Giải gần đúng một hệ phương trình cặp tích phân fourier

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

—————————————————

SẦM THỊ HẰNG

GIẢI GẦN ĐÚNG MỘT HỆ PHƯƠNG TRÌNH

CẶP TÍCH PHÂN FOURIER

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - Năm 2017

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

—————————————————

SẦM THỊ HẰNG

GIẢI GẦN ĐÚNG MỘT HỆ PHƯƠNG TRÌNH

CẶP TÍCH PHÂN FOURIER

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

TS.NGUYỄN THỊ NGÂN

Thái Nguyên - Năm 2017

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trung

thực và không trùng lặp với đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi

sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin

trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.

i

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới TS.Nguyễn Thị Ngân, người đã định hướng

chọn đề tài và tận tình hướng dẫn cho tôi những nhận xét quý báu để tôi có

thể hoàn thành luận văn.

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Ban Giám hiệu trường Đại

học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên cùng các Phòng- Ban chức năng của

trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, các Quý Thầy Cô giảng

dạy lớp cao học K23 (2015-2017) trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái

Nguyên đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu cũng như tạo điều

kiện cho tôi hoàn thành khóa học.

Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè

đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá

trình học tập và thức hiện luận văn. Xin trân trọng cảm ơn!

ii

Mục lục

Lời cam đoan i

Lời cảm ơn ii

Mục lục iii

Mở đầu 1

1 Kiến thức chuẩn bị 3

1.1 Toán tử tích phân kì dị trong không gian L

2

ρ

. . . . . . . . . 3

1.1.1 Không gian L

2

ρ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.2 Toán tử tích phân kì dị . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Phương trình tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.1 Định nghĩa phương trình tích phân . . . . . . . . . . . 4

1.2.2 Phương trình tích phân kì dị loại một . . . . . . . . . 5

1.3 Các đa thức Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.1 Đa thức Chebyshev loại một . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.2 Đa thức Chebyshev loại hai . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4 Hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính . . . . . . . . . 10

1.5 Biến đổi Fourier của hàm cơ bản giảm nhanh . . . . . . . . . 11

1.5.1 Không gian S của các hàm cơ bản giảm nhanh . . . . 11

1.5.2 Biến đổi Fourier của hàm cơ bản giảm nhanh . . . . . 12

1.5.3 Các tính chất cơ bản của biến đổi Fourier trong không

gian S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.6 Biến đổi Fourier của hàm suy rộng tăng chậm . . . . . . . . 12

1.6.1 Không gian S

0

của các hàm suy rộng tăng chậm . . . . 12

1.6.2 Biến đổi Fourier của hàm suy rộng tăng chậm . . . . . 13

iii

1.6.3 Các tính chất cơ bản của biến đổi Fourier trong không

gian S

0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.6.4 Biến đổi Fourier của tích chập . . . . . . . . . . . . . 14

1.7 Các không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.7.1 Không gian Hs

(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.7.2 Các không gian Hs

o

(Ω), Hs

o,o(Ω), Hs

(Ω) . . . . . . . . 15

1.8 Các không gian Sobolev vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.9 Phiếm hàm tuyến tính liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.10 Toán tử giả vi phân vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Giải gần đúng một hệ phương trình cặp tích phân Fourier 21

2.1 Tính giải được của hệ phương trình cặp tích phân Fourier . . 21

2.1.1 Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1.2 Đưa về hệ phương trình cặp tích phân Fourier . . . . . 22

2.1.3 Tính giải được của hệ phương trình cặp tích phân

Fourier (2.10) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1.4 Đưa hệ phương trình cặp tích phân Fourier về hệ phương

trình tích phân kỳ dị nhân Cauchy . . . . . . . . . . . 25

2.1.5 Đưa hệ phương trình tích phân kì dị nhân Cauchy về

hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính . . . . . 27

2.2 Giải gần đúng một hệ phương trình cặp tích phân Fourier . . 30

2.2.1 Đưa hệ phương trình cặp tích phân Fourier về dạng

không thứ nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2.2 Tính gần đúng nghiệm của một hệ phương trình cặp

tích phân Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Kết luận 53

Tài liệu tham khảo 54

iv