Đồng nhất thức Newton - Girard và ứng dụng

„I HÅC THI NGUYN

TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC

BÒI THÀ HƒI YN

ÇNG NH‡T THÙC NEWTON - GIRARD

V€ ÙNG DÖNG

LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC

THI NGUYN - 2017

„I HÅC THI NGUYN

TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC

BÒI THÀ HƒI YN

ÇNG NH‡T THÙC NEWTON - GIRARD

V€ ÙNG DÖNG

Chuy¶n ng nh: Ph÷ìng ph¡p To¡n sì c§p

M¢ sè: 60 46 01 13

LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC

NG×ÍI H×ÎNG DˆN KHOA HÅC

TS. TR†N NGUYN AN

THI NGUYN - 2017

Möc löc

MÐ †U 1

1 Ki¸n thùc chu©n bà 3

1.1 a thùc nhi·u bi¸n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Chuéi lôy thøa h¼nh thùc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 a thùc °c tr÷ng v  ành lþ Cayley-Hamilton . . . . . . 13

2 çng nh§t thùc Newton-Girard v  ùng döng 16

2.1 ành lþ cì b£n cõa a thùc èi xùng . . . . . . . . . . . . 16

2.2 çng nh§t thùc cõa Newton-Girard . . . . . . . . . . . . . 23

2.3 çng nh§t thùc cõa Newton-Girard cho têng lôy thøa nghi»m

cõa a thùc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.4 çng nh§t thùc Newton-Girard v  ành lþ sè ngô gi¡c . . 34

2.5 Ùng döng cõa çng nh§t thùc Newton-Girard . . . . . . . 36

2.5.1 T½nh gi¡ trà cõa biºu thùc èi xùng . . . . . . . . . 36

2.5.2 Ph¥n t½ch a thùc èi xùng th nh nh¥n tû . . . . . 41

2.5.3 Gi£i ph÷ìng tr¼nh v  h» ph÷ìng tr¼nh èi xùng . . 42

2.5.4 T¼m nghi»m nguy¶n . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.5.5 Chùng minh ¯ng thùc . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.5.6 Chùng minh b§t ¯ng thùc . . . . . . . . . . . . . 48

2.5.7 Tröc c«n thùc ð m¨u . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

KT LUŠN 51

T i li»u tham kh£o 51

i

MÐ †U

çng nh§t thùc Newton-Girard cho ta mèi li¶n h» giúa têng lôy thøa

c¡c bi¸n v  c¡c a thùc èi xùng cì b£n. Düa v o çng nh§t thùc n y ta

biºu di¹n ÷ñc têng lôy thøa c¡c nghi»m cõa a thùc P(x) qua c¡c h»

sè cõa nâ. çng nh§t thùc n y ÷ñc t¼m ra bði Isaac Newton v o n«m

1666, þ t÷ðng n y công ÷ñc cho l  xu§t hi»n trong cæng tr¼nh tr÷îc â

cõa Albert Giard. Do â ta th÷íng gåi l  çng nh§t thùc Newton-Girard.

çng nh§t thùc Newton-Girard câ nhi·u ùng döng trong nhi·u l¾nh vüc

cõa to¡n håc nh÷ Lþ thuy¸t Galois, Lþ thuy¸t b§t bi¸n, Lþ thuy¸t tê hñp

công nh÷ nhi·u l¾nh vüc kh¡c cõa íi sèng. Luªn v«n n y t¼m hiºu mët sè

c¡ch chùng minh çng nh§t thùc Newton-Girard v  ùng döng trong gi£i

to¡n sì c§p.

Luªn v«n ÷ñc chia l m hai ch÷ìng. Ch÷ìng 1 tr¼nh b y mët sè ki¸n

thùc chu©n bà v· a thùc, chuéi lôy thøa h¼nh thùc, ma trªn v  a thùc °c

tr÷ng, ành lþ Cayley-Hamilton. Ch÷ìng 2 l  ch÷ìng ch½nh tr¼nh b y v·

çng nh§t thùc Newton-Girard v  mët sè ùng döng. º câ c¡ch nh¼n têng

quan v· a thùc èi xùng, möc ¦u cõa ch÷ìng tr¼nh b y ành lþ cì b£n

cõa a thùc èi xùng v  mët sè thuªt to¡n cì b£n biºu di¹n mët a thùc

èi xùng qua c¡c a thùc èi xùng cì b£n. çng nh§t thùc Newton-Girard

vîi nhi·u c¡ch chùng minh v  nhi·u d¤ng kh¡c nhau ÷ñc tr¼nh b y trong

möc th÷ hai cõa ch÷ìng n y. °c bi»t mët sè ùng döng nh÷ chùng minh

ành lþ sè ngô gi¡c, t½nh mët sè biºu thùc èi xùng, gi£i ph÷ìng tr¼nh, h»

ph÷ìng tr¼nh, ph¥n t½ch a thùc th nh nh¥n tû, chùng minh ¯ng thùc,

chùng minh b§t ¯ng thùc, tröc c«n thùc ð m¨u, ... công ÷ñc tr¼nh b y

trong ch֓ng.

T i li»u tham kh£o ch½nh l  cuèn s¡ch [2] cõa GS. L¶ Thanh Nh n v 

c¡c b i b¡o [6], [7], [8] v  mët sè t i li»u æn thi håc sinh giäi ð phê thæng.

Trong qu¡ tr¼nh l m luªn v«n, tæi nhªn ÷ñc sü h÷îng d¨n v  gióp

ï tªn t¼nh cõa TS. Tr¦n Nguy¶n An. Tæi xin ÷ñc b y tä láng bi¸t ìn s¥u

s­c ¸n th¦y.

1

Tæi xin gûi líi c£m ìn ch¥n th nh ¸n quþ th¦y cæ gi£ng d¤y lîp

Cao håc khâa 9 ¢ truy·n thö ¸n cho tæi nhi·u ki¸n thùc v  kinh nghi»m

nghi¶n cùu khoa håc.

Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn!

Th¡i Nguy¶n, th¡ng 9 n«m 2017

Bòi Thà H£i Y¸n

2