Giải tích các hàm nhiều biến

bé s¸ch to¸n häc cao cÊp - viÖn to¸n häc

§inh ThÕ Lôc

Ph¹m Huy §iÓn

T¹ Duy Ph−îng

Gi¶i tÝch c¸c hµm nhiÒu biÕn

Nh÷ng nguyªn lý c¬ b¶n vµ tÝnh to¸n thùc hµnh

nhµ xuÊt b¶n ®¹i häc quèc gia hµ néi

Héi §ång biªn tËp

Hµ Huy Kho¸i (Chñ tÞch)

Ng« ViÖt Trung

Ph¹m Huy §iÓn (Th− ký)

Gi¶i tÝch c¸c

hµm nhiÒu biÕn

Nh÷ng nguyªn lý c¬ b¶n

vµ tÝnh to¸n thùc hµnh

§inh ThÕ Lôc

Ph¹m Huy §iÓn

T¹ Duy Ph−îng

Bé s¸ch To¸n häc cao cÊp - ViÖn To¸n häc

i

Lời nói đầu

uốn sách này có thể xem là tập tiếp theo của giáo trình giải tích các hàm

số một biến, đã được Nhà xuất bản Giáo dục ấn hành năm 1998, với tựa

đề "Giải tích Toán học: Những nguyên lý cơ bản và tính toán thực hành".

Trong giáo trình đó chúng ta đã khảo sát dãy số, chuỗi số, hàm số và các

phép tính vi tích phân trong không gian một chiều (trục số thực). Trong tập tiếp

theo này các đối tượng trên sẽ được khảo sát trong không gian nhiều chiều, và đó

chính là sự khác biệt cơ bản giữa hai giáo trình. Để xây dựng các phép tính vi tích

phân trong không gian nhiều chiều, trước hết phải hiểu rõ cấu trúc của những

không gian này. Chương 1 đề cập tới hai cấu trúc quan trọng nhất của không gian

nhiều chiều, cấu trúc tuyến tính và cấu trúc khoảng cách, thông qua một ví dụ điển

hình là không gian n \ . Để giáo trình mang tính độc lập nhất định, không gian này

được xây dựng trực tiếp, mà không dựa vào khái niệm không gian tuyến tính tổng

quát trong giáo trình Đại số tuyến tính. Để tránh cồng kềnh, các khái niệm và kết

quả của chương này được chọn lọc tới mức tối thiểu từ 3 môn Đại số tuyến tính,

Tôpô và Giải tích hàm, vừa đủ sử dụng cho những chương sau, đồng thời dẫn dắt

người học làm quen với những bộ môn quan trọng đó. Các chương từ 2 đến 7

không chỉ thiết lập trong không gian nhiều chiều những gì đã biết trong Giải tích

một biến mà còn đưa ra những khái niệm mới chỉ xuất hiện trong không gian nhiều

chiều. Chương 8 trình bày các kiến thức cơ bản về chuỗi Fourier và phép biến đổi

tích phân Fourier. Chương cuối cùng giới thiệu sơ lược về hệ phương trình vi phân

và phương trình đạo hàm riêng. Hai chương sau này nhằm mục đích củng cố

những kiến thức về vi tích phân đã học trong những chương trước, rèn luyện kỹ

năng tính toán thực hành và trang bị kiến thức để học viên tìm hiểu các môn học

khác như Vật lý, Cơ học, Sinh học,...

Nếu như các khái niệm, kết quả chứng minh trong Giải tích một biến có tính

trực quan cao, dễ hiển thị, thì sang không gian nhiều chiều tính trừu tượng đã tăng

lên rõ rệt. Tuy nhiên, cái đẹp của Toán học nằm trong sự trừu tượng và cái ích của

Toán học nằm trong sự cụ thể. Để hiểu rõ hai mặt ấy của Toán học đồng thời

nhằm rèn luyện phương pháp suy luận toán học cho sinh viên, trong giáo trình này

hai cách tiếp cận thường được sử dụng đan xen nhau: đó là cách đi từ cụ thể tới

trừu tượng và ngược lại, từ trừu tượng tới cụ thể tuỳ theo từng khái niệm, từng

định lý. Mỗi khi các kết quả được phát biểu và chứng minh trong không gian tổng

quát n chiều, thì người đọc có thể hạn chế trong trường hợp n=2 hoặc n=3 để hiểu

dễ dàng và thấu đáo hơn. Trong tài liệu này, chúng tôi cố gắng đưa vào các chứng

minh đầy đủ của những định lý lớn và “hóc búa” thường bị né tránh trong các

giáo trình hiện hành. Những chứng minh này là khó nhưng chứa đựng các phương

pháp suy luận điển hình rất cần cho việc rèn luyện tư duy (nhất là đối với học sinh

cao học và những ai muốn đi sâu hơn vào lĩnh vực Giải tích Toán học). Người đọc

C

ii

không cần nhớ chi tiết, mà chỉ cần hiểu được các chứng minh này đã được xem là

đạt yêu cầu.

