Giải tích trong không gian banach có thứ tự

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Thu Thủy

GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

BANACH CÓ THỨ TỰ

Chuyên ngành: Toán Giải Tích

Mã số: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS. TS. NGUYỄN BÍCH HUY

Thành phố Hồ Chí Minh – 2009

Xin chân thành cảm ơn

PGS. TS Nguyễn Bích Huy đã tận tình giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện luận

văn này.

Quý thầy cô trong khoa đã nhiệt tình giảng dạy em trong suốt quá trình học tập tại

trường và đã tạo điều kiện cho em hoàn thành luận văn này.

Tp. HCM, tháng 10 năm 2009

Học viên

Nguyễn Thị Thu Thủy

MỞ ĐẦU

Quan hệ thứ tự và các nguyên lý cơ bản về tập có thứ tự được sử dụng trong nhiều lĩnh

vực của toán học như trong lý thuyết tập hợp, trong logic học, trong Đại số, trong Giải tích,

…

Chẳng hạn, trong lĩnh vực Giải tích, bổ đề Zorn và các dạng tương đương của nó được

sử dụng để chứng minh những kết quả phức tạp như định lí Tychonoff, định lí Hahn￾Banach, một số định lí về điểm bất động,…Trong các ứng dụng nêu trên các thứ tự được xét

trong một tập hợp không có cấu trúc vectơ và cấu trúc tôpô.

Việc nghiên cứu thứ tự trong các không gian có cấu trúc vectơ và cấu trúc tôpô đưa đến

việc xây dựng lý thuyết về các không gian Banach có thứ tự và các ánh xạ tác động trong

chúng. Lý thuyết này được khởi đầu từ những năm 1940 trong các công trình của M.Krein,

A.Rutman, M.Krasnoselskii,… và tiếp tục được phát triển cho tới gần đây. Nó tìm được

những ứng dụng sâu sắc trong các lĩnh vực Giải tích phi tuyến, Phương trình vi phân, Lý

thuyết điều khiển và tối ưu, Toán kinh tế,…

Trong luận văn này chúng tôi sẽ giới thiệu những khái niệm và kết quả ban đầu về

không gian Banach có thứ tự, về một số lớp ánh xạ đặc biệt tác động trong các không gian

Banach có thứ tự và tính chất c ủa chúng, sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ trong không

gian Banach có thứ tự. Chúng ta sẽ thấy nhiều kết quả về mối liên hệ giữa thứ tự và sự hội tụ

trong tập số thực  cũng như một số tính chất của hàm tăng, hàm lồi trên  cũng đúng cho

không gian Banach có thứ tự và các ánh xạ đơn điệu tăng, ánh xạ lồi.

Vì khả năng và thời gian hạn chế nên bản luận văn chắc chắn không thể thiếu những sai

sót, rất mong nhận được sự góp ý của quí thầy cô và các bạn học viên.

Chương 1:

KHÔNG GIAN BANACH VỚI THỨ TỰ SINH BỞI NÓN

Khi ta muốn đưa thứ tự vào một tập hợp đã có cấu trúc vectơ và cấu trúc tôpô thì thứ tự

này cần phải tương thích với cấu trúc đã có trong tập hợp đó. Nhà toán học Nga M.Krien đã

dùng khái niệm mặt nón để định nghĩa thứ tự trong các không gian định chuẩn. Các định

nghĩa này tỏ ra rất thích hợp để

xây dựng Giải tích trong các không gian Banach có thứ tự.

1.1 Nón và thứ tự sinh bởi nón.

Định nghĩa 1.1.1:

Cho X là không gian Banach trên trường số thực  và K là tập con của X.

Khi đó K được gọi là nón nếu nó thoả mãn các điều kiện sau:

i) K đóng, khác rỗng, và khác {θ} ,

ii) Nếu a b, ∈ , a b x y ax by , 0, , K thì K, ≥ ∈ +∈

iii) Nếu x x ∈ −∈ K và K thì x =θ .

Ví dụ:

Cho X , K ( , , , ) : 0, 1. = =   { 1 2 ≥ ∈ } n

n i xx x x i n thì K là nón trong  n .

Định nghĩa 1.1.2:

Cho X là không gian Banach với nón K. Thứ tự sinh bởi K được định nghĩa như sau:

xy x y y x , K, ∈ ≤ ⇔ −∈K.

Nếu nón K có intK≠ ∅ thì ta định nghĩa x y  nếu y x − ∈int K .

Ở ví dụ trên, thứ tự trong  n sinh bởi nón K được định nghĩa như sau:

1 2 1 2 ( , , , ), ( , , , ),

0, 1.

= =

≤⇔ − ≥ ∈

  n n

i i

x xx x y yy y

xy y x i n

Mệnh đề 1.1.3:

Giả sử " " ≤ là thứ tự trong X sinh bởi nón K. Khi đó :

i) Nếu x y ≤ thì λλ λ x y xzyzz ≤ ∀ ≥ + ≤ + ∀∈ , 0 và , X ,

ii) Nếu *

n n ( ) và lim , lim thì , n n n n x yn x x y y x y →∞ →∞

≤∈ = = ≤ 

iii) Nếu {xn}là dãy tăng và hội tụ về x thì * ≤ ∈ , .  n x xn

Chứng minh:

i) Ta có :

( ) ( ) K nên , yz xz yx xzyz + − + = −∈ +≤ +

λλλ y x yx x y − = −∈ ≤ ( ) K nên . λ λ

ii) Do ( ) * K ( ), lim , K →∞ − ∈ ∈ − =−  n n n n n y x n y x yx đóng nên

yx xy −∈ ≤ K hay .

iii) Giả sử {xn}là dãy tăng. Khi đó * (, ) ≤ ∈ +  n nm x x mn . Cho m → ∞ta

được ( ) * . n x xn ≤ ∈

1.2 Nón chuẩn.

Định nghĩa 1.2.1:

Nón K gọi là nón chuẩn nếu tồn tại số N>0 sao cho với mọi

xy x y , K, thì ta có x N ∈≤ ≤ y .

Ví dụ 1:

i) Nón K ,0 =∈ ≥ { fC f [0,1] } là nón chuẩn trong [0,1] C .

ii) Nón các hàm không âm, có đạo hàm liên tục không là nón chuẩn

trong [0,1]

1 C .

Chứng minh:

i) Lấy f g, K∈ thoả điều kiện f g ≤ .

Ta có với t ∈[0,1] thì 0 () () ≤ ≤ f t gt .

Suy ra

[0,1] [0,1]

sup ( ) sup ( ) hay .

∈ ∈

≤ ≤

t t

f t gt f g

Vậy K là nón chuẩn với hằng số N=1.

ii) Xét dãy ( ) = n

nft t và hàm f t() 1 = . Ta có

* ≤ ∈ , ,  nf fn

'

0 1 0 1

max ( ) max ( ) 1 , 1

≤ ≤ ≤ ≤ nn n = + =+ =

t t

f ft ft n f .

Do đó không tồn tại hằng số N sao cho bất đẳng thức f f n ≤ N đúng với mọi * n∈ .

Mệnh đề 1.2.2 :