Thư viện tri thức trực tuyến
Kho tài liệu với 50,000+ tài liệu học thuật
© 2023 Siêu thị PDF - Kho tài liệu học thuật hàng đầu Việt Nam
Toán giải tích: Hàm giải tích
Nội dung xem thử
Mô tả chi tiết
Snh lí: NÃu hàm w = f(z) = u(x, y) + jv(x, y) có ÿ¥o hàm t¥i z, thì ph«n thõc u(x, y)
và ph«n §o v(x, y) cëa nó có ÿ¥o hàm riêng t¥i (x, y) và các ÿ¥o hàm riêng ÿó tho§
mãn hË thíc:
x
v
y
u
;
y
v
x
u
w
w w
w
w
w w
w (5)
(5) là ÿiÅu kiËn Cauchy - Riemann. ây là ÿiÅu kiËn c«n.
Ngmçc l¥i nÃu các hàm sÕ u(x, y) và v(x, y) có các ÿ¥o hàm riêng liên téc, tho§ mãn
ÿiÅu kiËn C - R thì hàm w = f(z) có ÿ¥o hàm t¥i z = x + jy và ÿmçc tính theo công
thíc:
x x fc(z) uc jvc
ây là ÿiÅu kiËn ÿë.
Ta chíng minh ÿiÅu kiËn c«n: Gi§ sñ f’(z) t×n t¥i, ngh-a là gißi h¥n cëa tÍ sÕ:
>@ > @
x j y
u j v
x j y
u(x x, y y) u(x, y) j v(x x, y y) v(x, y)
x j y
u(x x, y y) jv(x x, y y) u(x, y) v(x, y)
z
w
' '
' ' ' '
' ' ' '
' '
' ' ' ' '
'
bµng f’(z) khi ' z o 0 theo mÑi cách. »c biËt khi ' z = ' x thì:
x
v j
x
u
z
w x x
'
' '
' '
'
Trong ÿó ' u = ' xu là sÕ gia riêng cëa u ÿÕi vßi x.
Cho ' x o 0, theo gi§ thiÃt thì và trái d«n tßi f’(z). Do ÿó và ph§i cÊng có gißi h¥n là
f’(z). Tï ÿó suy ra:
x
ux
'
' có gißi h¥n là
x
u
w
w
x
vx
'
' có gißi h¥n là
x
v
w
w
và:
x
v j
x
u f (z)
w
w w
w
c (6)
Tmkng tõ, khi ' z = ' y thì:
y
u
j
y
v
j y
u j v
z
w y y y y
'
' '
' '
' ' '
'
Cho ' z o 0 ta có:
y
u j
y
v f (z)
w
w w
w
c (7)
So sánh (6) và (7) ta có:
y
u j
y
v
x
v
CHlj NG 2: PHÉP BIÂN HÌNH B¦ O GIÁC
VÀ CÁC HÀM Sj C¨P Cj B¦ N
1
§1.1KHÁI NIÊM VÄ BIÂN HÌNH B¦ O GIÁC
1. Phép biÃn hình b§o giác:
a. Snh ngh-a: MÝt phép biÃn hình ÿmçc gÑi là b§o giác t¥i z nÃu nó có các tính
ch©t:
- B§o toàn góc gióa hai ÿmáng cong b©t kì ÿi qua ÿiÇm z (kÇ c§ÿÝ lßn và
hmßng)
- Có hË sÕ co dãn không ÿÙi t¥i ÿiÇm ÿó, ngh-a là mÑi ÿmáng cong ÿi qua z ÿÅu
có hË sÕ co dãn nhm nhau qua phép biÃn hình.
NÃu phép biÃn hình là b§o giác t¥i mÑi ÿiÇm cëa miÅn G thì nó ÿmçc gÑi là b§o giác
trong miÅn G.
b. Phép biGn hình thyc hiOn bgi hàm gi+i tích: Cho hàm w = f(z) ÿkn diËp,
gi§i tích trong miÅn G. Do ý ngh-a hình hÑc cëa f’(z) ta th©y rµng phép biÃn hình ÿmçc
thõc hiËn bãi hàm w = f(z) là b§o giác t¥i mÑi ÿiÇm mà f’(z) z 0.
NÃu chÍ xét trong mÝt lân c±n nhÓ cëa ÿiÇm z, thì phép biÃn hình b§o giác là
mÝt phép ÿ×ng d¥ng do tính ch©t b§o toàn góc. Các góc tmkng íng trong hai hình là
bµng nhau. M»t khác nÃu xem hË sÕ co dãn là không ÿÙi thì tÍ sÕ gióa hai c¥nh tmkng
íng là không ÿÙi.