Việc minh hoạ và tính toán trong không gian nhiều chiều vốn là một vấn đề

khó vì không mấy khi có thể thực hiện được bằng thủ công, nhất là về các chủ đề:

Vẽ đồ thị trong không gian, tính tích phân bội, tính vi phân hàm ẩn vectơ nhiều

biến, tính toán các biến đổi tích phân Fourier, giải phương trình đạo hàm riêng,...

Cái khó ở đây bắt đầu ngay từ việc tìm sao cho ra một ví dụ có thể xử lý được.

Chính vì vậy, lĩnh vực này luôn luôn là mơ hồ đối với hầu hết mọi học viên (từ đại

học đến cao học). Nhằm xoá bỏ tình trạng này, chúng tôi mạnh dạn đưa vào giáo

trình phần hướng dẫn tính toán thực hành trên máy, ngay sau mỗi chương lý

thuyết. Qua đây người đọc sẽ thấy rằng ngày nay, với máy tính và phần mềm toán

học thông dụng (có sẵn trên thị trường và trên Internet), chỉ bằng những dòng lệnh

đơn giản tương tự như ngôn ngữ toán học thông thường, người ta có thể "sờ thấy

được" những gì mà trước đây không thể nào hình dung ra nổi. Nếu chưa có sẵn

các chương trình tính toán trên máy cá nhân, người đọc có thể truy cập tới một số

trung tâm cung cấp dịch vụ tính toán qua mạng (thường là miễn phí) để có thể thực

hành tính toán được ngay (bạn đọc có nhu cầu xin liên hệ với các tác giả để biết

thêm thông tin chi tiết). Đối với người học chưa có điều kiện tiếp xúc với máy tính,

việc đọc phần này vẫn rất có tác dụng, vì sẽ biết được cơ chế giao tiếp giữa người

với máy và biết được những gì máy tính có thể thay thế con người trong quá trình

tính toán. Quan trọng hơn, qua các ví dụ minh hoạ về tính toán trên máy trình bày

trong sách, người học sẽ nắm được kiến thức toán học một cách sâu sắc hơn, do

tiếp cận được tới những điều mà trước đây tưởng như là không thể. Khi không còn

bị mặc cảm bởi những bài toán hóc búa, người ta sẽ thấy toán học không còn là

huyền bí và tự tin trong việc đón nhận những bài toán khó nảy sinh từ thực tiễn sản

xuất.

Chúng tôi hy vọng rằng cuốn sách này sẽ là một cẩm nang tốt cho những ai

muốn hiểu sâu sắc về Giải tích toán học nói chung, và về giải tích các hàm số

nhiều biến nói riêng. Do đó, nó sẽ là hữu ích đối với các học sinh cao học, cũng

như thầy và trò các trường Tổng hợp, Sư phạm, Kỹ thuật,...

Tập thể tác giả xin chân thành cảm ơn giáo sư Nguyễn Duy Tiến (ĐHQG Hà

Nội) và giáo sư Đoàn Quỳnh (ĐHSP Hà Nội) đã đọc rất kỹ bản thảo và đã cho

những nhận xét quý báu. Việc trình bầy một chủ đề phức tạp sẽ không thể tránh

khỏi những sai sót, cho nên chúng tôi mong tiếp tục nhận được sự phê bình, góp ý

của các đồng nghiệp và học viên gửi về theo địa chỉ: Viện Toán học, Trung tâm

Khoa học Tự nhiên và Công nghệ Quốc gia, 18-Đường Hoàng Quốc Việt, Quận

Cầu Giấy, Hà Nội.

