Đường tròn Lester và một số vấn đề liên quan

„I HÅC THI NGUYN

TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC

o0o

PH„M V‹N M„NH

×ÍNG TRÁN LESTER V€ MËT SÈ

V‡N  LIN QUAN

Chuy¶n ng nh: Ph÷ìng ph¡p to¡n sì c§p

M¢ sè: 8 46 01 13

LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC

GIO VIN H×ÎNG DˆN

PGS.TS. NGUY™N VI›T HƒI

TS. O€N QUANG M„NH

THI NGUYN 2021

i

Líi c£m ìn

Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn Pháng  o t¤o tr÷íng ¤i Håc Khoa Håc v  c¡c quþ th¦y

cæ gi£ng d¤y lîp cao håc K12B (2018 - 2020) tr÷íng ¤i Håc Khoa Håc - ¤i Håc Th¡i

Nguy¶n ¢ tªn t¼nh truy·n ¤t nhúng ki¸n thùc quþ b¡u cõa c¡c mæn håc công nh÷ t¤o

i·u ki»n cho tæi ho n th nh khâa håc.

º ho n th nh ÷ñc luªn v«n mët c¡ch ho n ch¿nh, tæi ¢ luæn nhªn ÷ñc sü h÷îng

d¨n nhi»t t¼nh cõa PSG.TS. Nguy¹n Vi»t H£i v  TS. o n Quang M¤nh l  c¡c gi£ng

vi¶n Tr÷íng ¤i Håc H£i Pháng. Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn s¥u s­c ¸n c¡c th¦y vîi

nhúng i·u m  c¡c th¦y ¢ d nh cho tæi.

Tæi xin gûi líi c£m ìn ch¥n th nh tîi c¡c çng ch½ trong ban gi¡m hi»u tr÷íng THCS

L¶ Lñi - Quªn H£i An v  gia ¼nh, b¤n b± cõa tæi. â l  nhúng ng÷íi ¢ luæn ëng vi¶n,

hé trñ v  t¤o måi i·u ki»n cho tæi trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v  thüc hi»n luªn v«n.

Xin tr¥n trång c£m ìn!

H£i Pháng, th¡ng 01 n«m 2021

Ng÷íi vi¸t Luªn v«n

Ph¤m V«n M¤nh

ii

Danh möc c¡c h¼nh

1.1 M v  M0 èi xùng nhau qua (O, R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 T½nh ch§t cõa ph²p èi xùng qua (O, R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Cæng thùc Conway . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4 V½ dö 1.2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5 Hai iºm Torricelli-Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1 Hai iºm Torricelli-Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2 F A + F B + F C cüc tiºu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3 Ba ÷íng th¯ng ka, kb

, kc çng quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.4 F v  J+ l  2 iºm ¯ng gi¡c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.5 iºm Fermat thù nh§t v  iºm Fermat thù hai . . . . . . . . . . . . . . 25

2.6 ÷íng th¯ng Fermat i qua trung iºm cõa HG . . . . . . . . . . . . . . 27

2.7 C¡c m»nh · (A),(B),(C),(D) t÷ìng ÷ìng . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.8 ÷íng th¯ng Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.9 (F+F−G) v  (F+F−H) ti¸p xóc ÷íng th¯ng OH . . . . . . . . . . . . . . 30

2.10 (F+F−) èi xùng nhau qua ÷íng trán k½nh HG . . . . . . . . . . . . . . 31

2.11 ÷íng trán Lester i qua O9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.12 B£y ÷íng trán trüc giao vîi ÷íng trán Lester . . . . . . . . . . . . . . 33

2.13 ÷íng trán( Le, LeP) l  ÷íng trán Lester . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.14 Và tr½ c¡c iºm tr¶n ÷íng trán Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.15 ÷íng trán Lester v  t¥m Lester . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.1 Düng c¡c iºm A±, B±, C±, A∗

, B∗

, C∗

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.2 Düng c¡c iºm F+, O, A−, H, G, O9, J+, N1, N2 . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.3 Hyperbol Kiepert cõa tam gi¡c ABC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.4 ành lþ Gibert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.5 iºm Clawson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.6 Tam gi¡c ti¸p xóc trong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.7 ÷íng trán Lester thù hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