Ngmçc l¥i ngmái ta chíng minh ÿmçc rµng phép biÃn hình w = f(z) ÿkn diËp là
b§o giác trong miÅn G thì hàm w = f(z) gi§i tích trong G và có ÿ¥o hàm f’(z) z 0.
2. BÙÿÅ Schwarz: Gi§ sñ hàm f(z) gi§i tích trong hình tròn | z | < R và f(0) = 0. NÃu
| z) | d M vßi mÑi z mà | z | < R thì ta có:
z , |z | R
R
M f(z) d
Trong ÿó ÿ·ng thíc x§y ra t¥i z1 vßi 0 < | z | < R chÍ khi z
R
Me f(z)
jD
, D thõc.
3. Nguyên lí ÿÕi xíng: Trmßc hÃt ta thïa nh±n mÝt tính ch©t ÿ»c biËt cëa hàm biÃn
phíc mà hàm biÃn sÕ thõc không có, ÿó là tính duy nh©t, ÿmçc phát biÇu nhm sau: Gi§
sñ hai hàm f(z) và g(z) cùng gi§i tích trong miÅn D và tho§ mãn f(z) = g(z) trên mÝt
cung L nào ÿó nµm trong D, khi ÿó f(z) = g(z) trên toàn miÅn D.
Gi§ sñ D1 và D2 nµm kÅ nhau và có biên chung là L
z
x
y
L
D2
Gi§ sñ f1(z) gi§i tích trong D1 và f2(z) gi§i tích trong D2. NÃu f1(z) = f2(z) trên L thì ta
gÑi f2(z) là thác triÇn gi§i tích cëa f1(z) qua L sang miÅn D2. Theo tính duy nh©t cëa
hàm gi§i tích nÃu f3(z) cÊng là thác triÇn gi§i tích cëa f1(z) qua L sang miÅn D2 thì ta
ph§i có f3(z) = f2(z) trong D2. Cách nhanh nh©t ÿÇ tìm thác triÇn gi§i tích cëa mÝt hàm
cho trmßc là áp déng nguyên lí ÿÕi xíng sau ÿây:
Gi§ sñ biên cëa miÅn D1 chía mÝt ÿo¥n th·ng L và f1(z) biÃn b§o giác D1 lên B1
trong ÿó L chuyÇn thành ÿo¥n th·ng T thuÝc biên cëa B1. Khi ÿó t×n t¥i thác triÇn gi§i
tích f2(z) cëa f1(z) qua L sang miÅn D2 nµm ÿÕi xíng vßi D1 ÿÕi vßi L. Hàm f2(z) biÃn
b§o giác D2 lên B2nµm ÿÕi xíng vßi B1 ÿÕi vßi T và hàm:
°¯
°
®
-
2 2
1 2
1 1
f (z) trong D
f (z) f (z) L
f (z) trong D
f(z)
biÃn b§o giác D thành B.
Nguyên lí ÿÕi xíng thmáng dùng ÿÇ tìm phép biÃn hình b§o giác hai miÅn ÿÕi
xíng cho trmßc.
§2.1CÁC PHÉP BIÂN HÌNH QUA CÁC HÀM Sj C¨P
1. Phép biÃn hình tuyÃn tính: Xét hàm tuyÃn tính w = az + b trong ÿó a, b là các
hµng sÕ phíc. Gi§ thiÃt a z 0. NÃu a = | a |ejD thì w = | a |ejDz + b. Phép biÃn hình tuyÃn
tính là b§o giác trong toàn m»t ph·ng phíc vì f’(z) = a z 0 z • C. Hàm tuyÃn tính có
thÇ coi là hçp cëa 3 hàm sau:
- ] = kz (k = | a | > 0)
- Z = ejD
.] (D = Arga)
O
D
]
z
y
x
Z
w - w = Z + b
NÃu biÇu diÉn các ÿiÇm ], Z, w trong cùng mÝt m»t
ph·ng thì dõa vào ý ngh-a hình hÑc cëa phép nhân và
phép cÝng các sÕ phíc ta suy ra rµng:
- ÿiÇm ] nh±n ÿmçc tï ÿiÇm z bµng phép co d¯n
vßi hË sÕ k
- ÿiÇm Z nh±n ÿmçc tï ÿiÇm ] bµng phép quay
tâm O, góc quay D.
- ÿiÇm w nh±n ÿmçc tï ÿiÇm Z bµng phép tÏnh
tiÃn xác ÿÏnh bãi vec tk biÇu diÉn sÕ phíc b.