CÁC TÁC GIẢ

Chương 1

Không gian Rn

&

Không gian metric

1.1. Không gian Rn ........................................................................................................ 1

1.1.1. Điểm trong không gian n-chiều......................................................................................... 2

1.1.2. Vectơ trong không gian n-chiều........................................................................................ 3

1.1.3. Tích vô hướng ................................................................................................................... 4

1.1.4. Chuẩn của vectơ................................................................................................................ 5

1.1.5. Ánh xạ tuyến tính.............................................................................................................. 7

1.2. Không gian metric............................................................................................... 10

1.2.1. Định nghĩa và các ví dụ................................................................................................... 10

1.2.2. Tập đóng và tập mở trong không gian metric ................................................................. 12

1.2.3. Hội tụ trong không gian metric ....................................................................................... 15

1.2.4. Tính đầy đủ trong không gian metric.............................................................................. 17

1.2.5. Tính compact trong không gian metric ........................................................................... 19

1.2.6. Ánh xạ trong không gian metric...................................................................................... 24

1.2.7. Không gian siêu metric ................................................................................................... 27

1.1. Không gian Rn

Trong giáo trình này chúng ta sẽ làm việc trên không gian Rn

- một ví dụ rất

đặc biệt của không gian n-chiều. Để giáo trình có được tính độc lập nhất định,

chúng tôi sẽ trình bày lại một cách ngắn gọn việc xây dựng không gian Rn

. Độc giả

nào quan tâm đến lý thuyết không gian n-chiều nói chung xin xem trong các giáo

trình Đại số tuyến tính. Độc giả nào đã học qua giáo trình Đại số tuyến tính có thể

bỏ qua phần này.

2 Giải tích các hàm nhiều biến

1.1.1. Điểm trong không gian n-chiều

Ta đã quen thuộc với cách dùng một số để biểu diễn một điểm trên đường

thẳng (khi trên đường thẳng đó cho sẵn đơn vị dài). Ta cũng đã biết việc dùng một

cặp 2 số (x,y) để biểu diễn một điểm trong mặt phẳng có hệ tọa độ Descartes.

Tương tự như vậy, người ta sử dụng một bộ 3 số (x,y,z) để biểu diễn một điểm

trong không gian.

Đường thẳng còn được gọi là không gian 1-chiều, mặt phẳng còn được gọi là

không gian 2-chiều, và không gian vật lý xung quanh ta còn được gọi là không

gian 3-chiều. Như vậy, một số biểu diễn một điểm trong không gian 1-chiều, một

cặp 2 số biểu diễn điểm trong không gian 2-chiều, và một bộ 3 số biểu diễn một

điểm trong không gian 3-chiều. Tuy rằng, ta không thể cho được minh họa hình

học của cách biểu diễn điểm trong không gian có số chiều lớn hơn 3, nhưng bằng

cách khái quát hóa, người ta có thể dùng một bộ n số để biểu diễn một điểm trong

không gian n-chiều. Không gian n-chiều với n 4 ≥ không phải chỉ là sự tưởng

tượng và khái quát hóa của các nhà toán học, mà chúng thật sự tồn tại trong vật lý,

kinh tế, xã hội... Thí dụ để biểu diễn nhiệt độ tại một điểm trong không gian xung

quanh ta thì ngoài 3-chiều thông thường ta phải thêm một chiều thời gian. Hoặc để

biểu diễn tình trạng sức khỏe của một người nào đó ta phải dùng bộ nhiều số: chiều

cao, trọng lượng, vòng ngực, huyết áp, độ thính, tầm nhìn... Chính xác hơn, với số

tự nhiên n cho trước, ta có:

Định nghĩa. Một điểm trong không gian n-chiều là một bộ n số có thứ tự

1 2 ( , ,..., ) n x x x .

Người ta thường ký hiệu một điểm trong không gian n-chiều bằng một chữ đậm, thí dụ

như x, và viết x = 1 2 ( , ,..., ) n x x x . Số i x trong bộ số này được gọi là tọa độ thứ i của

điểm x.

Giả sử có 2 điểm trong cùng một không gian n-chiều là

a = 1 2 ( , ,..., ) n aa a và b = 1 2 ( , ,..., ) n bb b ,

ta định nghĩa tổng của chúng (a+b) là một điểm trong không gian n-chiều với các tọa

độ là

1 12 2 ( , ,..., ) a ba b a b ++ +n n ,

và ta định nghĩa tích của điểm a với một số λ là một điểm với các tọa độ là

1 2 ( , ,..., ) λλ λ aa an .

Thí dụ. Trong không gian 3-chiều, với a = (1,3,5), b = (2,0,1), λ = 7, ta có

a+b = (3,3,6) và λa = (7,21,35).

