Định lý Van Aubel và ứng dụng trong việc giải một số bài toàn hình học dành cho học sinh giỏi

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

——————–o0o——————–

NGUYỄN ĐÌNH HUY

ĐỊNH LÝ VAN AUBEL VÀ ỨNG DỤNG TRONG

VIỆC GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC

DÀNH CHO HỌC SINH GIỎI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2018

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

——————–o0o——————–

NGUYỄN ĐÌNH HUY

ĐỊNH LÝ VAN AUBEL VÀ ỨNG DỤNG

TRONG VIỆC GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH

HỌC DÀNH CHO HỌC SINH GIỎI

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 8460113

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS. TS. Trịnh Thanh Hải

THÁI NGUYÊN - 2018

i

Mục lục

Danh sách hình vẽ ii

Mở đầu 1

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 3

1.1 Một số định lý hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Một số bài toán đồng quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Chương 2. Định lý van Aubel 14

2.1 Định lý van Aubel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2 Một số tính chất, hệ quả của định lý van Aubel . . . . . . . . . 22

Chương 3. Vận dụng định lý van Aubel vào giải bài tập 28

3.1 Vận dụng định lý van Aubel vào giải bài tập liên quan đến tam

giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2 Vận dụng định lý van Aubel vào giải bài tập liên quan đến tứ giác 41

Kết luận 50

Tài liệu tham khảo 51

ii

Danh sách hình vẽ

1.1 Định lý Thales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Định lý Menelaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Áp dụng định lý Menelaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Trực tâm H là trung điểm đường cao CM . . . . . . . . . . . . 6

1.5 Định lý Ceva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.6 EF song song với BC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.7 MA là tia phân giác của góc EMF \ . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.8 MM0

, NN0

, P P0 đồng quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.9 DM, EN, P F đồng quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1 AA0

, BB0

, CC0

cắt nhau tại K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2 Định lý van Aubel cho tứ giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3 Biểu diễn các cạnh theo số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.4 PM = MP và PM ⊥ MQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.5 pm và qm vuông góc và có độ dài bằng nhau . . . . . . . . . . . 20

2.6 PM2 ⊥ M1M3, M1M2 ⊥ QM3, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.7 PM = QM, PM ⊥ QM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.8 Bốn đường tròn giao nhau tại F . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.1 BB0 vuông góc với DD0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.2 BB0 = DD0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.3 Ba hình chữ nhật đồng dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.4 Ba hình thoi đồng dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.5 Định lý van Aubel mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.6 Định lý van Aubel mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.7 Định lý van Aubel mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.8 S1S3 ⊥ QS, S2S4 ⊥ P R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.9 V1, V2, V3 và V4 nằm trên một đường tròn . . . . . . . . . . . . . 49

1

Mở đầu

Từ lâu hình học luôn được coi là một bộ môn được yêu thích bởi những

khám phá mới mẻ từ những định luật, định lý và những ứng dụng đẹp của nó.

Hình học là một phân môn quan trọng trong toán học đã gắn bó với tất cả

chúng ta xuyên suốt quá trình học toán từ bậc Tiểu học đến Trung học phổ

thông. Sự kì diệu của hình học thường tiềm ẩn những thử thách sâu sắc để

thách thức trí tuệ của con người.

Trong các thành tựu của hình học thì định lý van Aubel là một định lý nổi

tiếng và có nhiều ứng dụng trong việc giải các bài toán hình học hay và khó.

Định lý được đặt theo tên nhà khoa học H. H. van Aubel, người đã công bố nó

năm 1878. Định lý van Aubel có hai phát hiện trong lĩnh vực hình học phẳng

đó là định lý van Aubel cho tứ giác và định lý van Aubel cho tam giác. Định lý

van Aubel về tứ giác nói về mối quan hệ của các hình vuông cùng vẽ ra ngoài

hoặc cùng vẽ vào trong của một tứ giác. Định lý van Aubel về tam giác đưa ra

những tính chất đẹp về các đường đồng quy trong tam giác.

Trong khuôn khổ luận văn này chúng tôi xin được trình bày đề tài: “Định

lý van Aubel và ứng dụng trong việc giải một số bài toán hình học dành cho

học sinh giỏi”. Mục đích của luận văn là tìm hiểu định lý van Aubel và các ứng

dụng của nó vào giải một số bài toán hình học.

Luận văn tập trung vào việc tìm hiểu các tính chất đẹp của định lý van

Aubel cho tam giác, tứ giác và một số vận dụng của định lý này vào giải một

số bài tập hình học hay và khó dành cho học sinh giỏi. Cụ thể, luận văn gồm

phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và 3 chương.

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Chương 1 hệ thống một số định cơ bản

hay được vận dụng khi chứng minh các bài toán hình học và trình bày một số

bài toán về chứng minh tính đồng quy các đường thẳng.

Chương 2. Định lý van Aubel. Trong chương này, chúng tôi phát biểu

định lý van Aubel cho hai trường hợp tam giác và tứ giác cùng với ba cách