Nhm v±y muÕn ÿmçc §nh w cëa z ta ph§i thõc hiËn liên tiÃp mÝt phép co dãn,
mÝt phép quay và mÝt phép tÏnh tiÃn. Tích cëa 3 phép biÃn hình trên là mÝt phép
ÿ×ng d¥ng. V±y phép biÃn hình tuyÃn tính là mÝt phép ÿ×ng d¥ng. Nó biÃn mÝt hình
b©t kì thành mÝt hình ÿ×ng d¥ng vßi hình ©y. »c biËt, §nh cëa mÝt ÿmáng tròn là mÝt
ÿmáng tròn, §nh cëa mÝt ÿmáng th·ng là mÝt ÿmáng th·ng.
Ví dé: Tìm hàm w = f(z) biÃn hình tam giác vuông cân A(3+ 2j), B(7 + 2j), C(5 + 4j)
thành
O1
B1
C1
y
x
O
A B
C
y
3 7 x
2
Vì các tam giác ABC và O1B1C1 ÿ×ng d¥ng nên phép biÃn hình ÿmçc thõc hiËn bµng
mÝt hàm b±c nh©t w = az + b. Phép biÃn hình này có thÇ phân tích thành các phép
biÃn hình liên tiÃp sau ÿây:
* phép tÏnh tiÃn tï A vÅ gÕc, xác ÿÏnh bµng vec tk (-3 - 2j). Phép tÏnh tiÃn này
ÿmçc xác ÿÏnh bãi hàm ] = z - (3 + 2j)
* phép quay quanh gÕc mÝt góc 2
S , íng vßi hàm 2
j
e
S
Z ]
* phép co dãn tâm O, hË sÕ
2
1
4
2
AB
O B k 1 1 , ÿmçc thõc hiên bµng hàm
Z
2
1
w
V±y: j 1
2
3 (z 3 2j) jz 2
j e (z 3 2j) 2
1
w 2
j
S
2. Phép nghÏch ÿ§o:
a. Snh ngh-a: Hai ÿiÇm A và B ÿmçc gÑi là ÿÕi xíng ÿÕi vßi ÿmáng tròn C’
tâm O, bán kính R nÃu chúng cùng nµm trên mÝt nña ÿmáng th·ng xu©t phát tï O và
tho§ mãn ÿ·ng thíc:
OA.OB = R2
D- nhiên, vì .R
OA
R
OA
R OB
2
nên nÃu OA < R ¸
¹
· ¨
©
§ !1
OA
R thì OB > R. Ngmçc l¥i
nÃu OA > R thì OB < R. Ngh-a là trong hai ÿiÇm A và B thì mÝt ÿiÇm nµm trong và
mÝt ÿiÇm nµm ngoài ÿmáng tròn.
NÃu A nµm trong ÿmáng tròn thì muÕn ÿmçc B k¿ÿmáng AH A OA và sau ÿ
NÃu A nµm ngoài ÿmáng tròn thì muÕn ÿmçc ÿiÇm B ta vÁ tiÃp tuyÃn AH, sau ÿó k¿
HB A OA.
b. Snh lí 1: NÃu A và B ÿÕi xíng vßi ÿmáng tròn C’ và C” là ÿmáng tròn b©t kì
ÿi qua A và B thì C’ và C” trõc giao vßi nhau.
Chíng minh: GÑi I là tâm và r là bán kính cëa C”. Kí hiËu PC”O là phmkng tích cëa
ÿiÇm O ÿÕi vßi ÿmáng tròn C”.
Theo gi§ thiÃt vì A và B ÿÕi xíng qua C’ nên
OA.OB = R2
. M»t khác theo cách tính phmkng
tích ta có: B
D
A O
C”
C’
I
PC”O = OA.OB = OI2
- r
2
Tï ÿó suy ra:
R2
= OI2
- r
2
hay:
OI2
= R2 + r2
= OD2
+ ID2
.
V±y OD A DI
c. Snh lí 2: Gi§ sñ hai ÿmáng tròn C’ và C” cùng trõc giao vßi ÿmáng tròn C.
NÃu C’ và C” c³t nhau t¥i A và B thì hai ÿiÇm A và B ÿÕi xíng qua C
Chíng minh: GÑi I1 và I2 l«n lmçt là tâm cëa
ÿmáng tròn C’ và C”; r1 và r2 là bán kính cëa
chúng. GÑi R là bán kính cëa ÿmáng tròn C.