Người ta ký hiệu 0 là điểm (trong không gian n-chiều) có tất cả các tọa độ

bằng 0 (tức là 0 = (0,0,...,0)) và gọi nó là điểm gốc, còn -a là điểm (-1)a (tức là

điểm có các tọa độ ngược dấu với các tọa độ điểm a). Khi ấy dễ dàng kiểm tra rằng

các phép tính trên thỏa mãn các luật sau:

Chương 1. Không gian Rn và không gian metric 3

(1) (a + b) + c = a + (b + c) ;

(2) a + b = b + a ;

(3) λ(a + b) = λa + λb ;

(4) (λ + µ)a = λa + µa và (λµ)a = λ(µa) , với mọi số λ, µ;

(5) 0 + a = a + 0 = a với mọi a ;

(6) 1.a = a và a + (-a) = 0 .

Từ đây người ta cũng quy ước viết a - b thay cho a +(- b) .

Chứng minh các đẳng thức trên là dễ dàng, người đọc có thể tự làm như các

bài tập. Để làm thí dụ, chúng ta chứng minh đẳng thức (3).

Theo định nghĩa 1 1 ( ,..., ) a b += + + ab a b n n , nên

11 1 1 ( ) ( ( ),..., ( )) ( ,..., ) λ λ λ λ λ λ λ λλ ab a b += + + = + + = + ab a b a b a b nn n n .

1.1.2. Vectơ trong không gian n-chiều

Người ta gọi mỗi cặp điểm a, b trong không gian n-chiều là một vectơ buộc

(hay vectơ định vị) trong không gian n-chiều.

Vectơ xác định bởi cặp điểm a, b được ký

hiệu là ab . Người ta gọi a là điểm đầu, b là

điểm cuối, và còn gọi ab là vectơ định vị tại a.

Hai vectơ ab và cd được gọi là tương

đẳng nếu chúng thỏa mãn điều kiện

ba dc − = − .

Theo định nghĩa đó, vectơ ab là tương

đẳng với vectơ định vị tại gốc 0 và có điểm cuối là b-a. Rõ ràng, chỉ có duy nhất

một vectơ định vị tại gốc tương đẳng với một vectơ cho trước (vì dễ thấy rằng nếu

2 vectơ tương đẳng mà cùng định vị tại gốc thì điểm cuối của chúng cũng trùng

nhau). Điều này được minh họa trong trường hợp 2-chiều như hình vẽ bên.

Vectơ định vị tại gốc được xác định hoàn toàn bởi điểm cuối của nó, cho nên

trong không gian n-chiều ta có mối tương quan 1-1 giữa điểm và vectơ định vị tại

gốc. Như vậy một bộ n số có thể được xem là tọa độ của một điểm a hay của một

vectơ định vị tại gốc 0a , và để cho thuận tiện người ta viết vectơ này một cách đơn

giản là a hay thậm chí là a, trong trường hợp không sợ xảy ra nhầm lẫn.

Hai vectơ ab và cd được gọi là song song nếu tồn tại số λ ≠ 0 sao

cho ba dc − = λ( ) − . Khi số λ là dương thì ta nói rằng chúng cùng hướng (hay

cùng chiều), và trong trường hợp ngược lại ta nói rằng chúng ngược hướng (hay

ngược chiều) nhau.

a

b

b-a

0

Hình 1.1

4 Giải tích các hàm nhiều biến

Như vậy, hai vectơ là song song với nhau khi và chỉ khi các vectơ định vị tại

gốc tương đẳng với chúng sai khác nhau một hệ số (khác 0). Nghĩa là, khái niệm

song song ở đây hoàn toàn phù hợp với những gì biết trong trường hợp không gian

2-chiều hoặc 3-chiều (trong giáo trình Hình học giải tích).

1.1.3. Tích vô hướng

Định nghĩa. Tích vô hướng của 2 vectơ a = 1 2 ( , ,..., ) aa an và b = 1 2 ( , ,..., ) bb bn

là một số (ký hiệu là a.b ) xác định như sau:

a.b := 11 2 2 ... ab a b a b + ++ n n .

