HÌNH GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG OXY pot

11

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG

I. VÉCTƠ ĐẶC TRƯNG CỬA ĐƯỜNG THẲNG:

1. Véctơ ( ) 1 2 v a a = ;

là véc tơ chỉ phương (VTCP) của (∆) ⇔ (∆) // giá của v

2. Véctơ n a b = ( ) ;

là véc tơ pháp tuyến (VTPT) của (∆) ⇔ (∆) ⊥ giá của n

3. Nhận xét:

(∆) có vô số véctơ chỉ phương và vô số véctơ pháp tuyến đồng thời v n ⊥

.

II. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

1. Phương trình tham số: PT đt (∆) đi qua M0(x0, y0) và có VTCP ( ) 1 2 v a a = ;

:

( ) 0 1

0 2

x x a t

t

y y a t

 = + 

 ∈

 = + 

2. Phương trình chính tắc: PT đt (∆) đi qua M0(x0, y0) và có VTCP ( ) 1 2 v a a = ;

:

0 0

1 2

x x y y

a a

− −

=

3. Phương trình hệ số góc: PT đt (∆) với hệ số góc a là: y = ax + b.

4. Phương trình tổng quát: PT đt (∆) tổng quát: Ax By C + + = 0 với 2 2 A B + > 0

Nhận xét: (∆): Ax By C + + = 0 với 2 2 A B + > 0 có

VTCP v B A = − ( ) ;

và VTPT n A B = ( ) ;

5. Phương trình đt (∆) đi qua M0(x0, y0) với hệ số góc k là: y k x x y = − + ( 0 0 )

6. Phương trình đt (∆) đi qua M0(x0, y0) với VTPT n A B = ( ) ;

là:

A x x B y y ( − + − = 0 0 ) ( ) 0

7. Phương trình đt (∆) đi qua M0(x0, y0) với VTCP v A B = ( ) ;

là:

B x x A y y ( − − − = 0 0 ) ( ) 0

8. Phương trình đt (∆) đi qua 2 điểm M1(x1, y1), M2(x2, y2): 1 1

2 1 2 1

x x y y

x x y y

− −

=

− −

9. Phương trình đoạn chắn đi qua A(0; a), B(0; b) là: 1

x y

a b + =

10. Phương trình chùm đường thẳng: Cho 2 đường thẳng cắt nhau

(∆ + + = ∆ + + = 1 1 1 1 2 2 2 2 ): 0; : 0 a x b y c a x b y c ( ) với I = (∆ ∆ 1 2 ) ∩ ( ) .

Đường thẳng (∆) đi qua I là: p a x b y c q a x b y c ( 1 1 1 2 2 2 + + + + + = ) ( ) 0 với 2 2

p q + >0

www.laisac.page.tl 

HÌ N H GI Ả I TÍ C H TR ON G MẶ T P HẲ N G OX Y 

Thầy Trần Phương

Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương

12

III. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA 2 ĐƯỜNG THẲNG

1. Dạng tham số: (∆1) đi qua M1(x1; y1): ( ) 1 1

1 1

x x a t

t

y y b t

 = + 

 ∈

 = +

,

(∆2) đi qua M2(x2; y2): ( ) 2 2

2 2

x x a t

t

y y b t

 = + 

 ∈

 = +

Nếu ( ) 1 1 1 v a b = ; //



( ) 2 2 2 v a b = ;



⇔ 1 2 2 1 a b a b − ≠ 0 thì (∆ ∆ 1 2 ) ∩ ( ) = điểm I.

Nếu ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 v a b v a b = = ; // ;




// M M1 2 ⇔

( ) ( )

1 2 2 1

1 2 1 1 2 1

0

0

a b a b

a y y b x x

 − =



 − − − ≠ 

thì (∆1) // (∆2).

Nếu ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 v a b v a b = = ; // ;




1 2 // M M ⇔

( ) ( )

1 2 2 1

1 2 1 1 2 1

0

0

a b a b

a y y b x x

 − = 



 − − − = 

thì (∆1) ≡ (∆2).

2. Dạng tổng quát:

( ) ( )

( ) ( )

1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2

: 0; ;

: 0; ;

a x b y c n a b

a x b y c n a b

 ∆ + + = = 



 ∆ + + = = 





;

1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

; ; x y

a b b c c a

D D D

a b b c c a

= = =

Nếu D ≠ 0 ⇔ 1 2 2 1 a b a b − ≠ 0 thì (∆ ∆ 1 2 ) ∩ ( ) = điểm ;

Dx

Dy

I

D D

     

Nếu D = 0 và 2 2 0 D D x y + > ⇔ 1 2 1

1 2 2

a a c

b b c = ≠ thì (∆1) // (∆2).

Nếu 0 D D D = = = x y ⇔ 1 2 1

1 2 2

a a c

b b c

= = thì (∆1) ≡ (∆2).

