Định lý Fenchel Moreau mở rộng và đặc trưng cấp hai cho hàm lồi véctơ

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

KIỀU ANH TUẤN

ĐỊNH LÝ FENCHEL MOREAU MỞ RỘNG VÀ

ĐẶC TRƢNG CẤP HAI CHO HÀM LỒI VÉCTƠ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2015

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

KIỀU ANH TUẤN

ĐỊNH LÝ FENCHEL MOREAU MỞ RỘNG VÀ

ĐẶC TRƢNG CẤP HAI CHO HÀM LỒI VÉCTƠ

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: GS.TSKH. NGUYỄN XUÂN TẤN

THÁI NGUYÊN - 2015

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn

i

LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các kết quả nêu

trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công

trình nào khác. Nếu sai tôi xin hoàn toàn chịu mọi hình thức kỷ luật theo quy

chế của trường.

Thái Nguyên, tháng 06 năm 2015

Tác giả

Kiều Anh Tuấn

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn

ii

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm - Đại

học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn khoa học của GS.TSKH. Nguyễn Xuân Tấn.

Trước tiên, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo, người hướng

dẫn khoa học của mình, GS.TSKH.Nguyễn Xuân Tấn, người đã đặt bài toán và

tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình nghiên cứu của tôi. Đồng thời tôi cũng

chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán, sau Đại học - Trường Đại

học Thái Nguyên, đã tạo mọi điều kiện cho tôi để tôi có thể hoàn thành bản luận

văn này. Tôi cũng gửi lời cảm ơn đến các bạn trong lớp Cao học Toán K21, đã

chia sẻ, động viên và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và làm luận văn.

Tôi cũng vô cùng biết ơn Bố, mẹ, anh, chị, em trong gia đình của mình,

đã cảm thông chia sẻ cùng tôi trong hai năm qua để tôi có thể học tập và hoàn

thành luận văn này.

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, tháng 02 năm 2015

Tác giả

Kiều Anh Tuấn

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn

iii

MỤC LỤC

Lời cam đoan ........................................................................................................i

Lời cảm ơn...........................................................................................................ii

Mục lục ...............................................................................................................iii

MỞ ĐẦU............................................................................................................. 1

Chƣơng 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ TRONG GIẢI TÍCH LỒI........................ 3

1.1. Tập lồi........................................................................................................... 3

1.2. Hàm lồi ......................................................................................................... 7

1.2.1. Tính liên tục của hàm lồi........................................................................... 8

1.2.2. Tính Lipschitz địa phương....................................................................... 11

1.3. Định lý Fenchel- Moreau trong trường hợp vô hướng............................... 13

1.4. Dưới vi phân của hàm lồi ........................................................................... 18

1.5. Cực tiểu của hàm lồi................................................................................... 30

Chƣơng 2: ĐỊNH LÝ FENCHEL- MOREAU MỞ RỘNG VÀ ĐẶC

TRƢNG CẤP HAI CỦA HÀM LỒI VÉCTƠ .............................................. 32

2.1. Các khái niệm cơ bản ................................................................................. 32

2.2. Dưới vi phân ............................................................................................... 35

2.3. Định lý Fenchel-Moreau mở rộng.............................................................. 39

2.4. Đặc trung cấp hai của hàm lồi véctơ .......................................................... 43

KẾT LUẬN....................................................................................................... 47

TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................... 48