(Trong một số giáo trình, để phân biệt tích vô hướng của 2 vectơ với tích thông

thường của 2 số, người ta còn ký hiệu tích vô hướng của 2 vectơ a và b là (a,b)

hay a b, . Tuy nhiên, trong giáo trình này, khi cần phân định rõ sự khác biệt giữa

các vectơ với các số thông thường, chúng ta sẽ dùng phông chữ đậm để biểu diễn

vectơ, cho nên sẽ không xảy ra sự lẫn lộn giữa 2 khái niệm đã nói. Vì vậy, chúng ta

sẽ sử dụng cách ký hiệu đơn giản như đã trình bày trên, như rất nhiều tài liệu nước

ngoài hiện nay, và sẽ chỉ sử dụng ký hiệu <.,.> khi nào thấy cần thiết).

Tính chất. Từ định nghĩa trên ta thấy tích vô hướng của 2 vectơ có những tính

chất sau:

1) ab ba . . = ;

2) a b c ab ac b c a .( ) . . ( ). += + =+ ;

3) ( . ). .( . ) α α a b ab = , với mọi số α ;

4) a a. 0 ≥ , và a a. 0 = khi và chỉ khi a = 0.

Chứng minh. Việc kiểm tra các Tính chất 1 và 3 là dễ dàng và dành lại cho người

đọc. Ta kiểm tra các tính chất còn lại. Đẳng thức đầu trong Tính chất 2 suy ra từ

nhận xét sau

11 1 2 2 2

11 2 2 11 2 2

.( ) ( ) ( ) ... ( )

( ... ) ( ... )

nn n

nn nn

ab c a b c a b c

ab a b a b ac a c a c . .

+ = + + + ++ + =

= + ++ + + ++ = +

ab c

ab ac

và đẳng thức sau suy ra từ Tính chất 1.

Phần xuôi của Tính chất 4 có ngay từ định nghĩa, còn phần ngược lại thì rút ra

từ nhận xét rằng nếu trong bộ số 1 2 ( , ,..., ) aa an có một phần tử nào đó khác 0, thí

dụ là ai , thì

22 22

1 2 a a. ... 0 = + ++ aa aa n i ≥ > .

Các tính chất đã được kiểm tra xong.

Chương 1. Không gian Rn và không gian metric 5

Để cho thuận tiện người ta hay viết 2 a thay cho a a. . Lưu ý rằng đây chỉ là quy

ước mang tính hình thức và không có liên quan gì đến phép lũy thừa (hoàn toàn vô

nghĩa khi viết 3 a ). Tuy nhiên người đọc có thể dễ dàng kiểm tra các “hằng đẳng

thức” tương tự sau đây:

22 2 ( ) 2. a b a ab b + =+ + ,

22 2 ( ) 2. a b a ab b − = − + .

Hai vectơ a và b được gọi là vuông góc với nhau nếu a b. 0 = .

Trong trường hợp không gian 2-chiều và 3-chiều khái niệm vuông góc ở đây

hoàn toàn trùng hợp với khái niệm vuông góc thông thường.

1.1.4. Chuẩn của vectơ

Bổ đề sau đây có tên là bất đẳng thức Schwarz và sẽ đóng vai trò quan trọng

trong lý thuyết vectơ.

Bổ đề (Schwarz). Với 2 vectơ a, b ta luôn có

2 ( . ) ( . ).( . ) ab aa bb ≤ .

Chứng minh. Với a 0 = thì bất đẳng thức trên là hiển nhiên. Khi a 0 ≠ từ Tính

chất 4 ta có ( , ) 0 t t a ba b + + ≥ , với mọi số t. Suy ra

22 2 a ab b t t + + 2 0 ≥ , với mọi t .

Theo định lý về dấu của tam thức bậc 2 (biến t) ta có:

2 22 () 0 ab a b − ≤ .

Đây chính là điều cần chứng minh.

Định nghĩa. Chuẩn (hay độ dài) của vectơ a, ký hiệu là ||a||, là một số xác định

như sau:

||a|| = a a. .

Dưới dạng tọa độ thì công thức trên có nghĩa là

||a|| = 22 2

1 2 ... aa a + ++ n ,

và trong trường hợp không gian 2-chiều hoặc 3-chiều thì nó hoàn toàn trùng hợp

với công thức tính độ dài theo định lý Pythagoras.

Rõ ràng vectơ có chuẩn bằng 0 khi và chỉ khi tất cả các tọa độ của nó bằng 0.

Từ bổ đề Schwarz, sau khi lấy căn 2 vế, ta thu được công thức rất hay được sử

dụng sau này là

|(a.b)| ≤ ||a||.||b|| .

