Giáo trình hình học sơ cấp

ĐAO TAM

Giáo trình

HÌNH HỌC SO CẪP ■

w

NHÀ XUẤT BẤN ĐẠI HỌC s u PHẠM

PGS.TS ĐÀO TAM

Giáo trình

HÌNH HỌC S ơ CẤP

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC sư PHẠM

Mã sô':01.02.253/411 ĐH - 2005

Trang

Lòi nói đầu 5

Phần thứ nhất: Các hệ tiên đề xây dựng hình học phổ 7

thông và thực hành ứng dụng

Chương I: Các hệ tiên đề xây dựng hình học ỏ trường phổ thông 7

§1. Một số yêu cầu cơ bản của việc xây dựng hình học

bằng phương pháp tiên đề 7

§2. Hệ tiên đề Hinbe của hình học ơclit 8

§3. Hệ tiên đề Pogorelov của hình học ơclit 24

§4. Hệ tiên đề Waylơ của hình học ơclit 27

§5. Mối quan hệ giữa các hệ tiên đề 31

§6 . Hệ tiên đề xây dựng hình học phổ thông Việt Nam 32

Hướng dẫn học chương I 39

Chương II: Sự liên thuộc giữa các hình quan hệ song

song, quan hệ vuông góc 40

§1 . Các bài toán về sự liên thuộc giữa các hình 41

§2. Quan hệ song song, phép chiếu song song 56

§3. Quan hệ vuông góc 65

§4. Seminar về chủ đề: Các bài toán aphin và xạ ảnh

vận dụng vào giải bài toán hình học sơ cấp 70

Hướng dẫn học chương II 80

MỤC Lực

3

P hần th ứ hai: Hình đa diện, hình lồi. Biến hình. Dựng hình 81

Chương III: Hình đa diện và hình lồi 81

§1 . Góc nhị diện và góc tam diện 81

§2. Góc đa diện 88

§3. Hình đa diện 90

§4. Hình lồi 95

Hướng dẫn học chương III 102

Chương IV: Các phép biến hình 108

§ lế Phép dòi hình 108

§2. Phép đồng dạng 142

§3. Seminar: Tích các phép biến hình 154

Hướng dẫn học chương TV 157

Chương V: Dựng hình 165

§1. Các tiên đề của hình học dựng hình 165

§2. Các phép dựng cơ bản 166

§3. Các nội dung cơ bản của lí thuyết dựng 168

§4. Dựng hình bằng phương pháp quỹ tích tương giao 177

§5. Dựng hình bằng phương pháp đại số 181

Hướng dẫn học chương V 187

Tài liệu tham khảo 191

4

Giáo trình hình học sơ cấp, chi tiết hơn là các cơ sỏ lý thuyết

và thực hành hình học phổ thông được biên soạn dành cho sinh

viên khoa Toán Trường đại học sư phạm.

Mục đích của giáo trình nhằm:

Trang bị cho sinh viên các cơ sở xây dựng hình học. Với mục

đích này chúng tôi trình bày một số tiên đề của hình học ơclit

và hệ tiên đề xây dựng hình học phổ thông. Thông qua phương

pháp tiên đề sinh viên nắm được các phương pháp suy diễn

chứng minh trong hình học.

Cung cấp cho sinh viên các phương pháp khác nhau giải

toán hình học: phương pháp tổng hợp, phương pháp véctơ, sử

dụng các phép biến hình để giải toán.

Ngoài các cơ sở lý thuyết nhằm giúp sinh viên nhìn nhận

các vấn đề của hình học phổ thông, các tuyến kiến thức cơ bản

của hình học phổ thông sâu sắc hơn, tổng quát hơn, chúng tôi

còn chú trọng khai thác, các con đường định hướng giải toán nhờ

khai thác các bất biến các ảnh xạ trong hình học.

Trong giáo trình này, một số cơ sở của hình học giải tích

được vận dụng thông qua thực hành giải toán và trình bày một

sô vấn để lý thuyết khác.

