Định lý điểm bất động cho một số ánh xạ co suy rộng trên các không gian kiểu mêtric và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

TRẦN ĐỨC THÀNH

ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG

CHO MỘT SỐ ÁNH XẠ CO SUY RỘNG TRÊN

CÁC KHÔNG GIAN KIỂU MÊTRIC

VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGHỆ AN - 2015

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

TRẦN ĐỨC THÀNH

ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG

CHO MỘT SỐ ÁNH XẠ CO SUY RỘNG TRÊN

CÁC KHÔNG GIAN KIỂU MÊTRIC

VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 62 46 01 02

TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

1. PGS. TS. TRẦN VĂN ÂN

2. TS. KIỀU PHƯƠNG CHI

NGHỆ AN - 2015

iii

LỜI CAM ĐOAN

Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Trần Văn Ân

và TS. Kiều Phương Chi. Tôi xin cam đoan rằng các kết quả trình bày trong

luận án là hoàn toàn trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và

luận án không trùng lặp với bất kỳ tài liệu nào khác.

Tác giả

iv

LỜI CẢM ƠN

Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS. TS.

Trần Văn Ân và TS. Kiều Phương Chi. Trước hết, tác giả xin được bày tỏ lòng

biết ơn sâu sắc đối với những người Thầy - PGS. TS. Trần Văn Ân và TS. Kiều

Phương Chi của mình, những người đã đặt bài toán và hướng nghiên cứu cho

tác giả. Tác giả đã học được rất nhiều kiến thức khoa học, nhận được sự chia

sẻ, yêu thương của các Thầy trong quá trình học tập và nghiên cứu.

Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS. TS. Đinh Huy Hoàng.

Thầy luôn tận tình chỉ bảo và tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất trong suốt quá

trình học tập, nghiên cứu, để tác giả học tập và hoàn thành luận án.

Tác giả xin được bày tỏ sự cảm ơn đến Ban chủ nhiệm khoa Sư phạm Toán

học, Tổ Giải tích và các đồng nghiệp trong khoa Sư phạm Toán - Trường Đại

học Vinh đã quan tâm động viên cũng như tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác

giả tập trung học tập và nghiên cứu.

Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Phòng đào tạo Sau đại học và các

phòng ban khác của Trường Đại học Vinh đã tạo điều kiện thuận lợi để tác giả

hoàn thành nhiệm vụ của nghiên cứu sinh.

Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới GS Erdal Karapinar, Department of Mathe￾matics, Atilim University, 06836 Incek, Ankara, Turkey và GS Ljubomir Ciric,

Faculty of Mechanical Engineering, University of Belgrade, 12-35 Aleksinackih

Rudara, Belgrade, Serbia and Montenegro vì những giúp đỡ to lớn trong việc

trao đổi tài liệu và thảo luận các bài toán liên quan.

Xin cảm ơn các thầy cô giáo, các anh chị em nghiên cứu sinh của Trường

Đại học Vinh và tất cả bạn bè của tác giả về những chia sẻ, động viên trong

quá trình học tập và nghiên cứu.

v

Cuối cùng, tác giả vô cùng biết ơn mọi thành viên trong gia đình của mình,

đã luôn tạo mọi điều kiện và dành tất cả sự quan tâm, chia sẻ mọi khó khăn

cùng tác giả suốt những năm tháng qua để tác giả có thể hoàn thành luận án

này.

Nghệ An, năm 2015

Tác giả

1

MỤC LỤC

Mục lục 1

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1 Điểm bất động của một số ánh xạ T-co suy rộng trong

không gian mêtric 12

1.1. Điểm bất động của ánh xạ T-co kiểu Meir-Keeler . . . . . . . 12

1.2. Điểm bất động của ánh xạ T-co kiểu tựa co Ciric . . . . . . . 20

1.3. Điểm bất động chung của các ánh xạ T-co kiểu (ψ, ϕ)-co yếu . 29

2 Điểm bất động của một số lớp ánh xạ co suy rộng trong

không gian mêtric riêng 39

2.1. Không gian mêtric riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.2. Điểm bất động của ánh xạ co suy rộng trong không gian mêtric

riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.3. Điểm bất động chung của các ánh xạ kiểu (ψ, ϕ)-co yếu trong

không gian mêtric riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3 Điểm bất động bộ đôi của một số ánh xạ co suy rộng

trong không gian mêtric riêng có thứ tự bộ phận và ứng

dụng 82

3.1. Điểm bất động bộ đôi của một số ánh xạ co suy rộng trong

không gian mêtric riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3.2. ´Ưng dụng vào một lớp phương trình tích phân phi tuyến . . . 92

