Giáo trình: Học phần độ đo và tích phân II

HỌC PHẦN ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN

CHƯƠNG I. ĐỘ ĐO

$1. ĐẠI SỐ. σ - ĐẠI SỐ

1. Đại số

a) Định nghĩa 1. Cho tập hợp X ≠ φ . Một họ N các tập con của

X được gọi là một đại số các tập con của X, nếu N thoả mãn ba điều

kiện sau:

(i) X ∈ N ;

(ii) A ∈ N ⇒ CXA = X \ A ∈ N ;

(iii) A1, A2, ... , An∈ N ⇒ U

n

k

Ak =1

∈ N .

b) Các tính chất

Cho N là đại số các tập con của tập hợp X. Khi đó N có các tính

chất sau đây:

1. φ ∈ N ;

2. A1, A2, ... , An∈ N ⇒ I

n

k

Ak =1

∈ N ;

3. A, B ∈ N ⇒ A \ B ∈ N.

Chứng minh.

1. được suy từ (i), (ii)

2. được suy từ (ii), (iii) và công thức de Morgan:

I U

n

k

n

k

C Ak CAk

1 1

( ) = =

=

3. được suy từ (ii), tính chất 2 vừa chứng minh và công thức

A \ B = A ∩CXB

Nhận xét Đại số các tập con của tập hợp X có tính chất

" khép kín" đối với các phép toán : hợp hữu hạn, giao hữu hạn, hiệu

các tập hợp và lấy phần bù ( nghĩa là : khi ta thực hiện các phép toán

này trên các phần tử của N thì kết quả sẽ là các phần tử của N).

c) Các ví dụ

1. Cho A ⊂ X . Đặt N = {φ, X, A,CX A}.

Khi đó N là một đại số các tập con của X.

2. Cho X = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }, A = { 1, 3, 5, 7 }, B = { 2, 4, 6 },

C = { 1, 2, 4, 7 }, D = { 3, 5, 6 }.

Đặt N = { φ , X, A, B, C, D }. Hãy kiểm tra xem N có là một đại

số các tập con của X?

3. Cho N là một họ không rỗng các tập con của tập hợp X thoả mãn

điều kiện :

Nếu A, B ∈ N thì X \ A ∈ N và A ∩B ∈ N.

Chứng minh rằng N là một đại số các tập con của X.

2. σ - đại số

a) Định nghĩa 2. Cho tập hợp X ≠ φ . Một họ M các tập con của

X được gọi là một σ - đại số các tập con của X, nếu M thoả mãn

ba điều kiện sau:

(i) X ∈ M ;

(ii) A ∈ M ⇒ CXA = X \ A ∈ M ;

(iii) A1, A2, ... , An , ... ∈ M ⇒ U

∞

k=1

Ak

∈ M .

b) Các tính chất

Cho M là mộtσ - đại số các tập con của tập hợp X. Khi đó M

có các tính chất sau đây:

1. M là một đại số các tập con của X;

2. φ ∈ M ;

3. A1, A2, ... , An∈ M ⇒ I

n

k

Ak =1

∈ M ;

4. A, B ∈ M ⇒ A \ B ∈ M ;

5. A1, A2, ... , An , ... ∈ M ⇒ I

∞

k=1

Ak

∈ M .

Chứng minh.

- Tính chất 1 được suy từ (i), (ii) và (iii) khi đặt

An+1 = An+2 = ... = φ .

- Tính chất 2, 3, 4 được suy từ tính chất 1 vừa chứng minh.

- Tính chất 5 được suy từ (ii), (iii) và công thức de Morgan:

I U

∞

=

∞

=

=

1 1

( )

k k

C Ak CAk

Nhận xét σ - đại số các tập con của tập hợp X có tính chất " khép

kín" đối với các phép toán : hợp đếm được, giao đếm được của các tập

hợp, hiệu hai tập hợp và lấy phần bù ( nghĩa là : khi ta thực hiện các

phép toán này trên các phần tử của M thì kết quả sẽ là các phần tử của

M ).

c) Các ví dụ

1. Cho tập hợp X ≠ φ . Họ tất cả các tập con của tập hợp X là

một σ - đại số các tập con của tập hợp X.

2. Cho M là một họ không rỗng các tập con của tập hợp X thoả mãn

hai điều kiện :

a) A ∈ M ⇒ X \ A ∈ M ;

b) A1, A, ... , An , ... ∈ M ⇒ I

∞

k=1

Ak

∈ M .

Chứng minh rằng M là một σ - đại số các tập con của X.

3. Cho M là mộtσ - đại số các tập con của tập hợp X và Z ∈ M.

Đặt MZ là họ tất cả các tập hợp thuộc M và chứa trong Z.

Chứng minh MZ là mộtσ - đại số các tập con của tập hợp Z.

$2. ĐỘ ĐO

1. Tập hợp số thực không âm mở rộng

Cho tập hợp số thực không âm [0,+∞).

Ta bổ sung cho tập hợp này một phần tử là +∞ , tập hợp mới

thu được là [0,+∞]. Ta gọi đây là tập số thực không âm mở rộng với

các quy ước về phép toán như sau.

a < +∞ với mọi a ∈[0,+∞);

a + (+∞) = (+∞) + a = +∞ với mọi a ∈[0,+∞];

a . (+∞) = (+∞) . a = +∞ với mọi a ∈ (0,+∞];

0 . (+∞) = (+∞) . 0 = 0

Lưu ý. Đẳng thức a + c = b + c kéo theo a = b khi và chỉ khi

c ≠ +∞.

