Thư viện tri thức trực tuyến
Kho tài liệu với 50,000+ tài liệu học thuật
© 2023 Siêu thị PDF - Kho tài liệu học thuật hàng đầu Việt Nam
Định lý Roth, định lý Bertrand và một vài ứng dụng
Nội dung xem thử
Mô tả chi tiết
Định lý Roth
Định lý Bertrand
và
Một vài ứng dụng
Vũ Thị Liễu
ĐH Thái Nguyên-ĐHKH
Ngày 16 tháng 04 năm 2015
Mục lục
1 Định đề Betrand 5
1.1 Số nguyên tố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Một vài cách biểu diễn số tự nhiên . . . . . . . . 7
1.3 Định đề Bertrand . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2 Số Liouville và Định lý Roth 26
2.1 Số siêu việt Liouviile . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.1 Tập đếm được, không đếm được . . . . . . 26
2.1.2 Tập các số siêu việt . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.3 Xấp xỉ Diophante . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1.4 Số Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2 Số siêu việt không là số Liouville . . . . . . . . . 37
2.2.1 Tính siêu việt của số e . . . . . . . . . . . 37
2.2.2 Tính siêu việt của số π . . . . . . . . . . . 39
2.3 Giới thiệu Định lý Roth và vận dụng . . . . . . . 40
2.3.1 Giới thiệu Định lý Roth . . . . . . . . . . 40
2.3.2 Vận dụng Định lý Roth vào giải Toán sơ cấp 42
2.4 Một vài vận dụng vào giải Toán sơ cấp . . . . . . 43
1
Mở đầu
Cho đa thức f(x) = adx
d + ad−1x
d−1 + · · · + a1x + a0 ∈ Z[x] với
ad > 0 và (ad, . . . , a1, a0) = 1. Giả sử số hữu tỷ a
b
∈ Q với b > 0.
Khi đó ta có biểu diễn dưới đây:
f
a
b
= ad
a
b
d
+ ad−1
a
b
d−1
+ · · · + a1
a
b
+ a0 =
m
b
d
, m ∈ Z.
Dễ dàng thấy ngay hoặc f
a
b
= 0 hoặc f
a
b
=
m
b
d
với |m| > 1.
Như vậy, khi f
a
b
6= 0 ta luôn có
f
a
b
>
1
b
d
thỏa mãn cho
mọi số hữu tỷ a
b
với b > 0 và d = deg f(x). Một câu hỏi đầu tiên
có thể đặt ra: Liệu có thể thay thế số d bằng một số tự nhiên
dương s nào đó để với mỗi số hữu tỷ a
b
với b > 0 và f
a
b
6= 0 ta
luôn có
f
a
b
>
1
b
s
?
Giả sử α ∈ R \ Q và f(α) = 0. Khai triển Taylor của f(x) tại
x = α :
f(x) = f(α)+ f
0
(α)
1! (x−α)+ f
00(α)
2! (x−α)
2+· · ·+
f
(d)
(α)
d!
(x−α)
d
.
Vì f(α) = 0 nên f
a
b
= b1
a
b
−α
+b2
a
b
−α
2
+· · ·+bd
a
b
−α
d
với bi =
f
(i)
(α)
i!
, i = 1, 2, . . . , d. Đặt r = max{|bi
| | i = 1, . . . , d}.
Khi
a
b
− α
6 1 ta luôn có 1
b
d
6
f
a
b
6 rd
a
b
− α
2
3
và với c(α) <
1
rd có
c(α)
b
d
<
a
b
− α
. Bất đẳng thức này đã đưa
đến một kết quả rất nổi tiếng của Liouville:
Giả sử α ∈ R là số vô tỷ đại số bậc d. Khi đó có hằng số c(α)
để bất đẳng thức
a
b
− α
≥
c(α)
b
d
thỏa mãn cho mọi a
b
∈ Q, b > 0.
Trong lý thuyết số, số Liouville là một số vô tỷ α sao cho
với mỗi số nguyên dương n, tồn tại số hữu tỷ a
b
với b > 1 sao
cho 0 < |α −
a
b
| <
1
b
n
. Năm 1844, Liouville chứng minh rằng số
Liouville tồn tại và là số siêu việt. Kết quả này của Liouville là
xuất phát điểm cho định lý Roth hay định lý Thue-Siegel-Roth.
Định lý Roth phát biểu rằng với mỗi số đại số α /∈ Q và mỗi
số thực > 0, chỉ có hữu hạn cặp số nguyên (a, b) với b > 0
sao cho |α −
a
b
| <
1
b
2+
. Định lý Roth cho thấy với mỗi số đại
số α cho trước, không thể có quá nhiều số hữu tỷ xấp xỉ đủ tốt
của α. Định lý Roth một kết quả cơ bản trong lý thuyết xấp xỉ
Diophante đối với các số đại số. Định lý Roth được cải tiến trong
suốt nửa thế kỷ, bắt đầu từ kết quả của Liouville năm 1844, của
Thue năm 1909, của Siegel năm 1921, của Dyson năm 1947 và của
Roth năm 1955. Với kết quả này Roth đã nhận được huy chương
Feilds.
Mục đích của luận văn là trình bày lại một số kết quả về số
Liouville, định lý Bertrand và định lý Roth.
Luận văn gồm 2 chương. Chương 1 dành để trình bày về Định đề
Bertrand. Chương 2 giới thiệu Định lý Roth và một số ứng dụng.
Chương thứ nhất gồm 3 mục. Mục 1.1 được dành để trình bày
về số nguyên tố. Mục 1.2 trình bày một vài cách biểu diễn số tự
nhiên. Mục 1.3 Chứng minh Định đề Bertrand. Chương thứ hai
gồm 4 mục. Mục 2.1 trình bày về số siêu việt Liouville. Mục 2.2
trình bày về số siêu việt không phải là số Liouville. Mục 2.3 nêu
lại nội dung Định lí Roth, trong đó gồm Bổ đề Siegel và Bổ đề tổ
hợp, song việc chứng minh Định lí Roth quá phức tạp nên chúng
tôi cũng chỉ trình bày lại kết quả mà không chứng minh. Mục 2.4