Đường tròn Lucas của tam giác và một số vấn đề liên quan

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

——————–o0o——————–

Nguyễn Thị Tiến Hưng

ĐƯỜNG TRÒN LUCAS CỦA TAM GIÁC

VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN

THÁI NGUYÊN 2020

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

——————–o0o——————–

Nguyễn Thị Tiến Hưng

ĐƯỜNG TRÒN LUCAS CỦA TAM GIÁC

VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN

PGS.TS. NGUYỄN VIỆT HẢI

THÁI NGUYÊN 2020

i

Lời cảm ơn

Để hoàn thành được luận văn một cách hoàn chỉnh, tôi luôn nhận được

sự hướng dẫn và giúp đỡ nhiệt tình của PGS.TS. Nguyễn Việt Hải, Giảng

viên cao cấp Trường đại học Hải Phòng. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết

ơn chân thành và sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học của mình, người

đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành thời gian hướng dẫn và tận tình giải đáp

những thắc mắc của tác giả trong suốt quá trình làm luận văn.

Tác giả cũng đã học tập được rất nhiều kiến thức chuyên ngành bổ ích

cho công tác và nghiên cứu của bản thân. Tác giả xin bày tỏ lòng cảm

ơn sâu sắc tới các thầy giáo, cô giáo đã tham gia giảng dạy lớp Cao học

Toán K12A7; Nhà trường và các phòng chức năng của Trường; Khoa Toán

– Tin, trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên đã quan tâm và

giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập tại trường.

Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Trung tâm Nghiên cứu Giáo

dục và Đào tạo Hải Phòng đã giúp đỡ, tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp

tôi có thể hoàn thành luận văn này.

Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Toán K12A7

đã luôn động viên và giúp đỡ tác giả rất nhiều trong quá trình học tập và

làm luận văn.

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã

giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi khi học tập và nghiên cứu.

Tác giả

Nguyễn Thị Tiến Hưng

ii

Danh mục các hình

1.1 Hình vuông nội tiếp tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

1.2 Ba tam giác Lucas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

1.3 Các đường tròn A−Lucas, B−Lucas, C−Lucas . . . . . . . . . .6

1.4 Khoảng cách giữa hai tâm Lucas . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

1.5 Đường tròn Lucas (OA, RA) tiếp xúc với (ABC) . . . . . . . . .10

1.6 Đường tròn Lucas và đường tròn Apollonius . . . . . . . . . . .11

1.7 O1 là tâm đường tròn A−Apollonius . . . . . . . . . . . . . . .12

1.8 4ABC và 4A0B0C

0

trực giao với nhau . . . . . . . . . . . . . .14

1.9 4OAOBOC vị tự với 4ABC, trực giao với 4TATBTC . . . . . .15

1.10 2Ra − bc > 0, 2Rb − ca > 0, 2Rc − ab > 0 . . . . . . . . . . . .17

1.11 Các đường tròn tiếp xúc trong . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18

1.12 Hình vuông nội tiếp với hai đỉnh trên BC . . . . . . . . . . . . .19

1.13 Đường tròn Soddy nội và đường tròn Soddy ngoại . . . . . . . .20

2.1 Ba điểm X, Y , Z thẳng hàng . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25

2.2 Tâm vị tự của hai đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26

2.3 Trục vị tự của ba đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27

2.4 Cặp điểm liên hợp đẳng cự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29

2.5 Cặp điểm liên hợp đẳng cự: Ge và N . . . . . . . . . . . . . . .30

2.6 Cặp điểm liên hợp đẳng giác: L và G . . . . . . . . . . . . . . .33

2.7 Cặp điểm liên hợp đẳng giác: L và G . . . . . . . . . . . . . . .34

2.8 Tam giác Kiepert và tâm phối cảnh Kiepert theo θ . . . . . . . .36

2.9 Đường tròn trực giao với các đường tròn bàng tiếp . . . . . . . .40

2.10 Hai đường tròn vị tự từ hai hình vuông vị tự . . . . . . . . . . .42

2.11 Tam giác TaTbTc vị tự với tam giác ABC . . . . . . . . . . . . .43

2.12 Đường tròn đẳng phương của ba đường tròn Lucas . . . . . . . .45

3.1 Đường tròn Soddy nội và đường tròn Soddy ngoại . . . . . . . .51

iii

3.2 Các đường tròn C

a

1

, C

b

1

, C

c

1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52

3.3 Đường tròn đẳng phương của C

a

1

, C

b

1

, C

c

1

. . . . . . . . . . . . . .54

3.4 Các đường cô níc sinh từ các hình vuông nội tiếp . . . . . . . . .60

iv

Mục lục

Chương 1. Đường tròn Lucas của tam giác 4

1.1. Đường tròn Lucas và các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . .4

1.2. Đường tròn Lucas và công thức Descartes . . . . . . . . . . . . .16

Chương 2. Đường tròn Lucas trong tọa độ barycentric 22

2.1. Tọa độ barycentric thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22

2.1.1. Các định nghĩa và ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . .22

2.1.2. Công thức Conway và tâm phối cảnh Kiepert . . . . . . .34

2.2. Đường tròn Lucas với các tâm tam giác . . . . . . . . . . . . . .41

2.2.1. Đường tròn đẳng phương Lucas . . . . . . . . . . . . . . .44

2.2.2. Họ đường tròn đồng trục Schoute . . . . . . . . . . . . . .47

Chương 3. Một số vấn đề liên quan 50

3.1. Đường tròn Lucas và đường tròn Soddy . . . . . . . . . . . . . .50

3.1.1. Đường tròn Soddy nội và đường tròn Soddy ngoại . . . . .50

3.1.2. Điều kiện tồn tại các đường tròn Soddy . . . . . . . . . .51

3.2. Ba họ vô hạn các đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52

3.2.1. Các tâm vị tự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57

3.2.2. Hai đường cô níc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58

Tài liệu tham khảo 64

1

MỘT SỐ KÝ HIỆU TRONG LUẬN VĂN

Stt Ký hiệu Nội dung ký hiệu Trang

1 A−Lucas, Ca Đường tròn Lucas đi qua A 6

2 B−Lucas, Cb Đường tròn Lucas đi qua B 6

3 C−Lucas, Cc Đường tròn Lucas đi qua C 6

4 (OA, RA) Đường tròn Lucas tâm OA, bán kính RA 6

5 A−Apollonius Đường tròn Apollonius ứng với đỉnh A 11

6 TaTbTc Tam giác tiếp xúc 13

7 CA(RA) Đường tròn tâm R−RA

R

.A. bán kính RA 16

8 Ge Điểm Gergonne 29

9 N Điểm Nagel 29

10 L, LA, LB, LC Điểm đối trung và điểm đối trung mở rộng 32

11 σ Ký hiệu Conway, σ = 2SABC 33

12 σθ Ký hiệu Conway, σθ = σ. cot θ 33

13 K(θ) Tâm Kiepert  1

σA + σθ

:

1

σB + σθ

:

1

σC + σθ



35

14 X(...) Tâm tam giác, [4] 35

15 OL Trục Brocard 40

16 Ca, Cb

, Cc Các đường tròn Lucas 40

17 C

a

n

, C

b

n

, C

c

n Ba họ đường tròn tiếp xúc 53