Định lý điểm bất động trong không gian g-metric.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

PHẠM THỊ THANH NGA

ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG

TRONG KHÔNG GIAN G-METRIC

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60. 46. 0113

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng – Năm 2014

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS. LƯƠNG QUỐC TUYỂN

Phản biện 1: TS. Lê Hoàng Trí

Phản biện 2: PGS. TS. Huỳnh Thế Phùng

Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn

tốt nghiệp Thạc sĩ Khoa học họp tại Đại Học Đà Nẵng vào

ngày 14 tháng 06 năm 2014.

Có thể tìm hiểu Luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Lý thuyết điểm bất động trong không gian metric đóng vai trò

quan trọng trong toán học và khoa học ứng dụng. Trong hai thập kỷ

qua, sự phát triển của lý thuyết điểm bất động trong không gian

metric đã thu hút sự chú ý đáng kể do nhiều ứng dụng trong các lĩnh

vực như lý thuyết tối ưu, lý thuyết xấp xỉ, bất đẳng thức tuyến tính....

Năm 2006, Mustafa và Sims đã đưa ra khái niệm không gian metric

suy rộng, gọi là không gian G-metric (xem [4]). Sau đó, Mustafa và

các cộng sự đã đưa ra nhiều định lý điểm bất động trên không gian

G-metric và các không gian suy rộng của không gian G-metric (xem

[4], [5]). Từ đó đến nay, bài toán điểm bất động trên không gian G￾metric đã thu hút rất nhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm

nghiên cứu.

Với các lý do như trên cũng như dưới sự định hướng của thầy

giáo Lương Quốc Tuyển, chúng tôi đã quyết định chọn đề tài nghiên

cứu: “Định lý điểm bất động trong không gian G- metric”. Chúng tôi

mong muốn tạo được một tài liệu tham khảo tốt cho những người

quan tâm về lý thuyết điểm bất động cũng như mong muốn đưa ra

được một số ứng dụng của nó nhằm góp phần làm phong phú thêm

các kết quả trong lĩnh vực này.

2. Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu một số định lý điểm bất động trong không gian G￾metric.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

3.1 Đối tượng nghiên cứu là lý thuyết điểm bất động.

3.2 Phạm vi nghiên cứu là các định lý điểm bất động trong

không gian G-metric.

2

4. Phương pháp nghiên cứu

4.1. Tham khảo tài liệu và hệ thống hóa các kiến thức.

4.2. Thu thập các bài báo khoa học của các tác giả nghiên cứu

liên quan đến “Định lý điểm bất động trong không gian G- metric”.

4.3. Thể hiện tường minh các kết quả nghiên cứu trong đề tài.

4.4. Trao đổi, thảo luận với giáo viên hướng dẫn.

5. Đóng góp của đề tài

Đề tài có ý nghĩa về mặt lý thuyết, có thể sử dụng như tài liệu

tham khảo dành cho những ai đang quan tâm nghiên cứu về điểm bất

động trong không gian G-metric.

6. Cấu trúc của luận văn

Nội dung của luận văn ngoài phần mở đầu và kết luận gồm có ba

chương

Chương 1. Giới thiệu các kiến thức cơ bản liên quan đến

không gian metric.

Chương 2. Trong chương này, chúng tôi trình bày các khái

niệm và tính chất về không gian G-metric.

Chương 3. Trình bày và chứng minh chi tiết một số định lý

điểm bất động trong không gian G-metric.

3

CHƯƠNG 1

CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và

tính chất của không gian metric nhằm làm tiền đề cũng như phục vụ

cho việc chứng minh Chương 2 và Chương 3 của luận văn.

1.1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA

KHÔNG GIAN METRIC

1.1.1. Định nghĩa. Cho X là tập hợp khác rỗng. Ánh xạ

d : X X ¥ Æ ° được gọi là một metric trên X nếu nó thỏa các tiên đề

sau.

(1) d(x y, ) 0 ³ với mọi x, y X Œ

d(x y, ) 0 = ¤ x = y.

(2) d(x, y) = d(y x, ) với mọi x, y Œ X.

(3) d(x, y) £ + d(x,z) d(z y, ) với mọi x, y, z Œ X.

Tập X cùng với metric d xác định trên nó được gọi là không

gian metric và được ký hiệu là ( X d, .)

1.1.2. Định nghĩa. Cho X là một tập con của °. Số x X Œ

được gọi là một cận trên của X nếu y x £ với mọi y Œ X.

