Giáo trình hình học vi phân

/\ _ Ạ V V B ộ GIA O DỤ C V A ĐA O TẠ O

Đ A I HỌ C THÁ I NGUYÊ N

Đ Ô NGỌ C DIỆ P - NÔN G QUÔ C CHIN H

GIÁ O TRÌN H

HÌN H HÓ C V I PHÂ N

Hà NỘI NHÀ XUẤT BẢN ĐAI HỌC QUỐC GI.

B Ộ GIÁ O DỤ C V À ĐÀ O TẠ O

Đ Ạ I HỌ C THÁ I NGUYÊ N

Đ Ỗ NGỌ C DIỆ P - NÔN G QUỐ C CHIN H

GIÁ O TRÌN H

HÌN H HỌ C V I PHÂ N

N H À XUẤ T BẢ N Đ Ạ I HỌ C Quố c GI A H À NỘ I

SÁCH ĐƯỢC XUẤT BẢN BỞI s ự TÀI TRỢ CỦA Dự ÁN GIÁO DỤC ĐẠI HỌC 2

M ụ c lụ c

Giới thiệu 7

Ì Đường và mặt bậc hai 9

1.1 Siêu phang afìn 9

1.1.1 Thuậ t kh ử Gauss-Jordan giả i h ệ phươn g trìn h

tuyế n tín h 9

1.1.2 Đ a tạ p tuyế n tín h và phươn g phá p toa đ ộ . l o

1.1.3 Cá c phé p biế n đ ổ i trong hìn h học l i

1.2 Đư ờ n g bậc hai với phươn g trìn h

chín h tắ c 12

1.2.1 Ellipse .................... . 12

1.2.2 Hyperbol a 12

1.2.3 Parabola 13

1.3 Đư a phươn g trìn h đườ n g bậc hai trong mặ t phang

về dạn g chín h tắ c 13

1.4 Phâ n loạ i siêu mặ t bậc 2 trong khôn g gian 3 chiều . 14

1.5 Đư a phươn g trìn h mặ t bậc hai tổn g quá t về dạn g

chín h tắ c 19

1.6 Phâ n loạ i dời hìn h các đườ n g bậc hai trong mặ t

phang Euclid 21

1.7 Phâ n loạ i dời hìn h cá c mặ t bậc hai trong khôn g gian

Eucli d 3 chiều 21

1.8 Phươn g phá p toa đ ộ cong 22

1.8.1 Cá c đườ n g bậc 2 tham số hoa 23

1.8.2 Cá c mặ t bậc hai tham số hoa 23

1.9 Bà i tậ p củng cố lý thuyế t 24

3

4 Đ ỗ Ngọc Diệp, Nông Quốc Chinh

2 L ý thuyế t đư ờ n g con g tron g R n

25

2.1 Cun g tham số hoa v à cung

chín h quy 25

2.2 Đ ộ dà i đư ờ n g cong tron g R" . Đư ờ n g trắ c đ ị a .. . . 27

2.3 Mụ c tiê u trực chuẩn. Mụ c tiê u Frénet. Đ ộ cong. Đ ộ

xoắ n 30

2.4 Đ ị n h lí cơ bả n 33

2.5 Bà i tậ p củn g cố lý thuyế t 36

3 Đại số tensơ, đại số ngoài, tensơ đối xứng 37

3.1 Tíc h tens ơ cá c khôn g gian véctơ 37

3.2 Tíc h ngoà i v à tíc h tens ơ đ ố i x ứ n g 39

3.3 Đ ạ i số tens ơ 40

3.4 Đ ạ i số ngoà i 41

4 Lý thuyết mặt cong

tron g R 3

43

4.1 Mản h tha m số hoa chín h quy v à mặ t tham số hoa . 43

4.2 Mụ c tiê u Darbou x của đư ờ n g cong trê n mặ t dì m . . 44

4.3 Dạn g toà n phươn g cơ bả n 45

4.4 Đ ạ o hà m Weingarten v à k ý hiệ u

Christoffe l . . 50

4.5 Đ ạ o hà m thuậ n biế n . 53

4.6 Đ ộ cong Rieman n 55

4.7 Cá c đ ị n h lí cơ bả n của lí thuyế t

m ặ t dì m 58

5 Đường cong trên mặt cong 61

5.1 Đư ờ n g cong trê n mặ t 61

5.2 Đ ộ cong phá p dạn g v à đ ộ cong trắ c đ ị a của đư ờ n g

cong trê n mặ t 62

5.3 Phươn g chín h v à đ ộ cong Gauss 64

5.4 Mộ t số tín h ch ấ t đ ặ c trưn g của đư ờ n g trê n mặ t cong 65