6 Giải tích các hàm nhiều biến

Ngoài ra độ dài còn có những tính chất quan trọng sau:

Định lý Với số α và các vectơ a, b ta có

||α.a|| = |α|.||a|| ;

||a+b|| ≤ ||a|| + ||b|| .

Chứng minh. Theo định nghĩa ta có

2 2 22 || || ( ).( ) ( . ) || || α αα α α a a a aa a = == .

Lấy căn 2 vế ta được đẳng thức cần chứng minh.

Tiếp theo, từ bổ đề Schwarz ta có

2a.b ≤ 2.||a||.||b|| .

Theo định nghĩa của chuẩn dễ dàng suy ra bất đẳng thức trên tương đương với

2 2 aa ab bb a a b b . 2 . . || || 2 || ||.|| || || || + + ≤ + + .

Điều này có nghĩa là

( ).( ) (|| || || ||) + + ≤ + 2 a ba b a b .

Sau khi khai căn 2 vế ta thu được điều cần chứng minh.

Bất đẳng thức trong định lý trên thường được gọi là bất đẳng thức tam giác, vì về

mặt hình học nó khẳng định một điều rất quen thuộc là: độ dài của một cạnh trong

tam giác không thể vượt quá tổng độ dài của 2 cạnh còn lại.

Hệ quả (Định lý Pythagoras) Nếu 2 vectơ a và b vuông góc với nhau thì

22 2 || || || || || || ab a b += + .

Chứng minh. Ta có

2 22 2 2 2 || || ( ) || || || || a b a b a 2a.b b a b + =+ = + += + ,

do 0 a.b = .

Ta định nghĩa khoảng cách giữa 2 vectơ a và b là chuẩn của hiệu 2 vectơ đó,

nghĩa là bằng

|| || ( ).( ) a b a ba b − = − − .

Các vectơ nói đến ở đây đều là vectơ định vị tại gốc nên hoàn toàn được xác định

bởi điểm cuối. Khoảng cách giữa 2 vectơ cũng có thể được xem như khoảng cách

giữa 2 điểm cuối của chúng, và do đó ta cũng có khái niệm khoảng cách giữa 2

điểm trong không gian n-chiều.

Chương 1. Không gian Rn và không gian metric 7

Với a = 1 2 ( , ,..., ) aa an , b = 1 2 ( , ,..., ) bb bn ta có thể viết lại công thức định nghĩa

khoảng cách dưới dạng:

22 2

11 2 2 || || ( ) ( ) ... ( ) a b − = ab a b a b − + − + + n n − .

Rõ ràng, khoảng cách giữa a và b là bằng khoảng cách giữa b và a, và hoàn toàn

trùng hợp với khái niệm khoảng cách mà ta đã biết khi không gian là 2-chiều hoặc

3-chiều. Từ các tính chất của chuẩn, ta dễ dàng suy ra khoảng cách giữa 2 vectơ (2

điểm) có những tính chất đặc trưng sau đây:

(1) || || 0 a b − ≥ ;

(2) || || 0 a b − = khi và chỉ khi a = b ;

(3) || || || || ab ba − = − ;

(4) || || || || || || ab ac cb −≤− + − .

Chứng minh. Các Tính chất (1),(2),(3) là hiển nhiên. Tính chất cuối cùng có ngay

từ bất đẳng thức tam giác, bởi vì a - b = (a - c) + (c - b).

Nhận xét. Như vậy ta đã xây dựng được không gian các vectơ (các điểm) trên cơ

sở các bộ n số và trang bị trên đó các phép tính cộng, nhân với số, tích vô hướng và

khái niệm khoảng cách. Không gian này có tên gọi là không gian Euclid n-chiều và

được ký hiệu là Rn

. Đây là một không gian có nhiều tính chất thú vị và sẽ đóng vai

trò nền tảng trong suốt giáo trình Giải tích các hàm nhiều biến. Sau này, khi đã làm

việc quen với không gian Rn

và không còn sự nhầm lẫn giữa số và bộ n số, chúng

ta có thể dùng chữ thường để biểu thị bộ số hay điểm trong không gian nhiều chiều

(mà không nhất thiết phải dùng chữ đậm như trong mục này).

1.1.5. Ánh xạ tuyến tính

Phép ứng A từ không gian Rn

vào không gian Rm được gọi là một ánh xạ

tuyến tính nếu nó có các tính chất sau đây:

(i) A( ) ( ) ( ), x y x y xy += + A A ∀ ∈ , Rn

;

(ii) ( ) () A λ λ x x = A , ∀λ∈ R , ∀x∈Rn

.

