Định lý lefschetz cho các anr

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN THỊ THU TRANG

ĐỊNH LÝ LEFSCHETZ CHO CÁC ANR

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60.46.40

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng, Năm 2012

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS. LÊ HOÀNG TRÍ

Phản biện 1: TS. NGUYỄN NGỌC CHÂU

Phản biện 2: PGS.TS. NGUYỄN GIA ĐỊNH

Luận văn được bảo vệ tại Hội đồng bảo vệ chấm Luận

văn tốt nghiệp Thạc sĩ Khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào

ngày 01 tháng 07 năm 2012

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện Trường Đại học Sư Phạm,Đại học Đà Nẵng.

MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài:

Trong topo có các định lý phát biểu tuy đơn giản nhưng để

chứng minh thì rất phức tạp, ví dụ như định lý điểm bất động của

Brouwer, định lý của Ulam Borsuk,… Phần lớn các chứng minh này

đều dùng đến topo đại số. Mục đích của topo đại số là xây dựng các

hàm tử từ phạm trù các không gian topo (hoặc các phạm trù con của

các không gian topo) vào các phạm trù đại số ( chẳng hạn như nhóm,

vành, module …) và biến mỗi ánh xạ liên tục thành một đồng cấu.

Đồng điều kì dị là hàm tử từ phạm trù các không gian topo

vào phạm trù các nhóm Abel hoặc vào các module. Bằng việc khảo

sát hàm tử này, người ta có thể mở rộng được định lý điểm bất động

Lefschetz cho các phức đơn hình sang cho các ANR. Vì vậy, đề tài

“Định lý Lefschetz cho các ANR” mục đích là để tìm hiểu hàm tử

đồng điều kì dị và định lý Lefschetz cho các ANR cũng như chứng

minh nó.

2. Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu về đồng điều đơn hình, đồng điều kì dị, định lý

Lefschetz và định lý Lefschetz cho các ANR.

3. Phương pháp nghiên cứu

Thu thập các bài báo khoa học, bài giảng của các tác giả liên

quan đến Lí thuyết đồng điều đơn hình, đồng điều kì dị, định lý

Lefschetz và định lý Lefschetz cho các ANR. Tham gia các buổi thảo

luận để trao đổi các kết quả đang nghiên cứu.

4. Đóng góp của đề tài

Đề tài có ý nghĩa về mặt lí thuyết, hi vọng tạo được mọt tài

liệu tham khảo tốt cho hững người tìm hiểu về Lí thuyết đồng điều

đơn hình, Lí thuyết về đồng điều kì dị và định lý Lefschetz.

5. Cấu trúc của luận văn

Nội dung của khóa luận ngoài phần mở đầu và kết luận gồm

có 3 chương:

Chương 1: Những kiến thức cơ bản.

Chương 2: Đồng điều kì dị và sự đẳng cấu giữa đồng điều

đơn hình và đồng điều kì dị.

Chương 3: Định lý Lefschetz cho các ANR.

CHƯƠNG 1

NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN

1.1. Phức đơn hình và đa diện

Định nghĩa 1.1. Đơn hình

Trong không gian

n

¡

, cho các tập hợp điểm

p p p 0 1 , ,..., k

độc lập

affine. Tập hợp tất cả các điểm

 

0 0

, 0;1 , 1

k k

n

i i i i

i i

x x p   

 

       

 

¡  

Được gọi là một phức đơn hình k-chiều hay k-đơn hình.

Ta kí hiệu

  p p p 0 1 , ,..., k 

; trong đó:

0 1 , ,..., p p pk

là các đỉnh của

đơn hình,

dim  k

là chiều của đơn hình

 .

Định nghĩa 1.2. Mặt của đơn hình, Phức đơn hình

Trong không gian

n

¡

, cho các tập hợp điểm

p p p 0 1 , ,..., k

độc lập

affine. Mặt của đơn hình là bao đóng của các đỉnh

p p p 0 1 , ,..., k

sau khi bỏ đi từ 1 đến

k

thành phần.

Một phức đơn hình là họ hữu hạn

K 

gồm các đơn hình trong

không gian

n

¡

thỏa tính chất sau:

 Nếu

 K

thì mỗi mặt của



cũng thuộc

K .