1

MËT SÈ KÞ HI›U TRONG LUŠN V‹N

Stt Kþ hi»u Nëi dung kþ hi»u Trang

1 (x : y : z) Tåa ë barycentric 8

2 X(n) T¥m tam gi¡c thù n trong [6] 8

3 σ = 2SABC 9

4 XY Z Tam gi¡c pedal 8

5 O9 T¥m ÷íng trán ch½n iºm 10

6 σA, σB, σC kþ hi»u 11

7 K(θ) T¥m phèi c£nh Kiepert tham sè θ 16

8 N1, N2 iºm Napoleon d÷ìng, ¥m 16

9 L ÷íng th¯ng væ tªn 18

10 (f : g : h) iºm væ tªn 20

11 P QR Di»n t½ch ¤i sè 21

12 J+, J− Hai iºm Isodynamic 28

13 F+, F− Hai iºm Torricelli-Fermat 29

14 P



L§y têng theo ho¡n và a,b,c 40

15 Je T¥m Jerabek 42

16 CW iºm Clawson 53

2

Giîi thi»u luªn v«n

1. Möc ½ch cõa · t i luªn v«n

Li¶n quan ¸n hai iºm Torricelli-Fermat nêi ti¸ng l  mët hå c¡c ÷íng trán trong â

câ nhúng ÷íng trán x¡c ành bði iºm thù ba trong tam gi¡c, iºm thù ba â câ thº

l  t¥m ÷íng trán ngo¤i ti¸p, t¥m ÷íng trán nëi ti¸p, trüc t¥m, trång t¥m,... Ch½nh

Lester ¢ ành ngh¾a ÷íng trán mang t¶n æng b¬ng c¡ch nh÷ vªy. ÷íng trán Lester

câ nhúng t½nh ch§t g¼? Kh£o s¡t ÷íng trán n y b¬ng ph÷ìng ph¡p tåa ë (barycentric)

cho ta nhúng k¸t qu£ g¼? Câ nhúng v§n · g¼ li¶n quan ¸n c¡c iºm Torricelli-Fermat

v  ÷íng trán Lester?... â l  lþ do m  chóng tæi chån · t i "÷íng trán Lester v 

mët sè v§n · li¶n quan".

Möc ½ch cõa · t i l :

- Tr¼nh b y nhúng °c tr÷ng cõa iºm Torricelli-Fermat F+, F− trong tam gi¡c. Tø â

giîi thi»u ÷íng trán Lester l  ÷íng trán i qua 3 iºm F+, F−, O vîi (O l  t¥m ÷íng

trán ngo¤i ti¸p). T i li»u tham kh£o ch½nh ð ¥y l  [1], [8].

- T¼m th¶m c¡c t½nh ch§t h¼nh håc cõa c¡c iºm Torricelli-Fermat b¬ng c¡c t½nh to¡n

¤i sè tr¶n tåa ë barycentric. Ngo i ÷íng trán Lester, chóng tæi công muèn kh£o s¡t

th¶m c¡c ÷íng trán kh¡c trong chòm ÷íng trán i qua 2 iºm Torricelli-Fermat.

- · cªp ¸n c¡c chuy¶n · mîi, hay v  khâ ch÷a ÷ñc giîi thi»u trong ch÷ìng tr¼nh

H¼nh håc phê thæng, trong c¡c gi¡o tr¼nh H¼nh håc sì c§p.

2. Nëi dung cõa · t i, nhúng v§n · c¦n gi£i quy¸t

Düa v o c¡c t i li»u ch½nh [1], [2] v  [8], luªn v«n nh­c l¤i v  bê sung c¡c ành

ngh¾a, t½nh ch§t cõa tåa ë barycentric, c¡c iºm Torricelli-Fermat. Tø â x¥y düng

kh¡i ni»m v  c¡c t½nh ch§t °c tr÷ng cõa ÷íng trán Lester trong tam gi¡c. Ba v§n ·

li¶n quan công l  nhúng ùng döng v  ph¡t triºn th¶m tø c¡c nëi dung tr¶n. Nëi dung

cõa luªn v«n gçm 3 ch÷ìng: