Giáo trình giải tích 2 part 7 doc

58

Theo ñònh lyù haøm aån, coù theå giaûi u, v theo x, y ôû laân caän x = 1, y = −1, u = 1, v = −1.

Coøn ôû laân caän x = 0, y = 1, u = 0, v = 0 thì sao?

Tính ∂u

∂x taïi x = 1, y = −1, vaø taïi x = 0, y = 1 (neáu toàn taïi).

b) Khi naøo thì töø phöông trình f(x, y) = x2 + y2 − 1=0, coù theå giaûi y = g(x). Tính

ñaïo haøm g döïa vaøo coâng thöùc vi phaân coå ñieån.

Chuù yù: Roõ raøng laø töø phöông trình F(x, y) = x3 − y3 = 0, coù theå giaûi duy nhaát

y = x, nhöng ∂F

∂y (0, 0) = 0 : ñieàu kieän trong ñònh lyù haøm aån chæ laø ñieàu caàn.

ÖÙng duïng. Xeùt ña thöùc baäc n, phuï thuoäc tham soá u = (u0, ··· , un−1):

Pu(x) = xn + un−1xn−1 + ··· + u1x + u0

Giaû söû khi u = a, x0 laø nghieäm ñôn cuûa Pa, i.e. Pa(x0)=0, P

a(x0) = 0.

Khi ñoù, theo ñònh lyù haøm aån, toàn taïi laân caän U cuûa a vaø V cuûa x0, sao cho

vôùi moïi u ∈ U, toàn taïi duy nhaát nghieäm x(u) ∈ V cuûa Pu(x)=0.

Vaäy caùc nghieäm ñôn cuûa ña thöùc veà maët ñòa phöông laø caùc haøm lôùp C∞ cuûa tham soá.

Cuï theå, xeùt phöông trình baäc 3: x3 + px + q = 0, vôùi p, q laø tham soá.

Khi xeùt soá nghieäm vaø nghieäm ñôn ña ñeán bieät thöùc ∆=4p3 + 27q2.

Treân mieàn ∆ > 0: coù 1 nghieän ñôn x∗(p, q).

Treân mieàn ∆ < 0: coù 3 nghieän ñôn x−(p, q) < x0(p, q) < x+(p, q).

Treân nhaùnh ∆=0,q > 0: coù 1 nghieän ñôn x−(p, q) < 0 vaø 1 nghieäm keùp x0+(p, q).

Treân nhaùnh ∆=0,q < 0: coù 1 nghieän keùp x0−(p, q) < 0 vaø 1 nghieäm ñôn x+ > 0.

Taïi goác (p, q) = (0, 0): coù 1 nghieäm boäi ba x = 0.

Hôn nöõa, x∗ laø haøm lôùp C∞ treân mieàn ñaàu, x−, x0, x+ laø caùc haøm lôùp C∞ treân mieàn

thöù nhì.

Nhaän xeùt: Ñònh lyù haøm aån vaø haøm ngöôïc thuoäc loaïi ñònh lyù toàn taïi. Ta coù theå

duøng phöông phaùp aùnh xaï co trong chöùng minh ñeå xaây döïng daõy haøm hoäi tuï veà haøm

caàn tìm.