 Nếu

 , K

thì

   

hoặc

  

là một mặt chung của



và



Đặt:

K

K







 U

Cặp

(K ,K

) được gọi là một đa diện. Khi đó:

K  SdK

được gọi là

phân tích đơn hình của đa diện,

K  K

được gọi là giá của

K .

Chiều của đa diện

(K ,K )

, kí hiệu là

dim(K ,K

) và được định

nghĩa như sau:

dim(K ,K

)

  max dim    K

Đường kính của

K

, kí hiệu là mesh

K

và được định nghĩa

mesh

K   max     K .

Định nghĩa 1.3. Đa diện con

Cho đa diện

( , K K ), L K

. Nếu

L

cũng là một phức đơn hình thì

L

được gọi là phức đơn hình con của

K

. Khi đó,

( , L L )

được gọi

là đa diện con của đa diện

( , K K )

, với

L

là giá của

L .

Định nghĩa 1.4. Cho (K,

K

) là một đa diện,

 K

. Hợp tất cả các

mặt thật sự của



và được kí hiệu là



. Khi đó:

      



F \ .

Định nghĩa 1.5. Cho

(K ,K )

là một đa diện,

x K

. Khi đó:

 K

được gọi là giá của

x

, kí hiệu

 ( ) x

, nếu



là đơn hình có

chiều nhỏ nhất chứa

x .  ( ) x

là duy nhất và có thể biểu diễn dưới

dạng:

   ( ) , x K x    I  .

Định nghĩa 1.6. Cho

( , K K )

là một đa diện. Với mọi đỉnh

p K ,

tập hợp

K \ U K , p

, được gọi là hình sao của p, kí hiệu

Stp.

Định lý 1.1. Cho

0 1 , ,..., p p pn

là các đỉnh của đa diện (K,

K

). Khi

đó:

(1).

0

n

I i i  Stp  

khi và chỉ khi

 p p p 0 1 , ,..., n 

là một đơn hình của

K .

(2). Nếu

  p p p 0 1 , ,..., n 

là một đơn hình của

K

thì

0

n

i i Stp 

I

là

tập hợp gồm tất cả các điểm

x K

mà

  x

nhận



là mặt.

1.2. Thứ phân trọng tâm.

Cho một phân tích đơn hình

K

của K, chúng ta sẽ xây dựng

một phân tích đơn hình

K

' khác của K, được gọi là thứ phân trọng

tâm của

K .

Định nghĩa 1.7. Cho đơn hình

  p p p 0 1 , ,..., n 

trọng tâm của



là một điểm, ký hiệu

b

hay

 

được xác định như sau:

0

1

1

n

i

i

b p

n







 

Nếu

  pi

thì trọng tâm của



trùng với chính nó.

Định nghĩa 1.8. Cho (K,K

) là một đa diện.

1

Sd K

gồm tất cả các

đơn hình

0 1

( , ,..., )

s

b b b   

, trong đó

   0 1     s

là dãy tăng

nghiêm ngặt các mặt của

K .

Định lý 1.2. Cho (K,K

) là một đa diện có đường kính là



. Khi đó,

đường kính của

 



1

1

n

Sd K

n

.

1.3. Đồng luân.

Định nghĩa 1.9. Cho hai ánh xạ

f g X Y , : 

liên tục. Hai ánh xạ

f g,

được gọi là đồng luân, ký hiệu

f g : , nếu tồn tại ánh xạ liên

tục

H X I Y :  

thỏa

H x f x H x g x ( ,0) ( ); ( ,1) ( )   ,  x X .

Khi đó,

H

được gọi là đồng luân của

f

đối với

g .

Định lý 1.2. Cho (K,K

) là một đa diện trong không gian

n

¡

, Y là

không gian topo bất kỳ và

f g,

là hai ánh xạ liên tục từ Y vào K.

Nếu với mỗi

y Y 

, tồn tại một đơn hình

 K

thỏa mãn

f y g y ( ), ( )

thì

f

và

g

đồng luân.

1.4. Ánh xạ đơn hình và xấp xỉ đơn hình.