1.1.3. Định nghĩa. Cho X là một tập con của °. Số x X Œ

được gọi là một cận dưới của X nếu x y £ với mọi y Œ X.

1.1.4. Định nghĩa. Giả sử X là tập hợp khác rỗng. Khi đó, cận

trên bé nhất của X được gọi là supermum của tập X. Ký hiệu là sup X.

1.1.5. Định nghĩa. Giả sử X là tập hợp khác rỗng. Khi đó, cận

dưới lớn nhất của X được gọi là infimum của tập X. Ký hiệu là inf X.

1.1.6. Định nghĩa. Giả sử ( X d, ) là một không gian metric,

x X Œ và A X à . Ta đặt

d ( x,A) = Πinf{d(x, y): y A}.

4

Khi đó, d ( x A, ) được gọi là khoảng cách từ x đến A.

1.1.7. Nhận xét. Nếu x A Œ , thì d ( x A, ) = 0.

1.1.8. Mệnh đề. Giả sử ( X d, ) là một không gian metric và

A X à . Khi đó, với mọi x, x X ' , Œ ta có

d(x,A) - £ d(x ',A) d(x x, ').

1.1.9. Định nghĩa. Giả sử {xn } là một dãy trong không gian

metric X và x X 0 Œ . Khi đó, dãy {xn } được gọi là hội tụ đến 0

x nếu

Æ•

lim ( ,

0

) = 0.

n

n

d x x

Ký hiệu là

Æ•

= 0

lim n

n

x x hay Æ 0

.

n

x x

1.1.10. Nhận xét. (1) Giới hạn của một dãy hội tụ là duy nhất.

(2) Nếu

n Æ 0

x x thì mọi dãy con của {xn } cùng hội tụ về 0

x .

(3) Nếu

n Æ 0

x x và

n Æ 0

y y thì Æ 0 0 ( , ) ( , ).

n n

d x y d x y

1.1.11. Ví dụ.

1.1.12. Định nghĩa. Giả sử ( X d, ) là một không gian metric,

x X 0 Œ và r > 0. Khi đó,

(1) Tập hợp

B(x0 0 ,r) = {x Π< X | d(x, ) x r}

được gọi là hình cầu mở tâm 0

x , bán kính r.

(2) Tập hợp

B[ x0 0 ,r] = {x Œ £ X | d(x, ) x r}

được gọi là hình cầu đóng tâm 0

x , bán kính r.

Ngoài ra, ta ký hiệu

= 0 0 0 B * (x ,r) B(x ,r x ) \ { }.

Từ định nghĩa, ta có

5

B * (x0

,r) Ã Ã B(x0 0 ,r) B[ x r, .]

1.1.13. Định nghĩa. Cho ( X d, ) là một không gian metric. Tập

A X Ã được gọi là một lân cận của x nếu tồn tại r > 0 sao cho

B(x0

,r A ) . Ã

1.1.14. Nhận xét. (1) Mỗi hình cầu mở B(x r, ) là một lân cận

của x.

(2) Nếu 1 2 , ,..., A A An

là những lân cận của x, thì

=

I

1

n

i

i

A cũng là

một lân cận của x.

1.1.15. Định nghĩa. Giả sử ( X d, ) là không gian metric,

x X Œ và A X à . Khi đó,

(1) Điểm x được gọi là điểm trong của A nếu A là một lân

cận của x.

(2) Điểm x được gọi là điểm ngoài của A nếu tồn tại lân cận

V của x mà V A « = Æ.

(3) Điểm x được gọi là điểm biên của A nếu với mọi lân cận

V của x ta đều có

V A « ¹ Æ và V « (X A\ ) . ¹ Æ

1.2. TẬP MỞ, TẬP ĐÓNG

1.2.1. Định nghĩa. Giả sử X là không gian metric và A X Ã .

Khi đó, A được gọi là tập hợp mở nếu A là lân cận của mỗi điểm

thuộc A.

1.2.2. Định nghĩa. Giả sử X là không gian metric và A X Ã .

Khi đó, A được gọi là tập hợp đóng nếu X A\ là tập hợp mở.

1.2.3. Định lý. Giả sử ( X d, ) là không gian metric. Khi đó,

(1) Hợp của một họ tùy ý những tập hợp mở là tập hợp mở.

(2) Giao của một họ hữu hạn những tập hợp mở là tập hợp mở.