Ta gọi các vectơ 1e = (1,0,...,0) , 2 e = (0,1,...,0) ,..., (0,0,...,1) en = trong Rn

là

các vectơ trục đơn vị . Dễ dàng thấy rằng một vectơ bất kỳ 1 2 ( , ,..., ) n x = x x x được

biểu diễn qua các vectơ trục đơn vị bằng công thức sau

x ee e = + ++ = + ++ x1 2 11 2 2 (1,0,...,0 0,1,...,0 ... 0,0,...,1 ... ) x x xx x ( ) n nn ( )

8 Giải tích các hàm nhiều biến

và do các tính chất (i)-(ii) ta suy ra ảnh của x qua phép ánh xạ tuyến tính A sẽ

được biểu diễn qua ảnh của các vectơ trục đơn vị theo công thức sau

11 2 2 ( ) ( ) ( ) ... ( ) n n AA A A x = + ++ xx x ee e . (*)

Mỗi ( )i A e là một phần tử trong Rm , cho nên nó sẽ là một bộ m số, ký hiệu

là 1 2 ( , ,..., ) aa a i i im . Ta thiết lập một ma trận chữ nhật A gồm m hàng và n cột, với

các cột là các bộ số ( )i A e , tức là [ ] 1 2 : ( ) ( ) ... ( ) A = n AA A ee e , hay

11 21 1

12 22 2

1 2

...

... : ... ... ... ...

...

n

n

m m nm

aa a

aa a

aa a

      =            

A .

Ma trận này được gọi là ma trận của ánh xạ tuyến tính A .

Nếu ta coi mỗi vectơ như là một ma trận cột thì ta có thể viết

1

2

n

x

x

x

#

      =            

x và, do công thức (*),

11 1 1

12 1 2

1 1

...

... ( )

...

n n

n n

m nm n

ax ax

ax a x

ax ax

"""""""

 + +     + +  =          + +   

A x .

Theo phép nhân các ma trận thì công thức (*) có thể được viết lại dưới dạng đơn

giản là

A( ) x Ax = . (**)

Ngược lại, nếu có một ma trận A (cỡ m×n) thì ta thiết lập được một phép ứng từ

không gian Rn

vào không gian Rm theo công thức (**). Với các tính chất của phép

nhân và cộng các ma trận (đã biết trong giáo trình Đại số tuyến tính), ta dễ thấy

rằng phép ứng này thỏa mãn các điều kiện (i)-(ii), cho nên nó là một ánh xạ tuyến

tính. Như vậy, ta có một phép tương ứng giữa tập các ánh xạ tuyến tính (từ không

gian Rn

vào không gian Rm ) và tập các ma trận chữ nhật (cỡ m×n).

Trong trường hợp riêng, khi n = m thì A là một ma trận vuông (cấp n) và ánh

xạ tương ứng với nó là một ánh xạ từ không gian Rn

vào chính nó (hay còn gọi là

một phép biến đổi trong Rn

). Ta nói ánh xạ tuyến tính là không suy biến nếu như

ma trận tương ứng với nó là không suy biến, tức là có định thức khác 0. Từ giáo

trình Đại số tuyến tính ta biết rằng một ma trận vuông không suy biến có ma trận

nghịch đảo, và dễ dàng kiểm tra rằng ánh xạ tuyến tính tương ứng với ma trận

nghịch đảo này là ánh xạ ngược của ánh xạ ban đầu. Cho nên, mỗi phép biến đổi

không suy biến là một song ánh.

Chương 1. Không gian Rn và không gian metric 9

Người ta định nghĩa chuẩn của ánh xạ tuyến tính A , kí hiệu || || A , là số xác định

như sau:

|| ||: sup || ( ) ||: (0,1) A A = { } x x ∈ B ,

trong đó ta kí hiệu B(0,1) là quả cầu đơn vị trong Rn

, tức là tập hợp các vectơ có

độ dài (chuẩn) không vượt quá 1.

Để ý rằng với 1 ( ,..., ) (0,1) n x = xxB ∈ thì | | || || 1 i x ≤ ≤ x với mọi i = 1,...,n,

cho nên từ công thức (*) ta suy ra được || || A là một số hữu hạn (không vượt quá

tổng của chuẩn các ảnh của n vectơ trục đơn vị).