5

Giáo trình được chia làm hai phần bao gồm năm chương,

một số chương có hưống dẫn giúp cho học sinh tự học, tự nghiên

cứu tốt hơn và kèm theo một sô seminar dành cho sinh viên.

P h ầ n I: Các hệ tiê n đề xây dựng h ìn h học p h ổ th ô n g

và th ự c h à n h ứng dụng.

P h ầ n II: H ình đ a diện, h ìn h lồi, b iến h ìn h , dự ng hình.

Để nâng cao tay nghề sư phạm cho sinh viên, chúng tôi cho

rằng cần thực hiện giáo trình này kết nối vối các giáo trình

phương pháp dạy học đại cương, đặc biệt là phương pháp dạy

học hình học.

6

PHẦN THỨ NHẤT

CÁC HỆ TIÊN ĐỂ XÂY DựNG

HÌNH HỌC PHỔ THÔNG VÀ TH ựC HÀNH ỨNG DỤNG

CHƯƠNGI

CÁC HỆ TIÊN ĐỂ XÂY DựNG HÌNH HỌC Ở TRƯỜNG

PHỔ THÔNG

§1. M ột sô' yêu cầu cơ b ản củ a việc xây dựng h ìn h học

b ằn g phư ơng p h á p tiê n để

Khi xây dựng một số lý thuyết hình học người ta cần phải có

các khái niệm cơ bản (là những khái niệm đầu tiên không định

nghĩa), và các tiên đề (là những mệnh đề xuất phát, được thừa

nhận là đúng). Tuy nhiên hệ thống các tiên đề cần phải được

đảm bảo các điều kiện sau:

a. Điều kiện phi mâu thuẫn: điều kiện này có nghĩa là

những điều nói trong các tiên đề và những kết quả suy ra từ

chúng không có hai cái nào trái ngược nhau.

b. Điều kiện độc lập: mỗi tiên đề của hệ phải độc lập (đối với

các tiên đề khác), nghĩa là không thể suy ra được nó từ các tiên

đề còn lại.

c. Điều kiện đầy đủ', hệ tiên đề phải đủ để xây dựng môn học

bằng suy diễn lôgíc.

Trong hình học, ứng với mỗi hệ tiên đề lại có một không

gian hình học trừu tượng, sở dĩ gọi là “trừu tượng” vì các khái

7

niệm cơ bản trong hệ tiên đề không được định nghĩa, do đó mỗi

thuật ngữ chỉ một khái niệm cơ bản, ta có thể hiểu là cái gì cũng

được miễn là hệ tiên đề được nghiệm đúng. Một tập hợp những

cái cụ thể như vậy được gọi là một thể hiện hoặc một mô hình

của hệ tiên đề ấy. ứng vói một tiên đề có thể có nhiều mô hình

khác nhau.

§2. Hệ tiê n đề H inbe củ a h ìn h học ơ c lít

Aệ Hệ tiê n đề H inbe tro n g k h o a học h ìn h học

Nhà toán học Hinbe (ngưòi Đức, 1862 - 1943) lần đầu tiên

công bố hình học tiên đề (năm 1899) sau khi phát hiện ra hình

học phi ơclít. Công trình này được giải thưởng Lôbasepski năm

1930. Sau đó, phương pháp tiên đề thịnh hành và xuất hiện

nhiều hệ tiên đề khác. Nhiều công trình nghiên cứu tiếp tục về

cơ sở hình học cũng đã bổ sung, tạo ra nhiều hệ tiên đề tương

đương vối hệ tiên đề Hinbe.

ở đây, ta trình bày hệ tiên đề Hinbe có sửa đổi chút ít. Hệ

tiên đề Hinbe gồm 20 tiên đề với 6 khái niệm cơ bản.

S áu k h á i niệm cơ b ả n gồm:

“Điểm”, “đường thẳng”, “mặt phẳng” (gọi chung là các “đối

tượng cơ bản”).

“Thuộc”, “ở giữa ”, “bang'’ (gọi chung là các “tương quan cơ bản”).