2

3.3. ´Ưng dụng vào bài toán cân bằng không cộng tác trong lý thuyết

trò chơi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

Kết luận và kiến nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

Danh mục công trình liên quan trực tiếp đến luận án . . . 105

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

3

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

1.1. Lý thuyết điểm bất động và ứng dụng là lĩnh vực nghiên cứu hấp dẫn

của toán học hiện đại. Đây là lĩnh vực đã và đang thu hút được sự quan

tâm của rất nhiều nhà toán học trong và ngoài nước. Lý thuyết điểm bất

động là một công cụ quan trọng để nghiên cứu các hiện tượng phi tuyến.

Nó có nhiều ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của Toán học như

sự tồn tại nghiệm của các phương trình vi, tích phân, hệ phương trình

tuyến tính, phương trình hàm, quỹ đạo đóng của hệ động lực... Hơn nữa,

nó còn có nhiều ứng dụng trong các ngành khoa học khác như khoa học

máy tính, lý thuyết điều khiển, lý thuyết trò chơi, vật lý toán, sinh học,

kinh tế... Sự phát triển mạnh mẽ của lý thuyết điểm bất động có thể nói

bắt nguồn từ những ứng dụng rộng rãi của nó.

1.2. Xuất phát từ ba định lý điểm bất động nổi tiếng: Định lý điểm bất

động Brouwer (1911, [22]), định lý điểm bất động Banach (1922, [9]), định

lý điểm bất động Tarski (1955, [60]), lý thuyết điểm bất động có thể được

chia thành ba hướng nghiên cứu chính: Lý thuyết điểm bất động tôpô, lý

thuyết điểm bất động mêtric và lý thuyết điểm bất động rời rạc. Cùng với

việc nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của các phương trình vi phân thường,

nguyên lý ánh xạ co Banach là trung tâm của lý thuyết điểm bất động

trên các không gian mêtric: "Mỗi ánh xạ co từ một không gian mêtric

đầy đủ (X, d) vào chính nó luôn có duy nhất điểm bất động". Sự ra đời

của nguyên lý ánh xạ co Banach cùng với ứng dụng của nó đã mở ra sự

phát triển mới của lý thuyết điểm bất động mêtric.

4

1.3. Hướng nghiên cứu lý thuyết điểm bất động mêtric phát triển chủ

yếu theo 3 vấn đề sau: Mở rộng các điều kiện co cho các ánh xạ; mở rộng

các định lý điểm bất động đã biết lên các không gian có cấu trúc tương

tự không gian mêtric; và tìm các ứng dụng của chúng. Đối với vấn đề

mở rộng điều kiện co của ánh xạ, chúng ta đã biết được những lớp ánh

xạ co tiêu biểu được kể đến như của Kannan ([39]), Boyd-Wong ([21]),

Meir-Keeler ([42]), Reich ([54]), Ciric ([29]), Zamfirescu ([62]), Hardy -

Rogers ([36]), Ciric ([27]), Berinde ([14])... Ngoài ra, người ta còn đề xuất

thêm những loại ánh xạ co suy rộng như: Φ-co, co yếu, tựa co, hầu co...