5.5 Đ ị n h lí Gauss -Bonne t . . . 66

5.6 Bà i tậ p củn g cố lý thuyế t 71

Hình học vi phẫn 5

6 Định lý ánh xạ ngược và Định lý ánh xạ ẩn 73

6.1 Đ ị n h nghĩa đ ạ o án h v à cá c tín h chấ t cơ bả n ... . 73

6.2 Đ ạ o hà m riên g v à v i phâ n 80

6.3 Đ ị n h lí hà m (án h xạ ) ngược 83

6.4 Đ ị n h lí hà m (án h xạ ) ẩ n 85

6.5 B ó cá c hà m trơ n 86

6.6 Bà i tậ p củng cố lý thuyế t 89

7 Đa tạp khả vi 91

7.1 Đ ị n h nghĩa. V í d ụ 91

7.2 An h x ạ trơ n giữa cá c đ a tạ p 93

7.3 Phâ n th ớ tiế p xúc , đ ố i tiế p x ú c 94

7.3.1 Khôn g gian tiế p xúc . Phâ n th ớ tiế p x ú c . . 94

7.3.2 Khôn g gian đ ố i tiế p xúc . Phâ n th ớ đ ố i tiế p x ú c 96

7.4 Đ a tạ p con. Đ a tạ p thươn g 97

7.4.1 Đi ề u kiệ n dì m v à đi ề u kiệ n ngậ p 97

7.4.2 C ấ u trú c v i phâ n cảm sinh 99

7.4.3 Đ ị n h lí Godeman 100

7.4.4 V í d ụ lo i

7.5 Tôp ô cá c đ a tạ p lo i

7.6 Bà i tậ p củn g cố lý thuyế t 102

7.7 Sơ lược v ề hìn h học Rieman n

tổn g quá t 103

7.8 Sơ lược v ề hìn h học symplectic

tổn g quá t 103

Giớ i thiệ u

0 trư ờ n g pho thông , hìn h học được dạ y v à học theo quan đi ể m

hìn h học Euclid . Cá c vật thể hình học được c ấ u thàn h t ừ cá c mảnh

phang v à mảnh cầu. Quan hệ so sánh giữa cá c vậ t th ể hìn h học

được thực hiệ n b ở i cá c phép dời hình; hai vật thể hình học được

xem là bằng nhau n ế u chún g có th ể được chồng khít lên nhau qua

những phép dời hình.

Đ ạ i số tuyế n tín h v à hìn h học giả i tíc h xé t cá c vậ t th ể hìn h họ c

được c ấ u thàn h t ừ cá c mảnh phang và cá c mảnh bậc 2 tổng quát.

C á c quan h ệ so sán h được xé t nh ư cá c phép biến đổi tuyến tính hoặc

afin. Cá c đư ờ n g bậ c ha i được đư a về 9 dạn g chín h tắc , cá c mặ t bậc

hai tron g khôn g gian 3-chiều được đư a về 17 dạn g chín h tắc . Tron g

hìn h học đ ạ i số b ằ n g phươn g phá p phâ n loạ i có th ể nghiê n cứu cá c

đ ư ờ n g v à mặ t hoặc siê u mặ t bậc 3 hay, tổn g quá t hơn , bậc b ấ t kì.

Phé p biế n đ ổ i cho phé p l à cá c phép biến đổi đa thức hoặc song hữu

tỉ.

Quan điểm nó i trê n được phá t tri ể n tron g cùn g mộ t ng ữ cản h

của hình học vi phân kh i m à cá c vậ t th ể được c ấ u tạ o t ừ cá c mảnh

tham số hoa b ằ n g cá c toa độ địa phương, m à nó i chung cá c hà m

toa đ ộ đ ị a phươn g l à cá c hà m trơ n b ấ t kì. Cá c phé p biế n đ ổ i l à cá c

phép vi phôi. D o vậ y cá c vậ t th ể hìn h học tron g hìn h học v i phâ n

đ a dạn g hơn , nhiề u chiề u hơ n v à theo mộ t nghĩa nh ấ t đ ị n h l à "trơ n

hơn " cá c vậ t th ể hìn h học tron g cá c mô n hìn h học trên .