Các tiê n đề củ a H inbe c h ia làm n ăm nhóm :

Nhóm I chứa tám tiên để về “liên thuộc”.

Nhóm II chứa bốn tiên đề về “thứ tự”.

Nhóm III chứa năm tiên đề về “bằng nhau”.

Nhóm IV chứ hai tiên để về liên tục.

8

Nhóm V chứa một tiên đề về song song.

2 ẵl. N hóm I- Các tiê n để vể liên thuộc

Tương quan cơ bản trong nhóm này là tương quan “thuộc”,

có khi gọi là đi qua.

Các tiên đề trong nhóm này là:

Ix. Với hai điểm bất kỳ tồn tại đường thẳng đi qua.

12. Với hai điểm phân biệt có không quá một đường thẳng đi qua.

13. Mỗi đường thẳng có ít nhất hai điểm. Có ít nhất ba điểm

không cùng thuộc một đưòng thẳng.

14. Cho bất cứ ba điểm A, B, c nào, bao giờ cũng có một mặt

phẳng a thuộc mỗi điểm đó. Mỗi mặt phẳng thuộc ít nhất một điểm.

15. Cho bất cứ ba điểm A, B, c nào không cùng thuộc một đưòng

thẳng, không bao giờ có quá một mặt phang thuộc mỗi điểm đó.

16. Nếu hai điểm A, B cùng thuộc một đường thẳng a, đồng

thời cùng thuộc một m ặt phẳng a thì mọi điểm nào khác thuộc

đường thẳng a cũng sẽ thuộc mặt phang a.

17. Nếu hai mặt phẳng cùng thuộc một điểm A thì chúng sẽ

cùng thuộc ít nhất một điểm thứ hai B.

18. Có ít nhất bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.

Sau đây chúng ta sẽ nêu ra một sô các định nghĩa và định lý

có liên quan tới “ nhóm I

Đ ịnh n g h ĩa 1: Nếu mọi điểm của đường thẳng a đều thuộc

mặt phẳng a thì ta nói rằng đường thẳng a thuộc mặt phẳng a

hoặc mặt phẳng a thuộc đường thẳng a.

C hú ý: Chỉ có tương quan thuộc giữa điểm với đường thẳng,

giữa điểm với mặt phẳng là tương quan cơ bản (còn các tương

quan khác đều được định nghĩa).

9

Các đ ịn h lý:

Đ ịnh lý 1: Hai đường thẳng phàn biệt có nhiều nhất là một

điểm chung.

Chứng minh: Nếu hai đường thẳng phân biệt có hai điểm

chung thì theo tiên đề 2 chúng phải trùng nhau nghĩa là chúng

không phải là hai đường thẳng phân biệt nữa và điều này trái

vối giả thiết.

Đ ịnh lý 2: Một mặt phẳng và một đường thẳng không thuộc

mặt phẳng đó có nhiều nhất là một điểm chung.

Chứng minh: Nếu đường thẳng và m ặt phẳng có hai điểm

chung thì theo tiên đề 6, đường thẳng đó sẽ thuộc m ặt phang.

Điều này trái với giả thiết và do đó chúng có nhiều nhất là một

điểm chung.

Đ ịnh lý 3: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung

thì chúng có một đường thẳng chung chứa tất cả các điểm chung

của hai mặt phang.

Đ ịnh n g h ĩa 2:

- Hai đường thẳng gọi là cắt nhau nếu hai đường thẳng chỉ

có một điểm chung, và điểm chung đó gọi là giao điểm của hai

đường thẳng đã cho.

- Đường thẳng và mặt phẳng gọi là cắt nhau nếu đường

thẳng và m ặt phẳng chỉ có một điểm chung. Điểm chung đó gọi

là giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng đã cho.

- Hai mặt phẳng gọi là cắt nhau nếu hai mặt phẳng chỉ có

một đường thẳng chung và đường thẳng chung đó gọi là giao

tuyến của hai mặt phẳng cho trước.