Ta có:
C’
C”
C
O
PC’O = A B 2
1
2
1 OI r
PC”O = 2
2
2
2 OI r
Nhmng do gi§ thiÃt trõc giao ta có:
2
1
2
1 OI r = R2
2
2
2
2 OI r = R2
Vây: PC’O = PC”O
Vì ÿiÇm O có cùng phmkng tích vßi c§ hai ÿmáng tròn C’ và C” nên O nµm trên tréc
ÿ·ng phmkng AB cëa c»p vòng tròn ÿó. M»t khác do PC’O = OA.OB = R2
nên A và B
ÿÕi xíng qua C.
d. Phép biGn hình
z
1
w : Phép biÃn hình này ÿkn
diËp, biÃn m»t ph·ng phíc mã rÝng z (tíc m»t ph·ng
phíc có bÙ sung thêm ÿiÇm z = f) lên m»t ph·ng phíc
mã rÝng w. ¦ nh cëa ÿiÇm z = 0 là ÿiÇm w = f . Ngmçc l¥i
§nh cëa ÿiÇm z = f là ÿiÇm w = 0. Vì w’ = 2 z
1 nên
phép biÃn hình b§o giác t¥i z
Ta sÁ nêu ra cách tìm §nh cëa mÝt ÿiÇm z b©t kì. Chú ý là hai ÿiÇm z và w
z
1 ÿÕi
xíng nhau qua ÿmáng tròn ÿkn vÏ vì Argz Argz
z
1 Arg . M»t khác 1
z
1
z . .
V±y muÕn ÿmçc w, ta dõng w ÿÕi xíng vßi z qua ÿmáng tròn ÿkn vÏ r×i l©y ÿÕi xíng
qua tréc thõc. Nói khác ÿi, phép biÃn hình
z
1
w là tích cëa hai phép ÿÕi xíng:
* phép ÿÕi xíng qua ÿmáng tròn ÿkn vÏ
* phép ÿÕi xíng qua tréc thõc
e. Tính ch-t coa phép biGn hình: ) Phép biÃn hình
z
1
w biÃn:
* mÝt ÿmáng tròn ÿi qua gÕc to¥ÿÝ thành mÝt ÿmáng th·ng
* mÝt ÿmáng tròn không ÿi qua gÕc to¥ÿÝ thành mÝt ÿmáng tròn
* mÝt ÿmáng th·ng ÿi qua gÕc to¥ÿÝ thành mÝt ÿmkng th·ng
* mÝt ÿmáng th·ng không ÿi qua gÕc to¥ÿÝ thành mÝt ÿmáng tròn ÿi qua gÕc
to¥ÿÝ.
NÃu coi ÿmáng th·ng là mÝt ÿmáng tròn có bán kính vô h¥n thì tính ch©t trên
ÿmçc phát biÇu gÑn l¥i là: Phép biÃn hình
z
1
w biÃn mÝt ÿmáng tròn thành mÝt
ÿmáng tròn.
Chíng minh: Xét ÿmáng cong C’ có phmkng trình:
A(x2
+ y2
) + 2Bx + 2Cy + D = 0
Trong ÿó A, B, C, D là nhóng hµng sÕ thõc. ViÃt phmkng trình ©y dmßi d¥ng phíc ta
có:
Azz Ez Ez D 0 (1)
Trong ÿó E = B - jC
NÃu A z 0, D = 0 thì C’ là ÿmáng tròn ÿi qua gÕc to¥ÿÝ. NÃu A = 0 thì C’ là ÿmáng
th·ng. NÃu A = D = 0 thì C’ là ÿmáng th·ng ÿi qua gÕc to¥ÿÝ. ¦ nh cëa C’ qua phép
biÃn hình
z
1
w là ÿmáng cong L có phmkng trình:
D 0
w
E
w
E
w
1
. w
1 A
hay: Dww Ew Ew A 0 (2)
NÃu D = 0 thì L là ÿmáng th·ng. NÃu D = A = 0 thì L là ÿmáng th·ng ÿi qua gÕc to¥
ÿÝ. NÃu A = 0 thì L là ÿmáng tròn ÿi qua gÕc to¥ÿÝ.
) Gi§ sñ z1 và z2 là hai ÿiÇm ÿÕi xíng vßi nhau qua ÿmáng tròn C’. Khi ÿó nÃu
gÑi w1 và w2 và L là §nh cëa z1, z2 và C’ qua phép biÃn hình
z
1
w thì w1 và w2 ÿÕi
xíng nhau qua C. Nói khác
Chíng minh: L©y 2 ÿmáng tròn b©t kì P và Q qua z1 và z2.Theo ÿÏnh lí 1 thì P và Q
cùng trõc giao vßi C’. Qua phép biÃn hình, P và Q sÁ biÃn thành hai ÿmáng tròn L1 và
L2 c³t nhau t¥i w1 và w2. Vì phép biÃn hình b§o giác nên L1 và L2 trõc giao vßi C’.
