng đó thỏa mãn hệ thức:

∂u

∂x =

∂v

∂y và ∂u

∂y = −

∂v

∂x (1.18)

Công thức (1.18) là điều kiện Cauchy - Riemann. Đây là điều kiện cần.

Ngược lại nếu các hàm số u(x, y) và v(x, y) có các đạo hàm riêng liên

tục, thoả mãn điều kiện Cauchy - Riemann thì hàm w = f(z) có đạo hàm

tại z = x + iy và được tính theo công thức:

f

′

(z) = ux

′ + ivx

′

(1.19)