10

Đ ịnh lý 4:

Qua một đường thắng và một điểm không thuộc đường

thắng đó hoặc qua hai đường thắng cắt nhau bao giờ cũng có

một mặt phang và chỉ một mà thôi.

Đ ịnh lý 5:

Mỗi mặt phẳng chứa ít nhất ba điểm không thẳng hàng.

2ẵ2ế N hóm I I - Các tiê n đề vể th ứ tự

ở đây có thêm tương quan cơ bản “ở giữa”.

IIj. Nếu điểm B ở giữa điểm A và điểm c thì A, B, c là ba

điểm khác nhau cùng thuộc một đường thẳng và điểm B cũng ở

giữa c và A.

112. Cho bất cứ hai điểm A, c nào bao giờ cũng có ít nhất

một điểm B trên đường thẳng AC sao cho c ở giữa A và B.

113. Trong bất cứ ba điểm nào cùng thuộc một đường thẳng

không bao giò có quá một điểm ở giữa hai điểm kia.

Đ ịnh n g h ĩa 3: Một cặp điểm A và B gọi là một đoạn thẳng.

Ký hiệu AB hay BA. Các điểm ở giữa A và B gọi là các điểm

tr o n g của AB hay thuộc đoạn AB. Hai điểm A, B gọi là hai đ ầ u

mút của đoạn thẳng đó. Tất cả các điểm còn lại của đường thẳng

AB mà không thuộc đoạn AB và hai đầu mút được gọi là các

điểm ngọài của đoạn AB.

114. Tiên đề Pát.

Cho ba điểm A, B, c không cùng thuộc một đường thẳng và

một đường thẳng a thuộc mặt phẳng (ABC) nhưng không thuộc

bất cứ điểm nào trong ba điểm A, B, c cả. Nếu đường thẳng a có

một điểm chung với đoạn AB thì nó còn có một điểm chung nữa

hoặc với đoạn AC hoặc với đoạn BC.

11

Chú ý:

a) Tiên đề II! cho biết tương quan “ỏ giữa” chỉ đặt ra đối với

ba điểm khác nhau thẳng hàng và tương quan này không phụ

thuộc vào thứ tự của hai đầu mút.

b) Tiên đề II2 cho biết bao giờ cũng có một điểm B ở ngoài

đoạn AC, nghĩa là mỗi đoạn thẳng có ít ra là một điểm ở ngoài.

Do tiên đề này ta biết thêm mỗi đường thẳng có ít ra là ba điểm.

c) Tiên đề II3 cho biết rằng trong ba điểm thẳng hàng thì có

nhiều nhất là một điểm ở giữa hai điểm kia.

Các đ ịn h lý:

Đ ịnh lý 6 : Bất kỳ một đoạn thẳng AB nào, bao giờ cũng có

ít nhất một điểm ở giữa hai điểm A và B đó.

Chứng minh:

Theo tiên đề I3 có một điểm D không thuộc đường thẳng AB.

Theo tiên đề II2 trên đường thẳng AD có một điểm E sao cho D ở

giữa A và E. Cũng theo tiên đề II2 trên đường thảng EB có một

điểm F sao cho B ở giữa E và F.

Theo tiên đề II4 (tiên đề Pát) E

đối với ba điểm A, B, E không

thẳng hàng, đường thẳng FD có

điểm chung với đoạn AE tại D

nên nó phải có điểm chung với

đoạn AB hoặc vói đoạn EB. Nếu

đường thẳng FD có điểm chung

với đoạn EB thì đường thẳng

FD và đưòng thẳng EF phải

trùng nhau theo tiên đề I2 và đó là điều vô lý, vì D và E là hai

điểm khác nhau.

12

Vậy đường thẳng FD phải có một điểm chung c vối đoạn

AB. Ta nói rằng FD cắt AB tại c và như vậy c ở giữa A và B.

Đ ịnh lý 7: Trong bất cứ ba điểm A, B, c nào trên một

đường thắng bao giờ củng có một điểm ở giữa hai điểm kia.