IV. GÓC GIỮA 2 ĐƯỜNG THẲNG:

1. Dạng hệ số góc:

Cho

( )

( )

1 1 1

2 2 1

:

:

y a x b

y a x b

 ∆ = + 



 ∆ = + 

. Góc ( ) [ ] 1 2

1 2

1 2

, 0;90 : tg

1

a a

a a

−

∆ ∆ = α∈ ° α =

+

2. Dạng tổng quát:

Cho

( ) ( )

( ) ( )

1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2

: 0; ;

: 0; ;

a x b y c n a b

a x b y c n a b

 ∆ + + = = 



 ∆ + + = = 





;

1 2 2 2

2 2 2 2

1 1 2 2

cos

a a b b

a b a b

+

α =

+ +

Bài 2. Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng

13

V. KHOẢNG CÁCH VÀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG PHẦN GIÁC

1. Khoảng cách từ M0(x0, y0) đến (∆): ax by c + + = 0 là: ( ) ( ) 0 0

2 2

,

ax by c

d M

a b

+ +

∆ =

+

2. Cho

( )

( )

1 1 1 1

2 2 2 2

: 0

: 0

a x b y c

a x b y c

 ∆ + + = 



 ∆ + + = 

cắt nhau thì phương trình 2 đường phân giác

1 1 1 2 2 2

2 2 2 2

1 1 2 2

a x b y c a x b y c

a b a b

+ + + +

= ±

+ +

VI. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA

Bài 1. Trên mặt phẳng Oxy cho điểm A(2;−2). Viết phương trình đường thẳng

∆ đi qua điểm M (3;1) và cắt trục Ox, Oy tại B và C sao cho tam giác ABC cân

Giải

Gọi B b Ox ( ;0) = ∆ ∩ và C c Oy (0; ) = ∆ ∩ suy ra (∆): 1 0 ( ) x y

bc b c + = ≠

M (3;1) ( ) ∈ ∆ ⇒ 3 1

1

b c + = , (1). Tam giác ABC cân tại A 2 2 ⇔ = AB AC

( ) ( ) 2 2 2 2 4

2 4 4 2

2 2

b c b c

b c

b c b c

  − = + = +

⇔ − + = + + ⇔ ⇔     − = − − = −

Với b c = + 4 : ( ) 2

1 2

2, 6

1 4 ( ) : 1; ( ) : 1

2, 2 6 2 2 2

c b x x y y

c

c b

 = = ⇔ = ⇔ ⇒ ∆ + = ∆ + = 

= − = − 

Với b c = − : (1 2 2 ) ⇔ = b c ⇒ = − (loại, do trùng với ( ) 2

∆ )

Bài 2. Cho tam giác ABC có đỉnh A(–1; –3)

a. Giả sử hai đường cao (BH): 5 3 25 0 x y + − = , (CK): 3 8 12 0 x y + − = .

Hãy viết phương trình cạnh BC.

b. Giả sử đường trung trực của AB là (∆): 3 2 4 0 x y + − = và G(4; – 2) là

trọng tâm của tam giác ABC. Xác định tọa độ các đỉnh B và C .

Dấu hiệu Phân giác góc nhọn Phân giác góc tù

1 2 1 2 a a b b + > 0

1 1 1 2 2 2

2 2 2 2

1 1 2 2

a x b y c a x b y c

a b a b

+ + + +

=

+ +

1 1 1 2 2 2

2 2 2 2

1 1 2 2

a x b y c a x b y c

a b a b

+ + + +

= −

+ +

1 2 1 2 a a b b + < 0

1 1 1 2 2 2

2 2 2 2

1 1 2 2

a x b y c a x b y c

a b a b

+ + + +

= −

+ +

1 1 1 2 2 2

2 2 2 2

1 1 2 2

a x b y c a x b y c

a b a b

+ + + +

=

+ +

Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương

14

Giải

a. (AB) ⊥ (CK) nên (AB) có phương trình là 8 3 0 x y c − + =

Điểm A AB c AB x y ∈ ⇔ = − ( ) 1 :8 3 1 0 ⇒ ( ) − − = .

( AC BH ) ⊥ ( ) nên ( AC) có phương trình 3 5 0 x y m − + =

Điểm A AC m AC x y ∈( ) ⇒ = −12 :3 5 12 0 ⇒ ( ) − − =

B BH AB ≡ ( ) ( ) ∩ ⇒ Tọa độ của B thỏa mãn hệ: ( ) 8 3 1 0

2;5

5 3 25 0

x y

B

x y

 − − =  ⇒

 + − =

C CK AC ≡ ( ) ( ) ∩ ⇒ Tọa độ của C thỏa mãn hệ: ( ) 3 5 12 0

4;0

3 8 12 0

x y

C

x y

 − − =  ⇒

 + − =

Phương trình cạnh BC là (BC): 2 5

5 2 20 0 4 2 0 5

x y

x y − −

= ⇔ + − =

− −

b. (AB) ⊥ (∆ + − = ): 3 2 4 0 x y và chứa A(−1;−3) ⇒ ( AB x y ): 2( 1) 3( 3) 0 + − + =

hay ( AB x y ):2 3 7 0 − − = . Gọi M là trung điểm AB suy ra tọa độ của M thỏa hệ:

( ) 3 2 4 0

2; 1

2 3 7 0

x y

M

x y

 + − =  ⇒ −

 − − =

, khi đó: ( ) 2 5

5;1

2 1

B M A

B M A

x x x

B

y y y

 = − =

 ⇒

= − = 

Điểm G(4;−2) là trọng tâm ∆ABC nên:

3

3

A B C G

A B C G

x x x x

y y y y

 + + =



 + + = 

( ) 1 5 12 8

8; 4

3 1 6 4

C C

C C

x x

C

y y

    − + + = =

⇔ ⇔   ⇒ −

  − + + = − = −  

. Vậy B C (5;1 , 8; 4 ) ( )

Bài 3. Cho 1 2 ( ) : 5 0; ( ) : 2 7 0 d x y d x y + + = + − = và điểm A(2;3) .

Tìm B ( ) 1 ∈ d và C ( ) 2 ∈ d sao cho ∆ABC có trọng tâm G (2;0) .

Giải

Đặt ( ) B ; 5 ( ) 1 1 1 t t d − − ∈ và ( ) C 7 2 ; ( ) 2 2 2 − ∈ t t d

Điểm G(2; 0) là trọng tâm ∆ABC nên:

3

3

A B C G

A B C G

x x x x

y y y y

 + + =



 + + = 

1 2 1 2 1

1 2 1 2 2

2 7 2 6 2 3 1

3 5 0 2 1

t t t t t

t t t t t

   + + − = − = − = −

⇔ ⇔ ⇔   

− − + = − = − =   

. Vậy B C (−1; 4 , 5;1 ) ( )

Bài 2. Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng

15

Bài 4. Cho 1 2 ( ) : 1 0 ;( ) : 2 1 0 ∆ − + = ∆ + + = x y x y và điểm M(2;1).

Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M và cắt 1 2 ( ),( ) ∆ ∆

lần lượt tại A, B sao cho M là trung điểm của đoạn thẳng AB.

Giải

Điểm ( ) ( ) A A ; 1 1 1 1 ∈ ∆ ⇒ t t + ; Điểm ( ) ( ) B B ; 2 1 2 2 2 ∈ ∆ ⇒ t t − −

M(2; 1) là trung điểm AB nên: 1 2

1 2

2 4

2 2 2

A B M

A B M

x x x t t

y y y t t

  + = + =

  ⇔

+ = − =  

1 2

10 2

,

3 3 ⇔ = = t t . Suy ra ( ) ( ) ( ) 10 13 7 2 4 ; , ; AB 2;5

3 3 3 3 3

A B − ⇒ = −

(d) qua M và nhận AB

làm VTCP có PT là: 2 1

5 2 8 0 2 5

x y

x y − −

= ⇔ − − =

Bài 5. Cho 1 2 ( ) : 2 5 0 ; ( ) : 3 0 ∆ − + = ∆ + − = x y x y và điểm M(–2; 0).

Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M và cắt 1 2 ( ),( ) ∆ ∆

lần lượt tại A và B sao cho MA 2 MB =

Giải

Điểm ( ) ( ) A A ; 2 5 1 1 1 ∈ ∆ ⇒ t t + ; Điểm ( ) ( ) B B ;3 2 2 2 ∈ ∆ ⇒ t t −

Suy ra: ( ) ( ) MA 2; 2 5 , MB 2;3 1 1 2 2 = + + = + − t t t t

( )

( )

1 2

1 2

2 2 2

MA 2 MB

2 5 2 3

t t

t t

 + = + 

= ⇔ 

 + = − 

⇔ ( )

1

1 2

1 2 2

1

2 2

MA 3;7 1

2 2 1

2

t

t t

t t t

 =

 − = 

  ⇔ ⇒ =

+ = = −  

(d) qua M và nhận MA

làm VTCP có PT là: 2

7 3 14 0 3 7

x y

x y +

= ⇔ − + =

Bài 6. Cho ∆ABC có đỉnh A(2;−7) phương trình một đường cao và một trung

tuyến vẽ từ hai đỉnh khác nhau lần lượt là: 3 11 0, 2 7 0 x y x y + + = + + = .

Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC.

Giải

Nhận xét: Do A(2; −7) có tọa độ không thỏa mãn phương trình một trong hai

đường thẳng đã cho nên các đường cao và trung tuyến không đi qua A(2; −7).

Đặt (BH): 3 11 0 x y + + = và (CM): x y + + = 2 7 0 .

Ta có: B BH B ; 3 11 ∈( ) ⇒ (t t − − ) . Gọi M là trung điểm AB khi đó tọa độ M là