Theo ÿÏnh lí 2 thì w1 và w2 sÁÿÕi xíng vßi nhau qua L.
Ví dé1: Tìm §nh cëa hình tròn | z | < 1 qua phép biÃn hình
z
1
w
DÉ dàng th©y rµng §nh cëa ÿmáng tròn | z | = a (0 < a < 1) là ÿmáng tròn
a
1
w . Khi a biÃn thiên tï 0 ÿÃn 1, thì
a
1
gi§m tï +f ÿÃn 1. Trong khi ÿmáng tròn |
z | = a quét nên hình tròn | z | < 1 thì §nh cëa nó quét nên miÅn | w | > 1.
Tóm l¥i §nh cëa miÅn | z | < 1 là miÅm | w | > 1. ¦ nh cëa ÿmáng tròn | z | = 1 là
ÿmáng tròn | w | + 1.
Ví dé 2: Tìm §nh cëa bán kinh OB: argz = S/6; | z | < 1 qua phép biÃn hình w = 1/z
y
B’ N
O O x
M B
x
y
L©y M b©t kì trên OB. Thõc hiËn liên tiÃp phép ÿÕi xíng qua ÿmáng tròn ÿkn vÏ và
phép ÿÕi xíng qua tréc thõc ta ÿmçc §nh N cëa nó nµm trên nña ÿmáng th·ng sao cho:
OM.ON = 1
Khi M ch¥y tï O ÿÃn B, N ch¥y tï f ÿÃn B’.
3. Phép biÃn hình phân tuyÃn tính
cz d
az b
w
: Phép biÃn hình chÍ có ý ngh-a khi c
và d không ÿ×ng thái triËt tiêu. Ta không xét trmáng hçp ad = bc vì ÿây là trmáng hçp
t«m thmáng . Th±t v±y nÃu ad = bc thì ta có thÇ viÃt:
d
b
d
b
. cbz db
adz bd
cz d
az b
w
Tíc là mÑi z
c
d
z ÿÅu có cùng mÝt §nh w =
d
b .
V±y ta chÍ xét các trmáng hçp ad - bc z 0. NÃu c = 0 ta ÿmçc hàm tuyÃn tính ÿã xét:
d
b
z
d
a
w
cho nên ta gi§ thiÃt c z 0. Phép biÃn hình
cz d
az b
w
ph·ng mã rÝng z lên m»t ph·ng mã rÝng w. MÛi ÿiÇm z
c
d
z có §nh là ÿiÇm
cz d
az b
w
. Ngmçc l¥i, gi§i z theo w, ta ÿmçc hàm ngmçc
cw a
dw b
z
; tíc là mÛi
ÿiÇm w
c
a
z có nghÏch §nh là
cw a
dw b
z
. ¦ nh cëa ÿiÇm
c
d
z là ÿiÇm w = f .
¦ nh cëa ÿiÇm z = f là w
c
a
Vì 2 (cz d)
ad bc
w
c nên phép biÃn hình phân tuyÃn tính b§o giác t¥i mÑi ÿiÇm
c
d
z z và z zf . Phân tích biÇu thíc cëa w ta ÿmçc:
cz d
1 . c
bc ad
c
a
c(cz d)
a(cz d) bc ad
c(cz d)
acz ad bc ad
c(cz d)
acz bc
cz d
az b
w
Tï ÿó suy ra phép biÃn hình phân tuyÃn tính là tích cëa 3 phép biÃn hình:
] = cz + d phép biÃn hình tuyÃn tính
]
Z 1 phép nghÏch ÿ§o
c
a . c
bc ad
w Z phép biÃn hình tuyÃn tính
Vì mÛi phép biÃn hình thành ph«n ÿÅu biÃn mÝt ÿmáng tròn thành mÝt ÿmáng tròn và
b§o toàn tính ÿÕi xíng cëa 2 ÿiÇm ÿÕi vßi ÿmáng tròn nên phép biÃn hình phân tuyÃn
tính cÊng có các tính ch©t ©y.
Phép biÃn hình phân tuyÃn tính tÙng quát chía 4 tham sÕ a, b, c, d nhmng thõc
ch©t chÍ có 3 tham sÕ là ÿÝc l±p. Th±t v±y, vßi gi§ thiÃt c z 0, ta có:
c
d
z
c
b
z
c
a
w
NÃu ta ÿ»t
c
a
a1 , c
b b1 , c
d d1 thì ta có:
1
1 1
z d
a z b
w
V±y muÕn phép biÃn hình phân tuyÃn tính hoàn toàn xác ÿÏnh, ta ph§i cho 3 ÿiÅu kiËn.