Phương pháp nghiên cứu của hìn h học v i phâ n tươn g đ ố i đ a

dạng . Trư ớ c h ế t hìn h học v i phâ n sử dụn g cá c phé p tín h v i phâ n v à

tíc h phâ n tron g khôn g gian Eucli d R n

đ ể xâ y dựn g cá c phé p tín h

7

8 Đỗ Ngọc Diệp, Nông Quốc Chinh

v i phâ n v à tíc h phâ n tươn g ứ n g trê n cá c vậ t th ể hìn h học . Đ ồ n g

thờ i n ó cũn g vậ n dụn g cá c phươn g phá p tôpô , tôp ô đ ạ i số, phươn g

phá p t ổ hợp, phươn g trìn h v i phâ n thư ờ n g v à phươn g trìn h đ ạ o

h à m riêng , đ ể tì m ra cá c tín h chấ t của cá c đ ố i tư ợ n g hìn h học.

Giá o trìn h nà y được biê n soạn tron g khuô n kh ổ chươn g trìn h

cho sinh viê n cá c nă m cuố i đ ạ i học. Cá c tá c gi ả đ ã dạ y chươn g trìn h

n à y cho cá c lớp của Đ ạ i học Huế , Đ ạ i học Thá i nguyên , Đ ạ i học

Q u y Nhơn . Thự c t ế giản g dạ y đ ã gợi ý cho cá c tá c gi ả chọ n lọc cá c

n ộ i dun g này, sao cho v ừ a phải, khôn g qu á nhiề u v à cũn g khôn g

q u á nghè o nàn .

Giá o trìn h g ồ m có các chương chính sau: Chươn g Ì dàn h cho

việ c nhì n lạ i lý thuyế t đư ờ n g v à mặ t bậc Ì v à 2. Mụ c đíc h của

chươn g nà y là tạ o r a mộ t kh ở i đi ể m hìn h học cho việ c họ c tiế p tục .

Chươn g 2 được dàn h cho việ c nghiê n cứu cá c đư ờ n g cong tron g

khôn g gian Eucli d n-chiềụ. Chươn g 3 được dàn h cho việ c xâ y dựn g

l ạ i khá i niệ m v ề tens ơ v à đ ạ i số tensơ. Chươn g 4 l à chươn g trọn g

tâm , dàn h cho lý thuyế t mặ t cong tron g khôn g gian Eucli d R 3

.

Tron g chươn g 5 chún g tô i trìn h bà y phé p toá n v i phâ n nhiề u chiều

cho c á c á n h x ạ trơn , đ ồ n g thờ i nh ấ n mạn h cá c đ ị n h lí án h x ạ ẩ n

v à đ ị n h lí án h x ạ ngược . Ha i đ ị n h lí nà y đón g va i tr ò trun g tâ m

tron g việ c nghiê n cứu cá c đ a tạ p con tron g R n

đư ợ c xá c đ ị n h b ở i

h ệ phươn g trìn h hàm . Tron g chươn g 6 chún g tô i trìn h bà y lý thuyế t

tổn g quá t cá c đ a tạ p kh ả vi. Đ ó chín h l à cá c đ ố i tư ợ n g trun g tâ m

của hìn h học v i phân .

Cuố i mỗ i chươn g c ó mộ t số bài tập bổ sung cho phần lí thuyết.

C á c b à i tậ p luyệ n tậ p cơ bản , c ầ n được giản g viê n chọ n t ừ cá c

ngu ồ n khác . Giá o trìn h được biê n soạn l ầ n đ ầ u khôn g trán h kh ỏ i

n h ữ n g thiế u sót. Chún g tô i mon g nhậ n được nhiề u ý kiế n đón g gó p

cho việ c biê n soạn, nộ i dun g v à hìn h thức của giá o trình .

