Định lý điểm bất động trong không gian s-metric.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN THỊ THANH THẢO

ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG

TRONG KHÔNG GIAN S-METRIC

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số : 60.46.0113

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2014

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS. LƯƠNG QUỐC TUYỂN

Phản biện 1: TS. Trương Công Quỳnh

Phản biện 1: TS. Hoàng Quang Tuyến

Luận văn đã được bảo vệ tại hội đồng chấm luận văn

thạc sĩ khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 14

tháng 06 năm 2014.

Có thể tìm hiểu luận văn tại

- Trung tâm Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

111111 1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Lý thuyết điểm bất động trong không gian metric đóng vai

trò quan trọng trong toán học và khoa học ứng dụng. Năm 2006,

Mustafa và Sims đã đưa ra khái niệm không gian G-metric là một

suy rộng của không gian metric (xem [3]). Nhờ đó, Mustafa và cộng

sự đã đưa ra rất nhiều định lí điểm bất động trên không gian G￾metric (xem [1,3,4,5,6,7]. Bằng cách suy rộng không gian G-metric,

Sedghi, Shobe, Aliouche đã giới thiệu khái niệm không gian S￾metric vào năm 2012 (xem [2,8,9]), và các tác giả đã đưa ra được

một số định lí điểm bất động trên không gian này. Sau đó, bằng cách

suy rộng ánh xạ và các phép co, một số tác giả đã thu được nhiều kết

quả cho định lí điểm bất động trên không gian S-metric (xem [8]).

Hiện nay, bài toán về điểm bất động trên không gian S-metric đang

thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới.

Với lý do như trên cũng như dưới sự định hướng của thầy

giáo Lương Quốc Tuyển, tôi đã quyết định chọn nghiên cứu đề tài:

“Định lý điểm bất động trong không gian S-metric”. Chúng tôi mong

muốn tạo được một tài liệu tham khảo tốt cho những ai quan tâm và

nghiên cứu về lĩnh vực này.

2. Mục đích nghiên cứu

Trong luận văn, chúng tôi tập trung nghiên cứu các kiến thức

liên quan đến không gian metric, không gian suy rộng S-metric, một

số kết quả thu được trên không gian S-metric với các mục đích như

sau.

111111 2

(1) Hệ thống lại một số khái niệm và chứng minh chi tiết các

tính chất của không gian metric và định lí điểm bất động đối với ánh

xạ co trên không gian metric đầy đủ.

(2) Trình bày một số khái niệm và tính chất của không gian

S-metric.

(3) Nghiên cứu một số định lí điểm bất động trên không gian

S-metric đối với lớp ánh xạ co và một số hệ quả của nó cũng như

trình bày một số ví dụ liên quan.

3. Đối tượng nghiên cứu

Các khái niệm và tính chất của không gian metric như dãy

hội tụ, lân cận, tập hợp mở, tập hợp đóng, phần trong, biên, bao đóng

của một tập hợp, không gian metric đầy đủ, định lý điểm bất động

của Banach, không gian S-metric, ánh xạ liên tục và ánh xạ co, định

lý điểm bất động trên không gian S-metric đối với lớp ánh xạ co.

4. Phạm vi nghiên cứu

Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu các định lý điểm

bất động trên không gian S-metric đối với lớp ánh xạ co.

5. Phương pháp nghiên cứu

1. Tham khảo tài liệu và hệ thống hóa các kiến thức.

2. Thu thập các bài báo khoa học của các tác giả nghiên cứu

liên quan đến “Định lý điểm bất động trong không gian S-metric”

3. Thể hiện tường minh các kết quả nghiên cứu trong đề tài.

4. Trao đổi, thảo luận với giáo viên hướng dẫn.

111111 3

6. Cấu trúc luận văn

Nội dung luận văn được trình bày trong 3 chương. Ngoài ra,

luận văn còn có Lời cam đoan, Mục lục, phần Mở đầu, phần Kết

luận, Tài liệu tham khảo.