Ch·ng h¥n ta có thÇ buÝc nó biÃn 3 ÿiÇm cho trmßc z1, z2 và z3 l«n lmçt
°
°
°
¯
°
°
°
®
-
3
1
1 3 1
2
1
1 2 1
1
1
1 1 1
w
z d
a z b
w
z d
a z b
w
z d
a z b
Gi§i hË này ta tính ÿmçc a1, b1 và d1 r×i thay vào
1
1 1
z d
a z b
w
ta ÿmçc hàm ph§i tìm
dmßi d¥ng ÿÕi xíng:
1 2
1 3
3
2
1 2
1 3
3
2
z z
z z . z z
z z
w w
w w . w w
w w
(4)
Ví dé 1: Tìm phép biÃn hình b§o giác biÃn nña m»t ph·ng trên lên hình tròn ÿkn vÏ
sao cho z = a vßi Ima > 0 thành w = 0
Theo tính b§o toàn vÏ trí ÿiÇm ÿÕi xíng thì ÿiÇm z a ph§i chuyÇn thành ÿiÇm
w=f . V±y phép biÃn hình ph§i tìm có d¥ng:
z a
z a
w k
Vì z = 0 chuyÇn thành mÝt ÿiÇm nào ÿó trên ÿmáng tròn | w | = 1 nên suy ra | k | = 1
hay k = ejD. V±y:
z a
z a
w ej
D
Ví dé 2: BiÃn hình tròn ÿkn vÏ thành chính nó sao cho z = a vßi | a | < 1 thành w = 0.
Theo tính b§o toàn vÏ trí ÿÕi xíng thì ÿiÇm
a
1 b nµm ÿÕi xíng vßi a qua ÿmáng tròn
| z | = 1ph§i chuyÇn thành ÿiÇm w = f . Phép biÃn hình c«n tìm có d¥ng:
1 az
z a K
z b
z a
w k
Trong ÿó k và K là các hµng sÕ nào ÿó. Vì z = 1 thì | w | = 1 nên ta có:
| K | 1
1 a
1 a K
nên K = eiD
và:
1 az
z a
w ej
D
Ví dé 3: BiÃn nña m»t ph·ng trên thành chính nó
Phép biÃn hình này ÿmçc thõc hiËn bµng hàm phân tuyÃn tính biÃn 3 ÿiÇm z1, z2 và z3
trên tréc thõc theo chiÅu dmkng cëa m»t ph·ng z thành 3 ÿ
4. Phép biÃn hình Giucovski: Ta gÑi hàm phíc ¸
¹
· ¨
©
§ z
1
z
2
1
w là hàm Giucovski.
hàm này có r©t nhiÅu íng déng trong k- thu±t. Nó có mÝt ÿiÇm b©t thmáng hóu h¥n là
z = 0. ¥o hàm cëa nó là ¸
¹
· ¨
©
§ c 2
z
1 1
2
1
w , w’ = 0 t¥i các ÿiÇm z = r1. V±y phép biÃn
hình Giucovski b§o giác t¥i mÑi ÿiÇm z hóu h¥n khác vßi ÿiÇm O và r1. Ta hãy tìm
miÅn ÿkn diËp cëa hàm. Gi§ sñ z1 z z2 nhmng:
0
z z
1 hay z z 1
z
1
z
2
1
z
1
z
2
1
1 2
1 2
2
2
1
1 ¸
¸
¹
·
¨¨
©
§ ¸
¸
¹
·
¨¨
©
§ ¸
¸
¹
·
¨¨
©
§ (5)
Ta th©y rµng ÿ·ng thíc (5) x§y ra khi z1.z2 = 1. V±y phép biÃn hình sÁÿkn diËp trong
mÑi miÅn không chía hai ÿiÇm nghÏch ÿ§o cëa nhau. Ch·ng h¥n miÅn | z | < 1 là miÅn
ÿkn diËp cëa hàm sÕ; miÅn | z | > 1 cÊng là mÝt miÅn ÿkn diËp khác.