C á c tá c gi ả

Chươn g Ì

Đ ư ờ n g v à mặ t bậ c ha i

Tron g chươn g nà y chún g t a sẽ h ệ thốn g hoa lạ i nh ữ n g khá i niệ m v à

k ế t qu ả nghiê n c ứ u đư ờ n g v à mặ t tron g Đ ạ i số tuyế n tín h v à Hìn h

học giả i tíc h dư ớ i mộ t các h nhì n thốn g nh ấ t l à tha m số hoa v à toa

đ ộ hoa. Các h nhì n thốn g nh ấ t nà y sẽ cho mộ t hìn h dun g sơ b ộ v ề

phươn g phá p nghiê n c ứ u của hìn h học v i phâ n cổ đi ể n .

1.1 Siêu phang afĩn

Trong Đại số tuyến tính, các siêu phang afĩn đóng vai trò cơ bản,

c á c m-ph ẳ n g đư ợ c xe m nh ư giao của h ệ cá c siê u phang afìn .

Tron g hìn h họ c afin , siê u mặ t afi n l à đ ố i tư ợ n g cơ bản . Cá c giao

của cá c siê u mặ t bậ c 2 cho t a cá c đ ố i tươn g ki ể u cá c nhá t cắ t c ầ u ,

nhá t cắ t ellipsoid, V.V....

1.1.1 Thuật khử Gauss-Jordan giải hệ phương

trìn h tuyế n tín h

Để giải hệ phương trình tuyến tính ta có thể sử dụng thuật khử

Gauss-Jordan l à thự c hiệ n cá c phé p biế n đ ổ i sơ c ấp trê n m a trậ n

của h ệ phươn g trìn h đ ã cho. Chún g tô i cho r ằ n g học viê n đ ã biế t

kĩ v ề nh ữ n g v ấ n đ ề liên quan.

9

10 Dỗ Ngọc Diệp, Nông Quốc Chinh

1.1. 2 Đ a tạ p tuyế n tín h v à phươn g phá p to a đ ộ

Ta xét bài toán nghiên cứu tập nghiệm (hạt nhân) của phương trình

véct ơ <p(x) = b , tron g đ ó V? : V -* w là mộ t án h x ạ tuyế n tính .

Khôn g gian nghiệm l à mộ t m-ph ẳ n g afi n dạn g Xo + L vớ i L l à mộ t

m ặ t phang qua gốc toa đ ộ , l à khôn g gian nghiệm (hạ t nhân ) của

á n h x ạ tuyế n tín h y?(x) = 0.

Toa đ ộ hoa cá c khôn g gian véctơ V v à w b ằ n g các h chọ n tron g

m ỗ i khôn g gian mộ t cơ sở tuyế n tính , t a quy b à i toá n v ề giả i h ệ

phươn g trìn h tuyế n tính .

X é t h ệ phươn g trìn h tuyế n tín h tổn g quá t vớ i ra biế n v à ra

phươn g trìn h Ax. = b , với X =

Xi

•En.

và cộ t v ế phả i b =

bi

b2

Theo Đ ị n h lý Kronecker-Kapelli, h ệ phươn g trìn h l à có nghiệm

k h i v à chỉ kh i rank[y4] = rank[i4|b]. Nghiệ m của h ệ l à mộ t khôn g

gian afi n con. N ế u t a chọn toa đ ộ hoa b ằ n g các h chọ n mộ t cơ

sở của khôn g gian nghiệm r ồ i b ổ sung thàn h mộ t cơ sở của toà n

b ộ R n

th ì t a có th ể nói r ằng: Có th ể tác h biế n X = (x, y) vớ i

X — (xi,... , x n -r) , y = (yi, • • •, yr) sao cho r = rank[,4] v à ma trậ n

con

a

\,n-r+l • • • al,n

0-r,n—r+l a r,n

là kh ả nghịch. Cá c biế n Xi,..., xn-r l à biế n t ự do. Cá c biế n Ui,..., yT

là c á c biế n ph ụ thuộc , l à cá c hà m tuyế n tín h theo Xi,... , r c n _ r

theo

q u y tắ c Crame r cho h ệ

a li7l _ r+1 t /i + .. . + ai,nyT k i

— ]Ci= i

ai,ix

i

a

r,n-r+iyi + . . • + ũr n y r — br — Ỵ2t=l ar,ix

i

Như vậy ta có thể tìm một cơ sở trong không gian nghiệm mà

tron g đ ó cá c véctơ nghiệm tươn g ứ n g vớ i X = (xi,.. . ,xn-r) của

Xo + L. Nó i mộ t các h khác , t a có một đẳng cấu afin giữa R n - r

và