Hệ quả: Với các tiên đề IỈ2, II3 kết hợp với định lý 6 và 7 ta có:

a). Với bất cứ đoạn thẳng AC nào bao giờ trên đường thẳng

AC ta củng có những điểm ở trong và ngoài đoạn AC.

b). Với ba điểm trên một đường thẳng hao giờ cũng có một

và chỉ một điểm ở giữa hai điểm kia.

Đ ịnh lý 8 : Nếu điểm B ở giữa AvàC, điểm c ở giữa B và D

thì các điểm B và c đều ở giữa A và D.

Đ ịnh lý 9: Nếu điểm c ở giữa A và D, điểm B ở giữa AvàC

thì điểm B ở giữa A v à D và điểm c ở giữa B và D.

Đ ịnh lý 10: Nếu B là một điểm của đoạn AC thì đoạn AB và

đoạn BC đều thuộc đoạn AC, nghĩa là mỗi điểm của đoạn AB

hoặc của đoạn BC đều thuộc đoạn AC.

Đ ịnh lý 11: Nếu B là một điểm của đoạn AC thì mỗi điểm

của đoạn AC khác với B phải thuộc hoặc là đoạn AB hoặc là

đoạn BC.

Đ ịnh lý 12: Nếu mỗi điểm B và c đều ở giữa AvàD thì mọi

điểm của đoạn BC đều thuộc đoạn AD.

Đ ịnh lý 13: Mỗi đường thẳng có vô sô'điểm.

Đ ĩnh ng h ĩa 4: Cho ba điểm 0, A, B cùng thuộc một đường

thẳng. Nếu điểm o không ở giữa A và B thì ta nói rằng A và B ở

cùng phía đối với o. Nếu điểm 0 ở giữa A và B thì ta nói rằng A

và B ở khác phía đối với 0.

13

Đ ịnh lý 14: Một điểm o của đường thẳng a chia tất cả các

điểm còn lại của đường thẳng đó ra làm hai lớp không rỗng sao

cho bất cứ hai điểm nào thuộc cùng một lớp thì ở cùng phía đối

với o và bất^cứ hai điểm nào khác lớp thì ở khác phía đối với o .

Đ ịnh n g h ĩa 5: Một điểm o trên đường thẳng a chia tập hợp

các điểm trên đường thẳng này ra làm hai lốp (theo định lý 14).

Mỗi lốp là một nửa đường thẳng hay một tia nhận o làm gốc.

Hai nửa đưòng thẳng hay hai tia gọi là bù nhau nếu chúng có

chung gốc và tạo nên một đường thẳng.

Định nghĩa 6: Trên một tia gốc 0 , điểm A gọi là đi trước

điểm B nếu A thuộc đoạn OB.

Đ ịnh n g h ĩa 7: Cho ba điểm A, B, c không cùng thuộc một

đường thẳng. Khi đó ba đoạn thẳng AB, BC, CA tạo nên một

hình gọi là một tam giác. Các điểm A, B, c gọi là các đỉnh và

các đoạn AB, BC, CA gọi là các cạnh của tam giác. Trong một

tam giác, một đỉnh và một cạnh không thuộc nhau gọi là một

đỉnh và một cạnh đối diện.

Đ ịnh lý 15: Mỗi đường thẳng a của mặt phẳng a chia tất cả

các điểm không thuộc a của a ra hai lớp không rỗng sao cho hai

điểm A, B bất kỳ thuộc hai lớp khác nhau nếu đoạn AB chứa

một điểm của đường thắng a, cbn hai điểm A, A ’ bất kỳ thuộc

cùng một lớp nếu đoạn AA’ không chứa điểm nào của a cả.

Đ ịnh n g h ĩa 8 : Mỗi lốp của mặt phẳng a trong định lý 15 là

một nửa mặt phẳng có đường biên là đường thẳng a. Hai điểm

Mi và M2 thuộc cùng một nửa m ặt phẳng gọi là cùng phÚL đối

với đường thẳng a. Hai điểm M,N thuộc hai nửa m ặt phẳng

khác nhau gọi là khác phía đối với a.

14