Định nghĩa1.10. Cho (K,K

), (L,L

) là hai đa diện trong

n

¡

. Xét

ánh xạ

 :

(K,K

)



(L,L

), 

được gọi là ánh xạ đơn hình nếu

thỏa mãn hai điều kiện sau:

 Với mọi

 p p p 0 1 , ,..., s K

, các điểm

0 1 ( ), ( ),..., ( )    p p ps

là các đỉnh của một đơn hình thuộc

L .

 Ánh xạ



là ánh xạ affine với mỗi

 K

, nghĩa là

0 0

( )

s s

i i i i

i i

   p p

 

 

      

, trong đó

0

1

s

i



và

i  0

với

i s 1, .

Định nghĩa 1.11. Cho

f K L : 

là ánh xạ liên tục. Một ánh xạ đơn

hình



với

r  0

được gọi là một xấp xỉ đơn hình của

f

nếu

f Stp St p     

với mọi đỉnh

r

p Sd  K .

Định lý 1.3. Cho

f K L : 

là một ánh xạ liên tục. Khi đó, tồn tại

xấp xỉ đơn hình

 :( , r K Sd K )  (L ,L

) của

f

với

r

đủ lớn và

mỗi xấp xỉ đơn hình của

f

đều đồng luân với

f .

Định lý 1.4. (Định lý Arens – Eells). Cho

X

là không gian metric

thì sẽ tồn tại một phép nhúng đồng phôi

h X E h X : ,   

đóng

trong

E

. Với

E

là 1 không gian tuyến tính định chuẩn.

1.5. Phạm trù, hàm tử.

Định nghĩa 1.12. Phạm trù.

Một phạm trù

P

bao gồm:

 Một lớp

P

gồm các vật

A B C , , ...

được gọi là những vật của

phạm trù

P .

 Với mỗi cặp vật

( , ) A B

của phạm trù

P

, cho một tập hợp,

gọi là tập hợp các cấu xạ

f

từ

A

đến

B

, ký hiệu

AB,  P .

 Với mỗi bộ ba vật

( , , ), A B C

với mỗi cặp cấu

xạ

f AB,  P

, g BC,  P

, ta ký hiệu

g f o

là phép hợp thành

của hai xạ

g f ,

. Và

g f A C o  ,  P

và thỏa mãn các tiên đề:

+ Phép hợp thành có tính chất kết hợp.

+ Với mọi vật

A

của

P

, tồn tại xạ

1 , A A A P

được gọi là

cấu xạ đồng nhất sao cho với mọi

f B A  ,  P , g A C  ,  P

, ta có

1 , 1 A A o o f f g g  

Định nghĩa 1.13. Phạm trù con.

Một phạm trù

C

được gọi là phạm trù con của phạm trù

P

nếu

 Mỗi vật của phạm trù

C

đều là một vật của phạm trù

P .

 Mỗi cấu xạ của phạm trù

C

đều là một cấu xạ của phạm trù

P .

 Các cấu xạ đồng nhất của phạm trù

C

đều là một cấu xạ đồng

nhất của phạm trù

P .

 Hợp thành

g f o

của hai xạ

f g,

trong phạm trù

C

đều trùng với

hợp thành của các cấu xạ đó trong phạm trù

P .

Một phạm trù con

C

của phạm trù

P

được gọi là đầy nếu

AB,  C A B,  P

, với mỗi cặp

AB,

trong phạm trù

C .

Định nghĩa 1.14. Vật khởi đầu, vật tận cùng.

Một vật

A

trong phạm trù

P

được gọi là vật khởi đầu nếu

với mọi vật

X

của

P

, tồn tại duy nhất một cấu xạ từ A đến X.

Một vật A trong phạm trù

P

được gọi là vật tận cùng mếu

với mọi vật X của

P

, tồn tại duy nhất một cấu xạ từ X đến A.

Định nghĩa 1.14. Hàm tử

Cho hai phạm trù

P P, '

. Một hàm tử hiệp biến

H

từ phạm

trù

P

đến phạm trù

P

, ký hiệu

H P P : ' 

là một cặp ánh xạ

gồm ánh xạ - vật và ánh xạ - cấu xạ:

 Ánh xạ - vật cho tương ứng mỗi vật

A

của phạm trù

P

, một vật

của phạm trù

P

’, ký hiệu là

H ( ) A .