Với mọi vectơ x ≠ 0, ta có ( / || || x x ) là vectơ nằm trong quả cầu đơn vị, và do

tính tuyến tính của A ta có:

1 ( ) || ( ) || || || || || || ||

  = = 

 

 ≤     || ||

x x

x

x xx

A A A A ,

hay là

|| ( ) || || ||.|| || A x x ≤ A .

Rõ ràng với x = 0 bất đẳng thức này vẫn đúng, cho nên nó đúng với mọi x. Đây là

một công thức quan trọng, vì nó phản ánh tính liên tục của ánh xạ tuyến tính trong

không gian hữu hạn chiều (như sẽ thấy sau này).

Các ánh xạ tuyến tính là đối tượng được nghiên cứu kỹ trong giáo trình Đại số

tuyến tính, cho nên trong giáo trình này ta sẽ không đi sâu. Tuy nhiên, do vai trò quan

trọng trong rất nhiều lĩnh vực, chúng sẽ được đề cập đến nhiều hơn về khía cạnh thực

hành tính toán.

Nhận xét. Không gian Rn

là sự mở rộng của các không gian 2-chiều, 3-chiều và

được thừa hưởng nhiều thuộc tính mà ta đã quen biết từ những năm phổ thông. Tuy

nhiên, đối tượng nghiên cứu của Toán học là vô cùng rộng rãi và rất nhiều không

gian mà nó đề cập (với các phần tử không nhất thiết là các bộ số) thường không có

được tất cả các tính chất giống như của Rn

. Những không gian chỉ được trang bị

các phép tính cộng, nhân với số (với các tính chất giống như trong Rn

) được gọi là

các không gian có cấu trúc tuyến tính và được nghiên cứu kỹ trong giáo trình Đại

số tuyến tính. Những không gian không có được cấu trúc tuyến tính, nhưng lại

được trang bị khái niệm khoảng cách (với các tính chất giống như trong Rn

) được

gọi là không gian metric. Không gian này và các dạng tổng quát của nó được

nghiên cứu kỹ trong lý thuyết Tôpô và là một phần rất quan trọng của giáo trình

Giải tích hàm. Tuy nhiên, không gian metric cũng là một công cụ tiện lợi trong

10 Giải tích các hàm nhiều biến

nghiên cứu hàm nhiều biến, cho nên chúng ta cần biết một số khái niệm cơ bản về

nó.

1.2. Không gian metric

1.2.1. Định nghĩa và các ví dụ

Định nghĩa. Không gian metric là một tập hợp E≠∅ được trang bị một phép

ứng mỗi cặp điểm p,q∈E với một số thực d(p,q) sao cho

(1) d pq pq E ( , ) 0, , ≥ ∀∈ ;

(2) d pq p q (,) 0 = ⇔ = ;

(3) d pq dqp pq E ( , ) ( , ), , = ∀ ∈ ;

(4) d pq d pr drq pqr E ( , ) ( , ) ( , ), , , ≤ + ∀ ∈ (bất đẳng thức tam giác).

Như vậy không gian metric là một cặp (E,d), trong đó E là một tập hợp và d là

một hàm số d : E×E→R thỏa mãn các Tính chất (1)-(4). Thông thường, khi nói về

một không gian metric nào đó với hàm d mà mọi người đều hiểu là gì rồi thì người

ta chỉ dùng tập E để biểu thị thay cho cả cặp (E,d). Điều này tuy không đúng về

mặt logic, nhưng lại thuận tiện cho nên được mọi người chấp nhận.

Số d(p,q) được gọi là khoảng cách giữa 2 điểm p, q, và hàm d được gọi là hàm

khoảng cách hay là metric.

Thí dụ 1. Với E = Rn

và hàm d được định nghĩa như sau

2 2

1 1 ( ) || || ( ) ... ( ) d ba b a a,b a b = − = − + + n n −

thì từ các tính chất của khoảng cách trong Rn

ta suy ra cặp (Rn

,d) là một không

gian metric. Nó sẽ là một không gian metric điển hình trong giáo trình này, và

metric xác định như trên sẽ được coi là metric thông thường trên Rn

.

Trong trường hợp đặc biệt, khi n = 1, ta có trục số thực R cũng là một không

gian metric với định nghĩa khoảng cách giữa hai số là giá trị tuyệt đối của hiệu của

chúng.

Thí dụ 2. Với E = Rn

và hàm d được định nghĩa như sau

1 1 ( , ) | | ... | | n n d ba b a a b = − + + −