Đo độ và tích phân.pdf

GIẢI TÍCH (CƠ SỞ)

Phần 3. Độ Đo Và Tích Phân

Chuyên ngành: Giải Tích, PPDH Toán

§1. Độ Đo

(Phiên bản đã chỉnh sửa)

PGS TS Nguyễn Bích Huy

Ngày 18 tháng 4 năm 2005

1 PHẦN LÝ THUYẾT

1. Không gian đo được

Định nghĩa :

1) Cho tập X 6= ø; một họ F các tập con của X được gọi là một σ−đại số nếu nó thỏa

mãn các điều kiện sau :

i. X ∈ F và nếu A ∈ F thì Ac ∈ F, trong đó Ac = X \ A.

ii. Hợp của đếm được các tập thuộc F cũng là tập thuộc F.

2) Nếu F là σ−đại số các tập con của X thì cặp (X, F) gọi là một không gian đo được

; mỗi tập A ∈ F gọi là tập đo được (đo được với F hay F− đo được)

Tính chất

Giả sử F là σ−đại số trên X. Khi đó ta có :

1) ø ∈ X.

Suy ra hợp của hữu hạn tập thuộc F cũng là tập thuộc F.

2) Giao của hữu hạn hoặc đếm được các tập thuộc F cũng là tập thuộc F.

3) Nếu A ∈ F, B ∈ F thì A \ B ∈ F.

2. Độ đo

Định nghĩa :

Cho một không gian đo được (X, F)

1) Một ánh xạ µ : F −→ [0,∞] được gọi là một độ đo nếu :

i. µ(ø) = 0

ii. µ có tính chất σ−cộng, hiểu theo nghĩa

∀{An}n ⊂ F,(An ∩ Am = ø, n 6= m) ⇒ µ(

[∞

n=1

An) = X∞

n=1

µ(An)

2) Nếu µ là một độ đo xác định trên σ−đại số F thì bộ ba (X, F, µ) gọi là một không

gian độ đo

1