H12_MATCAU

MẶT CẦU

1. C/mr: Taùm ñænh cuûa moät hình hoäp chöõ nhaät cuøng naèm treân moät maët caàu.

2. Cho ∆ABC ⊥ taïi B, ñoaïn DA vuoâng goùc vôùi (ABC)

a) Xaùc ñònh maët caàu ñi qua boán ñieåm A, B, C, D.

b) Cho AB = 3a, BC = 4a, AD = 5a tính baùn kính cuûa maët caàu noùi treân.

3. Cho hình choùp töù giaùc ñeàu S.ABCD coù caïnh ñaùy AB = a vaø caïnh beân SA = b. Xaùc ñònh taâm vaø tính baùn kính

cuûa maët caàu ñi qua naêm ñieåm S, A, B, C, D.

HD: Goïi S(O ; R) tieáp xuùc vôùi 3 caïnh ∆ABC taïi A’, B’, C’. Goïi I laø hình chieáu cuûa O treân (ABC) ⇒ IA’ = IB’ =

IC’ ⇒ I laø taâm cuûa ñöôøng troøn (c) noäi tieáp ∆ABC ⇒ O ∈ ∆ truïc cuûa (c) . Ngöôïc laïi laáy ∀ O ∈ ∆ ⇒ S(O ; R) tieáp

xuùc vôùi 3 caïnh ∆ABC taïi A’, B’, C’ coù R = OA’vôùi A’, B’, C’ ∈ (c) . Vaäy: coù voâ soá maët caàu tieáp xuùc vôùi ba

caïnh cuûa moät tam giaùc coù taâm naèm treân ∆ truïc cuûa ñöôøng troøn noäi tieáp ∆ABC.

4. Cho töù dieän OABC coù OA, OB, OC ñoâi moät vuoâng goùc. Ñaët OA = a, OB = b, OC = c.

a) Xaùc ñònh taâm vaø tính baùn kính maët caàu ngoaïi tieáp töù dieän OABC theo a, b, c.

b) C/mr: O, I vaø troïng taâm ∆ABC laø ba ñieåm thaúng haøng.

HD: Taâm maët caàu ngoaïi tieáp töù dieän OABC laø giao ñieåm I cuûa trung tröïc caïnh OA vaø truïc d cuûa ñaùy (d qua

trung ñieåm M caïnh BC vaø // OA) R = 1 2 2 2

2

a b c + + . Goïi G = AM ∩ OI . Vì AO // IM ⇒ 2

GA AO

GM IM

= = . ⇒

G laø troïng taâm ∆ABC.

5. Ba caïnh cuûa moät tam giaùc coù ñoä daøi 13, 14, 15. Moät maët caàu coù baùn kính 5 tieáp xuùc vôùi ba caïnh taïi caùc tieáp

ñieåm naèm treân ba caïnh ñoù. Tính k/caùch töø taâm maët caàu tôùi maët phaúng chöùa tam giaùc.

LG: Goïi (c) laø ñöôøng troøn noäi tieáp ∆ABC coù r = 4. Xeùt ∆OIA’ ⊥ taïi I ⇒ OI = 3.

6. Cho maët caàu (O ; R) tieáp xuùc vôùi mp(P) taïi I, M laø moät ñieåm naèm treân maët caàu. Hai tieáp tuyeán taïi M cuûa maët

caàu caét (P) taïi A vaø B . C/mr: · · AMB AIB = .

HD: ∆AMB = ∆AIB ⇒ · · AMB AIB =

7. C/mr: Neáu coù moät maët caàu tieáp xuùc vôùi saùu caïnh cuûa moät hình töù dieän thì toång caùc caëp caïnh ñoái cuûa töù dieän

baèng nhau.

HD: Goïi M, N, P, Q, E, F laø caùc tieáp ñieåm cuûa maët caàu vôùi caùc caïnh töù dieän . Duøng ñlí 2 ⇒ ÑPCM

8. Moät hình töù dieän coù caùc caïnh ñoái baèng nhau. C/mr: Taâm maët caàu ngoaïi tieáp töù dieän ñoù laø troïng taâm cuûa töù

dieän vaø caùch ñeàu boán maët cuûa töù dieän.

HD: Taâm maët caàu ngoaïi tieáp hình choùp ñeàu S.ABCD laø giao ñieåm I cuûa trung tröïc caïnh beân vaø truïc cuûa ñaùy ⇒

R = a.

9. Cho töù dieän ñeàu ABCD caïnh a, goïi H laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa A xuoáng (BCD)

a) C/mr: H laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp ∆BCD. Tính AH.

b) Xaùc ñònh taâm vaø tính baùn kính maët caàu ngoaïi tieáp töù dieän ABCD.

c) Goïi K laø trung ñieåm AH. C/mr: KB, KC, KD ñoâi moät vuoâng goùc .

HD: Taâm maët caàu ngoaïi tieáp hình choùp ñeàu laø giao ñieåm cuûa trung tröïc caïnh beân vaø truïc cuûa ñaùy AH = 6

3

a

,

R = 6

4

a

, KB = KC = KD = 2 2 2

2

a

BH KH + = ⇒ KB2

+ KC2

= BC2 ⇒ KB ⊥ KB.

10. Cho ∆ABC caân coù · 0 BAC = 120 vaø ñöôøng cao AH = a 2 . Treân ñöôøng thaúng d ⊥ (ABC) taïi A laáy 2 ñieåm I, J

ôû hai beân ñieåm A sao cho ∆IBC ñeàu vaø ∆JBC vuoâng caân.

a) Tính caùc caïnh cuûa ∆ABC.

b) Tính AI, AJ vaø C/mr: ∆BIJ,∆CIJ laø caùc tam giaùc vuoâng.

c) Xaùc ñònh taâm vaø baùn kính maët caàu ngoaïi tieáp caùc töù dieän IJBC, IABC.

HD: a) ∆ABC caân taïi A ⇒ H laø trung ñieåm BC ⇒ AB = AC = 2 2 a , BC = 2 6 a

b) IB = IC = BC ⇒ IA = 4a, JB = JC =

2

BC

⇒ JA = 2a,

c) • Ta coù · · 0

IBJ ICJ = = 90 ⇒ maët caàu ngoaïi tieáp töù dieän IJBC coù ñöôøng kính IJ ⇒ R = 3a.

• Döïng truïc d cuûa ñöôøng troøn ngoaïi tieáp ∆ABC (d // IJ). Taâm O cuûa maët caàu ngoaïi tieáp töù dieän IABC laø giao

ñieåm O cuûa d vaø trung tröïc OM cuûa ñoaïn IA (M ∈ IA) ⇒ OM = AK = 2 3 a (AK laø baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi

tieáp ∆ABC)