2. Các khái niệm

Cho M là mộtσ - đại số các tập con của tập hợp X.

Xét ánh xạ μ : M → [0,+∞].

Định nghĩa 1. μ được gọi là ánh xạ cộng tính hữu hạn, nếu có một

họ hữu hạn các tập hợp đôi một rời nhau A1, A2, ... , An ∈ M thì

∑ = =

=

n

k

k

n

k

Ak A

1 1

μ( U ) μ( )

Định nghĩa 2. μ được gọi là ánh xạ σ - cộng tính nếu có một họ

đếm được các tập hợp đôi một rời nhau A1, A2, ... , An , ... ∈ M thì

∑

+∞

=

+∞

=

=

1 1

( ) ( )

k

k

k

μ U Ak μ A

Định nghĩa 3. μ được gọi là một độ đo trên M, nếu hai điều kiện sau

được thoả mãn:

1. μ(φ ) = 0;

2. μ là σ - cộng tính.

Định nghĩa 4. Cặp (X, M), trong đó M là σ - đại số các tập con của

tập hợp X, được gọi là không gian đo được. Mỗi tập hợp A ∈ M được

gọi là một tập đo được.

Định nghĩa 5. Bộ ba (X, M, μ), trong đó M là σ - đại số các tập con

của tập hợp X, μ là một độ đo trên M, được gọi là không gian độ đo.

Nếu A ∈ M thì số μ(A) được gọi là độ đo của tập hợp A.

Định nghĩa 5. Độ đo μ được gọi là độ đo hữu hạn nếu μ(X) < +∞.

Độ đo μ được gọi là độ đo σ - hữu hạn, nếu X = U

∞

k=1

Xk

, Xk∈ M

và μ(Xk) < +∞ với mọi k.

Nhận xét. Độ đo hữu hạn thì σ - hữu hạn.

3. Các ví dụ

a) Cho M là mộtσ - đại số các tập con của tập hợp X.

Xét ánh xạ μ : M → [0,+∞] xác định bởi μ(A) = 0 với mọi A

∈ M .

Khi đó μ là một độ đo hữu hạn.

b) Cho M là mộtσ - đại số các tập con của tập hợp X.

Xét ánh xạ μ : M → [0,+∞] xác định bởi

μ(φ ) = 0 , μ(A) = +∞ với mọi A ∈ M và A ≠ φ.

Khi đó μ là một độ đo không σ - hữu hạn.

c) Cho M là mộtσ - đại số các tập con của tập hợp X và x0∈ X.

Xét ánh xạ μ : M → [0,+∞] xác định bởi :

- Nếu A ∈ M và x0∈ A thì μ(A) = 1 ;

- Nếu A ∈ M và x0∉ A thì μ(A) = 0 .

Chứng minh rằng μ là một độ đo hữu hạn.

Nhận xét. Có nhiều cách xây dựng độ đo trên cùng một σ - đại số

các tập con của tập hợp X, ứng với mỗi độ đo sẽ có một không gian độ

đo tương ứng với các tính chất khác nhau.

4. Các tính chất của độ đo

Cho (X, M, μ) là một không gian độ đo. Khi đó ta có các tính

chất sau đây.

1. μ là cộng tính hữu hạn.

2. Nếu A, B ∈ M và A ⊂ B thì μ(A) ≤ μ(B) .

Ngoài ra, nếu μ(A) < +∞ thì μ(B \ A) = μ(B) -μ(A).

3. Nếu A1, A2, ... , An , ... ∈ M thì

∑

+∞

=

+∞

=

≤

1 1

( ) ( )

k

k

k

μ U Ak μ A

4. Nếu A, B ∈ M , A ⊂ B và μ(B) = 0 thì μ(A) = 0.

5. Nếu A, B ∈ M và μ(B) = 0 thì

μ(A ∪ B) = μ(A \ B) = μ(A).

6. Hợp của một họ hữu hạn các tập hợp có độ đo không là tập

hợp có độ đo không:

μ(Ak ) = 0, ∀k = 1, 2, ... , n ⇒ ( ) 0

1

= =

U

n

k

μ Ak

7. Hợp của một họ đếm được các tập hợp có độ đo không là tập

hợp có độ đo không:

μ(Ak ) = 0, ∀k = 1, 2, ... ⇒ ( ) 0

1

=

+∞

=

U

k

μ Ak

8. Nếu μ là độ đo σ - hữu hạn thì

i) X = U

∞

k=1

Yk

, trong đó các tập hợp Yk đôi một rời nhau,

Yk∈ M và μ(Yk) < +∞ với mọi k;

ii) A = U

∞

k=1

Ak

, trong đó các tập hợp Ak đôi một rời nhau,

Ak∈ M và μ(Ak) < +∞ với mọi A ∈ M và mọi k.

9. Nếu { An } , n ∈ N, là dãy đơn điệu tăng các tập hợp đo được,

nghĩa là A1 ⊂ A2 ⊂ ... ⊂ An ⊂ ... , thì

U

+∞

= →+∞

=

1

( ) lim ( )

n

n

n

μ An μ A

10. Nếu { An } , n ∈ N, là dãy đơn điệu giảm các tập hợp đo

được, nghĩa là A1 ⊃ A2 ⊃ ... ⊃ An ⊃ ... , và μ(A1) < +∞ thì