Ví dé 1: Tìm §nh cëa phép biÃn hình Giucovski cëa:
* ÿmáng tròn | z | = h 0 < h < 1
* ÿo¥n th·ng Argz = D, | z | < 1
* hình tròn ÿkn vÏ | z | < 1
* nña m»t ph·ng trên, nµm ngoài hình tròn ÿkn vÏ tâm O.
x Ta ÿ»t z = rejM. Hàm Giucovski ÿmçc viÃt thành:
»¼
º
«¬
ª ¸ M M M M
¹
· ¨
©
§ M
M (cos jsin )
r
1
r(cos jsin ) 2
1
re
1
re
2
1
w u jv j
j
Tách ph«n thõc và ph«n §o ta có:
¸ M
¹
· ¨
©
§ cos
2
1
r
2
1
u
¸ M
¹
· ¨
©
§ sin
2
1
r
2
1
v
Tï ÿó suy ra §nh cëa ÿmáng tròn | z | = r = h có phmkng trình tham sÕ là:
°
°
¯
°°
®
-
¸ M
¹
· ¨
©
§ ¸ M ¹
· ¨
©
§
¸ M
¹
· ¨
©
§
h sin
h
1
2
1 sin
h
1 h
2
1
v
cos
h
1 h
2
1
u
Trong ÿó M là tham sÕ. ó là mÝt elip (J), có tâm O và các bán tréc ¸
¹
· ¨
©
§ h
1 h
2
1
a và
¸
¹
· ¨
©
§ h
h
1
2
1 b , tiêu cõ 2
h
1 h
4
1
h
1 h
4
1 2c a b 2
2 2
2 2 ¸ ¹
· ¨
©
§ ¸ ¹
· ¨
©
§ . Các tiêu ÿiÇm
cëa elip là F1(-1, 0) và F2(1, 0). K
Vì khi 0 < M < S thì v < 0 và khi S <M < 2S thì v > 0 nên §nh cëa nña ÿmáng
tròn trên là nña elip dmßi, §nh cëa nña ÿmáng tròn dmßi là elip trên.
Chú ý là khi h o 0 thì các bán tréc a, b cëa elip d«n ra f , ngh-a là nÃu ÿmáng
tròn | z | = h càng nhÓ thì §nh cëa nó có các bán tréc càng lßn. Khi h o 1thì a o 1 và
b o 0, ngh-a là nÃu ÿmáng tròn | z | = h càng d«n vào ÿmáng tròn ÿkn vÏ thì elip §nh
d½t d«n và tiÃn tßi ÿo¥n kép F1F2 (sã d- gÑi là ÿo¥n kép vì F1F2 ÿ×ng thái là §nh cëa
nña cung tròn ÿkn vÏ trên và nña cung tròn ÿkn vÏ dmßi). Ta quy mßc bá trên cëa ÿo¥n
là §nh cëa nña cung tròn ÿkn vÏ nµm trong nña m»t ph·ng dmßi; bá dmßi cëa ÿo¥n
th·ng là §nh cëa nña cung tròn ÿkn vÏ nµm trong nña m»t ph·ng trên.
x NÃu gÑi L là §nh cëa ÿo¥n th·ng:
¯®
-
D
|z| 1
Argz
thì phmkng trình tham sÕ cëa L là:
°
°
¯
°°
®
-
¸ D
¹
· ¨
©
§
¸ D
¹
· ¨
©
§
r sin
r
1
2
1
v
cos
r
1
r
2
1
u
Khñ r trong các phmkng trình này ta có:
1
sin
v
cos
u
2
2
2
2
D D (6)
ây là mÝt hyperbol có các tiêu ÿiÇm trùng vßi F1 và F2.
O1
F1
v
u
F2
O
y
x
NÃu 0 < D <
2
S thì §nh (L) là nhánh hyperbol (6) nµm trong góc ph«n tm thí tm. Khi
ÿiÇm z ch¥y trên ÿo¥n bán kính tï gÕc to¥ÿÝ tßi ÿmáng tròn ÿkn vÏ thì §nh w cëa nó
ch¥y trên nhánh hyperbol nµm trong góc ph«n tm thí tm tï f tßi tréc thõc O1u.
x Khi cho h biÃn thiên tï 0 ÿÃn 1 thì ÿmáng tròn | z | = h sÁ quét nên hình tròn | z | < 1.
¦ nh (J) cëa L trong m»t ph·ng w sÁ quét nên m»t ph·ng w, bÓÿi lát c³t dÑc ÿo¥n
F1F2. Bá dmßi cëa lát c³t là §nh cëa cung tròn ÿkn vÏ trên. Bá trên cëa lát c³t là §nh
cëa cung tròn ÿkn vÏ dmßi. Nña hình tròn ÿkn vÏ trên có §nh là nña m»t ph·ng dmßi.