 Ánh xạ - cấu xạ cho tương ứng mỗi cấu xạ

f A B  ,  P

, một cấu

xạ thuộc

H H ( ), ( ) A B  P'

, ký hiệu là

H ( )f .

Và thỏa mãn các điều kiện sau:

 ( ) H(1 ) 1 A A 

H

, với mọi A

P .

 H H H ( ) ( ) ( ) g f g f o o 

, với mọi hợp thành

g f o

trong phạm

trù

P

, nghĩa là:

 f A B  

 

 

H f H A H B  g f o g H f g o  H g 

C H C 

1.6. Nhóm abel tự do, module tự do.

Định nghĩa 1.16. Nhóm Abel tự do

Nhóm Abel

X

được xác định như trên được gọi là nhóm

Abel tự do sinh bởi A.

Định nghĩa 1.17. Giả sử

R

là một

V module,

  S R

. Khi đó,

S

được gọi là cơ sở của

R

nếu mỗi phần tử của

R

đều được biểu

diễn tuyến tính duy nhất qua các phần tử của

S .

Định nghĩa 1.18. Module tự do.

Module

R

được gọi là module tự do nếu nó có cơ sở hoặc

nó là module 0.

1.7. Định nghĩa các ANR và các tính chất của ANR.

1.7.1. Định nghĩa ANR.

Định nghĩa 1.19. Một không gian Y là một co rút lân cận tuyệt đối

nếu:

i. Y là một không gian khả metric.

ii. Với mỗi không gian khả metric X và mỗi tập đóng

A X 

và

mỗi ánh xạ liên tục

f A Y : 

tồn tại một lân cận U của A trong

X và tồn tại ánh xạ

F U Y : 

liên tục sao cho

 F f A

.

Mỗi không gian thỏa mãn định nghĩa này được gọi là ANR.

Định lý 1.5. Cho

Y

là một ANR khi và chỉ khi bất kì

X

là không

gian khả metric và với ánh xạ

h Y X : 

là phép nhúng đồng

phôi ( nghĩa là

h Y h Y ':   

là ánh xạ đồng phôi và xác định

bởi

h y h y h Y ' ,       

là đóng trong

X

) thì tồn tại một tập

V

là tập mở, V h Y r V h Y     , :  

là phép co rút.

1.7.2. Các tính chất của ANR.

1.7.2.1. Tính chất địa phương.

Bổ đề 1.1 (Bổ đề ống). Cho

X

là không gian metric

A X A  (

không cần đóng) và

V

là một tập mở trong

X I 

sao cho

A I V  

thì tồn tại một tập mở

U U A , 

trong

X

sao cho

U I V   .

Định lý 1.6. Cho

Y

là một ANR thì tồn tại một lân cận

U

của

đường chéo

  trong Y Y

và một ánh xạ liên tục

U Y Y  

thỏa mãn:

 

   

 

, ,0

, ,1 ; , ,

, ,







  

    



 

a b a

a b b a b U t I

a a t a

Định nghĩa 1.20. Co rút địa phương.

Không gian

Y

được gọi là một co rút địa phương nếu

 a Y

, mọi lân cận

W

của

a

tồn tại lân cận

V

của

a ,V W

và

   H X I W :

liên tục,

    x V H x a H x x : ,0 , ,1    

Định lý 1.7. Mỗi ANR là một co rút địa phương.

Định nghĩa 1.21. Cho

f g X Y , : 

là hai ánh xạ từ không gian

X

vào không gian

Y

và cho

a U    

, 

là một phủ mở của

Y .

Chúng ta gọi

f g,

là các

 đóng nếu

   

, ,         

x

x X x U

sao cho

U x

chứa cả

f x 

và

g x 

Chúng ta nói

f g,

là các

 đồng luân nếu tồn tại một đồng luân

f X I Y :  

liên tục sao cho

h x f x h x g x  ,0 , ,1         

thỏa mãn

h x I  , 

được chứa trong một vài

 

, U x X  x

 .

Các ánh xạ

f g,

được gọi là đồng luân ổn định nếu:

   H X I Y :

là ánh xạ liên tục sao cho:

H x f x H x g x  ,0 , ,1         

và nếu

x X f x g x   ,    

thì

H x t f x t  , , 0,1        .

