Giáo trình giải tích cơ sở

GIẢI TÍCH (CƠ SỞ)

Phần 3. Độ Đo Và Tích Phân

§3. TÍCH PHÂN THEO LEBESGUE

Chuyên ngành: Giải Tích, PPDH Toán

(Phiên bản đã chỉnh sửa)

PGS TS Nguyễn Bích Huy

Ngày 1 tháng 3 năm 2006

1 PHẦN LÝ THUYẾT

1. Điều kiện khả tích theo Riemann

Nếu hàm f khả tích trên [a, b] theo nghĩa tích phân xác định thì ta cũng nói f khả tích

theo Riemann hay (R)−khả tích.

Định lý 1

Hàm f khả tích Riemann trên [a, b] khi và chỉ khi nó thỏa mãn hai điiều kiện sau :

i. f bị chặn.

ii. Tập các điểm gián đoạn của f trên [a, b] có độ đo Lebesgue bằng 0.

2. Định nghĩa tích phân theo Lebesgue

Cho không gian độ đo (X, F, µ) và A ∈ F, f : A −→ R là hàm đo được

(a) Nếu f là hàm đơn giản, không âm trên A và f =

Pn

i=n

ai

.1Ai với Ai ∈ F, Ai ∩ Aj =

ø (i 6= j) và Sn

i=1

Ai = A thì ta định nghĩa tích phân của f trên A theo độ đo µ bởi :

Z

A

f dµ := Xn

i=n

aiµ(Ai)

(b) Nếu f là hàm đo được, không âm thì tồn tại dãy các hàm đơn giản, không âm fn

sao cho

fn(x) ≤ fn+1(x), limn→∞

fn(x) = f(x) ∀x ∈ A

Khi đó ta định nghĩa

Z

A

f dµ = limn→∞ Z

A

fndµ

Chú ý rằng, tích phân hàm đo được không âm luôn tồn tại, là số không âm và có

thể bằng +∞

1