N
x Tmkng tõ nhmã câu ÿ«u tiên §nh cëa nña ÿmáng tròn trên:
r = h (h > 1) 0 < M < S
có phmkng trình tham sÕ là:
M S
°
°
¯
°°
®
-
¸ M
¹
· ¨
©
§
¸ M
¹
· ¨
©
§
0
sin
h
1 h
2
1
v
cos
h
1 h
2
1
u
ây là mÝt cung ellip nµm trong nña m»t ph·ng trên , có các bán tréc là ¸
¹
· ¨
©
§ h
1 h
2
1
a
và ¸
¹
· ¨
©
§ h
1 h
2
1 b
Khi nña ÿmáng tròn trên tâm O, bán kính h quét nên ph«n nña m»t ph·ng trên nµm
ngoài ÿmáng tròn ÿkn vÏ thì §nh cëa nó quét nên nña m»t ph·ng trên Imz > 0 xem
hình vÁ).
-1 O1
v
O 1 u
y
-1 1 x
Ví dé 2: Tìm phép biÃn hình biÃn nña hình ÿkn vÏ | z | = 1, Imz > 0 thành nña m»t
ph·ng trên.
DÉ th©y rµng phép biÃn hình ph§i tìm là hçp cëa hai phép:
¸
¹
· ¨
©
§
S
t
1
t
2
1
w
t z e zj
5. Hàm luû thïa w = zn
: Ta xét hàm w = zn
vßi n nguyên dmkng, lßn hkn hay bµng 2.
NÃu z = r(cosD + jsinD) thì w = rn
(cosnD + jsinnD). V±y §nh cëa tia Argz = D là tia
Argw = nD nh±n ÿmçc bµng cách quay tia Argz = D quanh gÕc to¥ÿÝ góc (n - 1)D.
§nh cëa ÿmáng tròn | z | = R là ÿmáng tròn | w | = Rn
. ¦ nh cëa m»t ph·ng z là m»t
ph·ng w.
Tuy nhiên phép biÃn hình tï m»t ph·ng z lên m»t ph·ng w không ÿkn diËp vì nÃu hai
sÕ phíc z1 và z2 có cùng môÿun và
MuÕn hàm w = zn ÿkn diËp trong mÝt miÅn G nào ÿó thì miÅn G này ph§i không chía
b©t kì c»p ÿiÇm nào có cùng môÿun và có argumen sai khác nhau góc
n
2S. Ch·ng h¥n
miÅn qu¥t
n
2 0 arg z
S là mÝt miÅn ÿkn diËp cëa hàm w = zn
. ¦ nh cëa miÅn qu¥t
này, qua phép biÃn hình, là m»t ph·ng w, bÓÿi mÝt lát c³t dÑc theo nña tréc thõc
u ! 0 . Bá trên cëa lát c³t là §nh cëa tia argz = 0 và bá dmßi cëa lát c³t là §nh cëa tia
n
2
arg z
S .
MiÅn qu¥t
n
3
arg z
n
S S
cÊng là mÝt miÅn ÿkn diËp khác cëa hàm. ¦ nh cëa
miÅn qu¥t này qua phép biÃn hình là m»t ph·ng w, bÓÿi mÝt lát c³t dÑc theo nña tréc
thõc âm.
Hàm w = zn
gi§i tích trong toàn m»t ph·ng, vì ta có:
nz z C
dz
dw n 1 •
Phép biÃn hình w = zn b§o giác t¥i mÑi ÿiÇm z z 0.
6. Hàm n w z : ây là hàm ngmçc cëa hàm w = zn
. Nó là mÝt hàm ÿa trÏ vì vßi mÛi
sÕ phíc z = r(cosM + jsinM) z 0 có n cn b±c n cho bãi:
k 0,1, ,n 1
n
2k jsin
n
2k
w r cos n »¼
º
«¬
ª M S M S
To¥ vÏ cëa n sÕ phíc này là các ÿÍnh cëa mÝt ÿa giác ÿÅu n c¥nh tâm O. Gi§ zñÿiÇm
z v¥ch thành mÝt ÿmáng cong kín L không bao quanh gÕc to¥ÿÝ O, xu©t phát tï zo.
O
* *o 1
*2
wo
w1
w2
x
y
L
O
zo
C
x
y
Khi ÿó ÿiÇm n w z trong ÿó n z là mÝt giá trÏ nào ÿó cëa cn thíc mà ta chÑn trmßc
sÁ v¥ch nên ÿmáng cong kín *o, xu©t phát tï n o o w z vì khi z xu©t phát tï zo ch¥y
mÝt vòng trên C thì Argz biÃn thiên tï giá trÏ ban ÿ«u Argzo r×i quay vÅÿúng giá trÏ
©y. Các giá trÏ cn thíc khác vßi giá trÏÿã chÑn sÁ v¥ch nên ÿmáng cong kín *k, ÿmçc