Đồng nhất thức và bất đẳng thức trong tam giác

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

Nguyễn Thị Út

ĐỒNG NHẤT THỨC VÀ BẤT ĐẲNG THỨC

TRONG TAM GIÁC

SOME IDENTITIES AND INEQUALITIES

OF TRIANGLES

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số: 60.46.40

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Đàm Văn Nhỉ

Thái Nguyên - 2012

Công trình được hoàn thành tại

Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Đàm Văn Nhỉ

Phản biện 1: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Phản biện 2: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Luận văn sẽ được bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại:

Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên

Ngày .... tháng .... năm 2012

Có thể tìm hiểu tại

Thư viện Đại học Thái Nguyên

1

Mục lục

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 4

1.1. Bất đẳng thức qua tam thức bậc hai . . . . . . . . . . . 4

1.2. Bất đẳng thức Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3. Bất đẳng thức Karamata, Schur, Muirheard . . . . . . . 8

1.4. Một vài hàm tự chọn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Chương 2. Một số đồng nhất thức và bất đẳng thức trong

tam giác 14

2.1. Đa thức bậc ba liên quan đến tam giác. . . . . . . . . . 14

2.2. Một số bất đẳng thức trong tam giác . . . . . . . . . . . 25

2.3. Một số bài toán nhận dạng tam giác . . . . . . . . . . . 37

Chương 3. Trình bày một số kết quả của J.Liu [8] và của

Klamkin [7]. 43

3.1. Khai thác bài toán véc tơ trong mặt phẳng . . . . . . . . 43

3.2. Trình bày lại kết quả bài báo của J.Liu . . . . . . . . . . 51

3.2.1. Một số định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.2.2. Một vài bổ đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.2.3. Chứng minh ba định lý trên . . . . . . . . . . . . 53

3.3. Trình bày bất đẳng thức của Klamkin . . . . . . . . . . 55

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2

Mở đầu

Đồng nhất thức và bất đẳng thức trong tam giác là một chuyên mục

hấp dẫn đối với những người quan tâm tới Hình sơ cấp. Đây là một mảnh

đất đã được cày xới quá nhiều qua năm tháng. Vấn đề đặt ra: Làm thế

nào để có đồng nhất thức và bất đẳng thức mới trong tam giác.

Tam giác là một hình quen thuộc đối với tất cả mọi người. Thông

thường, khi xét bài toán hình học người ta thường phải dùng đến thước

kẻ, compa và giải quyết bài toán ấy qua hình vẽ. Nhưng cách làm như

vậy rất khó phát hiện ra hệ thức mới. Chúng ta càng khó xây dựng được

bài toán với nhiều đại lượng của tam giác. Do có quá nhiều kết quả trong

tam giác nên xuất hiện câu hỏi thứ nhất: Có thể xây dựng được kết quả

mới hay không? Nhiều người sử dụng lượng giác, hình vẽ, phương pháp

diện tích,v.v... để tạo ra kết quả. Theo chúng tôi, những cách xây dựng

như vậy rất khó đưa ra hệ thức cho tam giác mà có nhiều thành phần

tham gia. Rất tự nhiên, xuất hiện câu hỏi thứ hai: Xây dựng kết quả

như thế nào? Bài toán đặt ra: Xây dựng đồng nhất thức và bất đẳng

thức trong tam giác. Với luận văn này, chúng tôi mong muốn giải quyết

được một phần nào đó thuộc bài toán trên.

Luận văn được chia ra làm ba chương.

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị.

Chương này tập trung trình bày về một số bất đẳng thức. Nó bao gồm

các mục: Bất đẳng thức qua tam thức bậc 2, bất đẳng thức Jensen qua

hàm lồi và bất đẳng thức Muirheard, Karamata. Ngoài ra, để phát hiện

ra một số bất đẳng thức khác nữa cho tam giác chúng tôi đã chọn ra

một số hàm tương ứng với mục đích đặt ra.

Chương 2. Một số đồng nhất thức và bất đẳng thức trong

tam giác.

Đây là nội dung trọng tâm của luận văn. Nó bao gồm các mục sau: Mục

3

2.1 tập trung xây dựng một số đa thức bậc ba liên quan tam giác. Từ

những đa thức này ta đã có thể phát hiện ra một số đồng nhất thức

và bất đẳng thức mới trong tam giác. Mục 2.2 tập trung xây dựng và

chứng minh lại một số bất đẳng thức trong tam giác qua việc sử dụng

các kết quả ở Chương 1. Từ các kết quả đạt được chúng ta sẽ phát hiện

ra những tam giác đặc biệt với điều kiện ban đầu đặt ra ở Mục 2.3.

Chương 3. Trình bày một số kết quả của J.Liu [8] và của

Klamkin [7].

Chương này dành để trình bày việc khai thác một bài toán véc tơ trong

mặt phẳng ở Mục 3.1. Mục 3.2 trình bày lại một số kết quả của J. Liu

trong bài báo [8]. Mục 3.3 trình bày lại kết quả của Klamkin trong [7].

Luận văn này được hoàn thành với sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình

của PGS,TS Đàm Văn Nhỉ. Từ đáy lòng mình, em xin được bày tỏ lòng

biết ơn sâu sắc đối với sự quan tâm, động viên và sự chỉ bảo hướng dẫn

của thầy.

Em xin trân trọng cảm ơn tới các Thầy, Cô giáo trong Trường Đại

học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, phòng Đào tạo Trường Đại học

Khoa học. Đồng thời tác giả xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học

Toán K4 Trường Đại học Khoa học đã động viên giúp đỡ tôi trong quá

trình học tập và làm luận văn này.

Tuy nhiên do sự hiểu biết của bản thân, điều kiện thời gian và khuôn

khổ của luận văn thạc sĩ, nên chắc rằng trong quá trình nghiên cứu

không tránh khỏi những khiếm khuyết.Tác giả rất mong được sự chỉ dạy

và đóng góp ý kiến của các Thầy, Cô giáo và quý vị bạn đọc đóng góp

ý kiến để luận văn được hoàn thành tốt hơn.

Thái Nguyên, ngày 10 tháng 10 năm 2012

Tác giả

Nguyễn Thị Út

4

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

1.1. Bất đẳng thức qua tam thức bậc hai

Xét tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c, a 6= 0, ∆ = b

2 − 4ac. Ta có

các kết quả sau đây:

Định lý 1.1.1. f(x) > 0 với ∀x khi và chỉ khi 

a > 0

∆ < 0.

Định lý 1.1.2. f(x) > 0 với ∀x khi và chỉ khi 

a > 0

∆ 6 0.

Định lý 1.1.3. f(x) < 0 với ∀x khi và chỉ khi 

a < 0

∆ < 0.

Định lý 1.1.4. f(x) 6 0 với ∀x khi và chỉ khi 

a < 0

∆ 6 0.

Định lý 1.1.5. f(x) = 0 có nghiệm x1, x2 khi và chỉ khi ∆ > 0. Khi

đó: f(x) = a(x−x1)(x−x2) và







x1 + x2 =

−b

a

x1x2 =

c

a

.

Thông thường ta chọn

x1 6 x2.

Định lý 1.1.6. x1 < α < x2 khi và chỉ khi af(α) < 0.

Định lý 1.1.7. α < x1 6 x2 khi và chỉ khi







af(α) > 0

∆ > 0

α <

−b

2a

.

Định lý 1.1.8. x1 6 x2 < α khi và chỉ khi







af(α) > 0

∆ > 0

α >

−b

2a

.