Giới hạn dãy số + hàm số ( tong hop)

CHƯƠNG IV : GIỚI HẠN ( colect + edited by namkep )

http://namkep.blogspot.com

A: Giới hạn dãy số: Kiến thức cần nhớ:

Định lý1: Nếu một dãy số có giới hạn thì nó bị chặn.

Định lý2:Nếu một dãy số có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.

Định lý3: (Điều kiện đủ để dãy số có giới hạn) (Định lý Vaiơstrat).

Một dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn.

Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn.

Định lý4: (Giới hạn của một dãy số kẹp giữa hai dãy số dần tới cùng một

giới hạn). Cho ba dãy số (un), (vn), (wn).

Nếu * ∀ ∈n N ta có n n n v u w ≤ ≤ và lim vn = lim wn = A thì lim un = A.

Định lý5: (Các phép toán trên các giới hạn của dãy số).

Nếu hai dãy số ( ),( ) n n u v có giới thì ta có:

*

lim( ) lim lim ; lim( . ) lim .lim

lim lim (lim 0) ; lim lim ( 0, )

lim

n n n n n n n n

n n

n n n n

n n

u v u v u v u v

u u v u u u n N

v v

± = ± =

= ≠ = ≥ ∀ ∈

Định lý6: Nếu q thì <1` lim 0 n

q =

Tổng của cấp số nhân vô hạn có công bội q với q <1 là:

S=u1+u2+...+un+...= 1

1

u

− q

( 1) q < .Số e:

1

lim 1 2,71828

n

e

n

 

+ = ≈  ÷  

Định lý7: Nếu *

lim 0( 0, ) n n u u n N = ≠ ∀ ∈ thì

1

lim .

n

u

= ∞

Ngược lại, nếu lim n

u = ∞ thì

1

lim 0.

n

u

=

+ Bài tập giới hạn dãy sô :

Bài 1: Tìm các giới hạn : 2

1 2 5 1) lim sin 2) lim cos

3 4 1

n

n n n

+

− +

Giải : 1) Ta có

1 1 1) lim 0 lim sin sin 0 0

n n

= ⇒ = =

2

2 2

2

2 5

2 5 2 5 2) lim cos lim 0 lim cos os0 1

3 4 1 3 4 1 4 1 3

n n n n c

n n n n

n n

+

+ +

= = ⇒ = =

− + − + − +

Bài 2 : ( Sử dụng nguyên lí kẹp định lí 4 ) Tính các giới hạn :

1 5 2

1) lim sin(2 1) 2) lim os( 2 1)

2 3

n c n n

n n

+ + −

+

Giải :

1 1 1 1) sin(2 1) 1 0 sin(2 1) 0 lim sin(2 1) 0 n n n

n n n

+ ≤ ⇒ ≤ + ≤ → ⇒ + =

2 2

2

5 5 2) os( 2 1) 1 0 os( 2 1) 0

2 3 2 3

5

lim os( 2 1) 0.

2 3

c n n c n n

n n

c n n

n

+ − ≤ ⇒ ≤ + − ≤ →

+ +

⇒ + − =

+

Bài 3 : Tính các giới hạn :

3 2 2 3 2

3 2 3 2 2

2 3 5 1 4 5 1 7 3 5 1 1)lim ; 2)lim ; 3)lim

3 2 4 3 5 2 4 1 2 4 3

n n n n n n n n

n n n n n n n n

− + − + − − + −

+ − + + + + − +

Giải : Chia cả tử và mẫu cho bậc cao nhất là n3

ta được :

3 2 2 3

3 2

2 3

3 5 1 2

2 3 5 1 2 1)lim lim lim

3 2 4 3 3 2 4 3 3

n n n n n n

n n n

n n n

− + − − + −

= =

+ − + + − +

2

2 3

3 2

2 3

4 5 1

4 5 1 0 2)lim lim lim lim0

5 2 4 1 5 2 4 1 5

n n n n n

n n n

n n n

+ − + −

= = =

+ + + + + +

3 2 2 3

2

2 3

3 5 1 7

7 3 5 1 3)lim lim

2 4 3 2 4 3

n n n n n n

n n

n n n

− + − − + −

= = ∞

− + − +

.Tự rút ra nhận xét (hehe

Bài 4 : Tính các giới hạn : ( giới hạn có dấu căn )

2

4 5 3 2 2 1) lim 2) lim 3 3 3) lim 4 5 3 2

3 2

n n

n n n n n n

n

+ +

+ + − + + −

+

Giải :

2

2 2

4 5 3 5 3 4

4 5 3 2 1) lim lim lim

3 2 3 3 2 2 3

n n

n n n n n

n n

n n

+ +

+ +

+ +

= = =

+ +

+

2 2

2

2

2

2

( 3 3 )( 3 3 ) 2) lim 3 3 lim

( 3 3 )