Định lý 1.8. Cho

Y

là một ANR thì mỗi phủ mở

 

 

 U

có một

phủ mở

 V

làm mịn



với tính chất: Mọi không gian

X

sao

cho

f g,

là

  đóng, thì

f g,

là

 đồng luân và là đồng luân ổn

định.

1.7.2.2. Tính chất đồng luân

Định lý 1.9 (Định lý Borsuk). Cho

Y

là một ANR,

X

là một không

gian metric đầy đủ và

A X A  ,

đóng. Cho

f g A Y , : 

là đồng

luân. Nếu f thác triển thành một

F X Y : 

thì

g cũng thác

triển thành một

G X Y : 

. Hơn nữa

G

đồng luân với

F

và

đồng luân này là thác triển đồng luân của

f g, .

CHƯƠNG 2

ĐỒNG ĐIỀU KÌ DỊ VÀ SỰ ĐẲNG CẤU GIỮA

ĐỒNG ĐIỀU ĐƠN HÌNH VÀ ĐỒNG ĐIỀU KÌ DỊ

2.1. Đồng cấu cảm sinh bởi các ánh xạ liên tục giữa các phức đơn

hình.

Cho

K L,

là hai phức đơn hình. Một ánh xạ đơn hình

 :K L 

cảm sinh một đồng cấu

* *  : ( H K *

, ) ( G H  L , ) G

. Ta xây dựng một đồng cấu duy

nhất

* * f H: ( K *

, ) ( G H  L , ) G

đối với mỗi ánh xạ liên tục

f K L :  .

Định lý 2.1. Cho

f g K L P  

. Khi đó:

* *  *

g f g f o o 

và

  * K H * (

id id 

K , ) G

.

Định lý 2.2. Cho

( , P P

),

( , K K

) là các đa diện hữu hạn;

f g K P , : 

là ánh xạ liên tục. Nếu

f g 

thì:

* * * f g H  : K P  .

Định lý 2.3. Cho

P K,

là các phức đơn hình,

h: P K 

đồng

phôi thì:

* * h H: ( P ,

* G H ) (  K , ) G

đẳng cấu.

Định lý 2.4. Cho

P K,

là các phức đơn hình,

h: P K 

là một

tương đương đồng luân thì:

* * f H: K P  

là một đẳng cấu.

2.2. Tính nhóm đồng điều của một số không gian topo đơn giản.

Cho

X

là không gian topo,

f I X : 

là một đường đi,

ta đặt

1

p I : 

xác định bởi

   

1

0 1 0 0 1 p t t t t t , ; ,    .

° 1

f X : 

được xác định bởi

°

f f p  o

. Khi đó

°

f

là 1-

đơn hình kỳ dị. Nếu f là 1-loop

 f f x x X 0 1 ,       

, khi đó

° f 0

Định lý 2.5. Với phép tương ứng trên, ta được một đồng cấu

h h X x H X : , 1 0 1    

Nếu

X

liên thông đường thì h là toàn cấu và

Kerh

là nhóm con

giao hoán tử của

h X x 1 0  , 

. Vì thế nếu

h X x 1 0  , 

là nhóm Abel thì

h

là một đẳng cấu.

Định lý 2.6 (Định lý khoét mạnh). Cho K, L là hai phức con của

phức đơn hình M, ánh xạ

e K K L K L L : , ,       

là phép

nhúng thì

e H K K L H K L L n *n n n : , , , 0.         

Định lý 2.7 (Bổ đề 5). Cho

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 A A A A A A A A A A , , , , , ', ', ', ', '

là các nhóm Abel. Sơ đồ sau là giao hoán với các dòng là dãy khớp.

1 2 4 3

1 2 3 4 5

f f f f A A A A A     u1

2 u

3 u

4 u

5 u

1 2 4 3

' ' ' '

1 2 3 4 5

' ' ' ' ' f f f f A A A A A    

Khi đó, nếu

1 2 4 5 u u u u ,,,

là các phép đẳng cấu thì

u3

cũng là phép

đẳng cấu.