Chương 1, Trình bày về không gian metric, bao gồm 10

mục. Mục 1.1, trình bày khái niệm về không gian metric; Mục 1.2,

trình bày dãy hội tụ trong không gian metric; Mục 1.3, lân cận; Mục

1.4, trình bày tập hợp mở; Mục 1.5, trình bày tập hợp đóng; Mục 1.6,

trình bày phần trong, biên của một tập hợp; Mục 1.7, trình bày bao

đóng của một tập hợp; Mục 1.8, trình bày không gian metric đầy đủ;

Mục 1.9, trình bày ánh xạ liên tục trên không gian metric; Mục 1.10,

trình bày định lý điểm bất động của Banach.

Chương 2, Trình bày một số khái niệm và tính chất của

không gian S-metric, bao gồm 3 mục. Mục 2.1, trình bày không gian

S-metric; Mục 2.2, trình bày topo sinh bởi S-metric; Mục 2.3, trình

bày sự hội tụ trong không gian S-metric.

Chương 3, Trình bày định lý điểm bất động trong không gian

S-metric đối với lớp ánh xạ co và một số hệ quả của nó cũng như

trình bày các ví dụ liên quan, bao gồm 2 mục. Mục 3.1, trình bày ánh

xạ liên tục và ánh xạ co; Mục 3.2, trình bày định lý điểm bất động

đối với ánh xạ co trên không gian S-metric đầy đủ.

7. Tổng quan tài liệu nghiên cứu

Trong luận văn này, chúng tôi trình bày tổng quan và hệ

thống về không gian metric, không gian metric đầy đủ; một số khái

niệm và tính chất của không gian S-metric, topo sinh bới S-metric;

111111 4

một số định lý điểm bất động trên không gian S-metric đối với lớp

ánh xạ co và các hệ quả của nó, cũng như trình bày một số ví dụ.

Trong chương thứ nhất của luận văn, chúng tôi trình bày các

khái niệm và tính chất của không gian metric như dãy hội tụ, lân cận,

tập hợp mở, tập hợp đóng, phần trong, biên, bao đóng của một tập

hợp, không gian metric đầy đủ, định lý điểm bất động của Banach.

Trong chương thứ hai của luận văn, chúng tôi trình bày một

số khái niệm và tính chất của không gian S-metric, topo sinh bới S￾metric, sự hội tụ trong không gian S-metric. Kết quả chính của

chương này là Bổ đề 2.1.2, Định lý 2.2.2, Bổ đề 2.2.3, Bổ đề 2.3.2,

Bổ đề 2.3.3, Mệnh đề 2.3.5

Trong chương thứ ba của luận văn, chúng tôi trình bày ánh

xạ liên tục và ánh xạ co, định lý điểm bất động đối với lớp ánh xạ co

trên không gian S-metric đầy đủ. Kết quả chính của chương này là

Định lý 3.2.1, Định lý 3.2.3.

111111 5

CHƯƠNG 1

KHÔNG GIAN METRIC

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính

chất của không gian metric nhằm làm tiền đề cho các chương phía

sau cũng như chứng minh định lí điểm bất động đối với ánh xạ co

trên không gian metric đầy đủ.

1.1. KHÁI NIỆM VỀ KHÔNG GIAN METRIC

1.1.1. Định nghĩa. Giả sử X là tập hợp khác rỗng và

là hàm thỏa mãn các tiên đề sau.

(1) d(x y, ) 0 ³ với mọi x, ; y X Œ

d(x y, ) 0 = khi và chỉ khi x y = .

(2) d(x, y) = d(y x, ) với mọi x, . y X Œ

(3) d(x,z) £ + d(x, y) d(y z, ) với mọi x, y, . z X Œ

Khi đó,

(a) d được gọi là một metric xác định trên X.

(b) Cặp (X d, ) được gọi là một không gian metric. Ký hiệu là

(X d, ).

1.1.2. Ví dụ

Với , ta đặt

1/2 2

1

( , )

n

i i

i

d x y x y

=

Ê ˆ

= - Á ˜ Ë ¯ Â

1

1

( , )

n

i i

i

d x y x y

=

= - Â

d2

(x, y) = max{| xi i - = y |:i n 1,2,..., . }