3

3

3 3 3 lim lim lim

3 3 3 3 2

1 1

n n n n n n

n n n

n n n

n n

n n n

n n

+ + − + + +

+ + − = =

+ + +

+

+

= = =

+ + + + + +

2 2

2

2

2

( 4 5 3 2 )( 4 5 3 2 ) 3) lim 4 5 3 2 lim

4 5 3 2

3 3 3 lim lim

4 5 3 2 4

n n n n n n

n n n

n n n

n

n n n

+ + − + + +

+ + − =

+ + +

+

= =

+ + +

Bài 5 :Giới hạn trong CSC : Cho cấp số cộng : 1, 4, 7, 10…Tính 2

n

S

n

Giải : Với csc 1, 4, 7, 10… ta có u1=1 ; d=3  un = 1 + 3(n-1)=3n-2

2 2

(1 3 2) (3 1) (3 1) 3 1 3 lim lim lim lim

2 2 2 2 2

n

n

n n n n S n n n S

n n n

+ − − − −

= = ⇒ = = =

Bài 6 : Cho dãy số 2, 3, 5, 8, 12, 17 .... Tính lim un / n2

( ĐS : ½)

Bài 7 : CSN lùi vô hạn) Tính

1 1 1 1 ....

3 9 27

S = − + − + ( ĐS : ¾ )

Bài 8: Tính tổng S=1.1 + 2x + 3x2 + 4x3 +..... asb(x)<1

Bài 9:Giải pt: sinx – sin2

x + sinx3

– sin4

x+.... =1/3 sin 1 x < . (ĐS sinx=1/2

Các bài tập không đáp án :

Bài tập 1: Tính các giới hạn:

2 1 1/ lim

2

n

n

+

+

2

2

3 1 2 / lim

4

n

n

+

+

5 1 3 / lim

3 2

n

n

−

+

2

2

2 3 4 / lim

2

n n

n n n

+ +

+ −

2

2 3 5.lim

1

n n

n n

+

+ +

( 1)(2 1) 6.lim

(3 2)( 3)

n n

n n

+ −

+ +

(2 )(3 ) 9.lim

( 1)( 2)

n n n

n n

+

+ +

Bài tập 2: Tính các giới hạn:

2

2

2 1 1/ lim

1

n

n

−

+

2

2 5 2 / lim

2

n

n n

+

− +

3

2

2

3 / lim

3 2

n n

n n

−

+ −

( )

3 2 3 4 / lim n n n − +

2

3

2 1 5 / lim

3 2

n n

n

+ +

−

( )

3 3 2 6 / lim 2 n n n − −

Bài tập 3: Tính các giới hạn:

2

2

1

1/ lim

2 3

n

n n

+

−

2 3

4

( 1) ( 2) 2 / lim

( 1)

n n

n n

+ +

−

( )

2 2 3 / lim 1 n n n + − +

3 2 3 4 / lim( 3 n n n + − )

3

2

2 11 1 5 / lim

2

n n

n

− +

−

2 2

1

6 / lim

n n + − + 2 4

B. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ : I/ KIẾN THỨC CƠ BẢN.

1.Giới hạn hữu hạn.

Giả sử (a;b) là một khoảng chứa điểm 0

x và f là một hàm số xác định trên

khoảng (a;b) \x0. Khi đó →

=

0

0

x x

lim f(x ) L nếu ∀ n

d·y sè (x ) trong tập hợp

0

(a;b) \ x mà limx x n 0 = ,ta đều có limf(x ) L n = .

b.Giới hạn vô cực.

→ → ( )

= +∞ = −∞

0 0 x x x x

lim f(x) hay lim f(x) nếu ∀ dãy xn ∈ 0

(a;b) \ x mà

limx x n 0 = , ta đều có limf(x ) n = +∞ ( = −∞) n

hay limf(x ) .

2. Giới hạn hàm số tại vô cực.

+/ Giả sử ta có hàm số f xác định trên (a; ) +∞ . Ta nói rằng hàm số f có giới

hạn là số thực L khi x dần đến +∞ nếu với mọi dãy n

(x ) trong khoảng

(a; ) +∞ mà limxn = +∞ ,ta đều có limf(x ) L n = .Ta viết →+∞

=

x

lim f(x) L .

3 .Một số định lý về giới hạn.

Định lý 1: Giả sử →∞ →

= =

0

x x x

lim f(x) L vµ lim g(x) M . Khi đó:

a/ [ ] →

+ = +

0

x x

lim f(x) g(x) L M. b/ [ ] →

− = −

0

x x

lim f(x) g(x) L M.

c/ [ ] ( ) → →

= =

0 0 x x x x

lim f(x).g(x) L.M ®Æc biÖt lim cf(x) cL.

d/

→

 

= ≠     0

x x

f(x) L lim ,M 0

g(x) M .

Định lý 2: Giả sử →

=

0

0

x x

lim f(x ) L , khi đó:

a/ →

=

0

x x

lim f(x) L . b/ →

=

0

3 3

0

x x

lim f(x ) L .