2.3. Sự đẳng cấu giữa đồng điều đơn hình và đồng điều kì dị.

Định nghĩa 2.1. Không phân li được

Cho

K

là đơn hình hữu hạn,

S

là tập hợp tất cả các phức

con của

K

một phần tử

S S

được gọi là “không phân li được”

nếu

S A B  

với bất kì

AB, S , A S B S   , .

Định lý 2.8. Cho

K

là một phức đơn hình hữu hạn. Với mỗi

L

là

một phức con của

K

. Ta xác định đồng cấu xích:

 :    

L L

n n n t t C L C L  

như sau:

 

L

n i i i i t n nT    

Ở đây:

1 0 1 , ,...,

i i i  p p pn

     :

n

T L i  

xác định bởi:

 0 0 

i T e p i

  1 1 

i

T e p i

 ……..  

i T e p i n n



…          

1 0 1

1 1 1 0 .... 0 n n C L C L C L C L C L n n n

           

1

L

n

t 

L

n

t

1

L

n

t 

1

L

t

0

L

t

…          

1 0 1

1 1 1 0 | | | | | | .... | | | | 0 n n C L C L C L C L C L n n n

           

Ta có:

1 1 1

L L

n n n n t t o o      

Định lý 2.9. Đồng điều đơn hình đẳng cấu với đồng điều kì dị.

CHƯƠNG 3

ĐỊNH LÍ LEFSCHETZ CHO CÁC ANR

3.1. Định lý Lefschetz về tính chất điểm bất động cho các phức

đơn hình

Định nghĩa 3.1. Vết của ma trận

Cho

£

là trường số phức,

ij n n

A a



    

là ma trận vuông cấp n. Ta

gọi, vết của ma trận A, kí hiệu tr(A), được định nghĩa như sau:

 

1

ii

i

tr A a



 .

Với

£

, kí hiệu

P A I     

n

và gọi là đa thức đặc trưng của

A,

   

1

1 ... 1

n n n P a a    n



    

, với

| | a A n



, với

a A n



Định nghĩa 3.2. Cho E, F là hai không gian vector hữu hạn chiều

trên trường

¤

, ánh xạ

f E F : 

được gọi là ánh xạ tuyến tính

nếu thỏa mãn hai điều kiện sau:

 Với mọi

x y E f x y f x f y , :          

 Với mọi

x E f x f x    , :    ¤    

Nếu E=F thì ánh xạ tuyến tính

f

được gọi là phép biến đổi tuyến

tính.

0 

Định lý 3.1. Cho

f E E g E E : '; : ' ''  

là các ánh xạ tuyến

tính giữa các không gian vector n chiều. Khi đó:

tr g f tr f g  o o    

hay

tr AB tr BA ( ) ( ) 

Định lý 3.2. Cho sơ đồ giao hoán giữa các không gian vector hữu

hạn chiều với các dãy khớp:

' ''

0 ' '' 0

0 ' '' 0

f g

f g

E E E

E E E

  

   

  

   

Khi đó,

tr tr tr        ' ''   

Định lý 3.3. Cho

K

là đa diện với

dim K  n

;

f K K : 

liên

tục, số Lefschetz của f, kí hiệu

( ) f

chỉ phụ thuộc vào lớp đồng luân

của f và

( ) f

là một số nguyên.

Với

      

0

1 , , .

n

n m

i

i

  f tr Sd C K



   o ¤

Định lý 3.4. Cho

K

là đa diện,

f K K : 

liên tục. Nếu

( ) 0 f 

thì f có điểm bất động.

3.2. Định lý Lefschetz cho các ANR.

3.2.1. Vết Leray.

Bổ đề 3.1. Cho E là không gian vector có số chiều hữu hạn, tự đồng cấu

 : E E  , tr

là vết của



. Khi đó ta có 2 tính chất cơ bản sau:

(A) Tính chất cơ bản 1: Cho E’, E’’ là các không gian vector hữu

hạn chiều. Ta có các tự đồng cấu sau:

f E E E E g E E E E : ' '', : ' ', : '' '', : '' '      

là các ánh xạ

tuyến tính mà sơ đồ sau giao hoán:

' '' f E E 

 g  g f o 

và

f go 

' '' f E E 

thì

tr tr   