Đối với vấn đề mở rộng không gian, người ta đã đề xuất các định lý điểm

bất động đối với các ánh xạ co trên những lớp không gian có cấu trúc

tương tự không gian mêtric như: Không gian mêtric suy rộng, không gian

mêtric nón, không gian 2-mêtric, không gian b-mêtric... Đặc biệt, năm

1992, trong dự án nghiên cứu về sự hiển thị ngôn ngữ và lưu thông mạng

máy tính, S. G. Matthew ([45]) đã đề xuất và xây dựng khái niệm không

gian mêtric riêng. Sau đó, các định lý điểm bất động đối với các ánh xạ

co trên lớp không gian này cũng được thiết lập. Và gần đây, người ta rất

quan tâm tới việc thiết lập các định lý điểm bất động của ánh xạ co suy

rộng trên lớp không gian này, xuất phát từ một số ý nghĩa và ứng dụng

của chúng. Theo mạch vấn đề về ứng dụng của các định lý điểm bất động

mêtric, ngoài những ứng dụng truyền thống đã biết, gần đây, người ta đã

tìm được những ứng dụng sâu sắc hơn của các định lý điểm bất động cho

các ánh xạ co suy rộng trên các không gian có cấu trúc kiểu không gian

mêtric vào những lĩnh vực khác nhau của toán học, kinh tế và kỹ thuật.

Có thể nói, cả 3 mạch vấn đề trên không phát triển tách rời nhau mà luôn

luôn đồng hành, gắn bó mật thiết với nhau. Những vấn đề trên đang thu

hút khá đông những người làm việc trong lĩnh vực toán giải tích trong và

ngoài nước. Đặc biệt, cả 3 mạch vấn đề trên vẫn còn những bài toán thời

sự đang được đặt ra nghiên cứu và giải quyết.

5

Với các lý do nêu trên chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận án

của mình là: "Định lý điểm bất động cho một số ánh xạ co suy

rộng trên các không gian kiểu mêtric và ứng dụng".

2. Mục đích nghiên cứu

Mục đích của luận án là mở rộng một số kết quả về sự tồn tại điểm

bất động của một số lớp ánh xạ trên các lớp không gian như: không gian

mêtric, không gian mêtric riêng, không gian mêtric riêng có thứ tự bộ

phận và tìm hiểu ứng dụng của chúng trong việc chứng minh sự tồn tại

nghiệm của một số lớp phương trình tích phân và bài toán cân bằng không

cộng tác trong lý thuyết trò chơi.

3. Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của luận án là các không gian mêtric, không gian

mêtric riêng, các ánh xạ co suy rộng trên không gian mêtric, không gian

mêtric riêng, điểm bất động, điểm bất động bộ đôi của một số lớp ánh

xạ trong không gian mêtric, không gian mêtric riêng, một số lớp phương

trình tích phân.

4. Phạm vi nghiên cứu

Luận án nghiên cứu các định lý điểm bất động đối với các ánh xạ trong

không gian mêtric, không gian mêtric riêng và ứng dụng vào bài toán sự

tồn tại nghiệm của các phương trình tích phân và bài toán cân bằng không

cộng tác trong lý thuyết trò chơi.

5. Phương pháp nghiên cứu

Chúng tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết của Giải tích

hàm, lý thuyết phương trình vi phân, phương trình tích phân và lý thuyết

điểm bất động trong quá trình thực hiện đề tài.

6. ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Luận án đã mở rộng được một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động

trong không gian mêtric, không gian mêtric riêng. Đồng thời, áp dụng

các kết quả thu được vào việc chứng minh sự tồn tại nghiệm của một số

6

lớp phương trình tích phân và bài toán cân bằng không cộng tác trong lý

thuyết trò chơi.

Luận án có thể làm tài liệu tham khảo cho các sinh viên, học viên cao

học và nghiên cứu sinh chuyên ngành Toán giải tích nói chung, lý thuyết

điểm bất động trên các không gian kiểu mêtric và ứng dụng nói riêng.

7. Tổng quan và cấu trúc luận án

7.1. Tổng quan luận án

Năm 2010, S. Moradi và M. Omid ([47]) đã đề xuất lớp ánh xạ T-co

và thu được một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động của chúng. Cho

(X, d) là không gian mêtric và các ánh xạ T, S : X → X. Ánh xạ S được

gọi là T-co nếu tồn tại k ∈ [0, 1) sao cho

d(T Sx, T Sy) 6 kd(T x, T y), với mọi x, y ∈ X.

Khi T x = x với x ∈ X thì ánh xạ T-co trở thành ánh xạ co thông thường.

Sự xuất hiện của lớp ánh xạ T-co đã thu hút sự quan tâm của các nhà

nghiên cứu lý thuyết điểm bất động mêtric. Với mục đích nghiên cứu các

định lý điểm bất động của các ánh xạ dưới điều kiện T-co suy rộng, trong

Chương 1, chúng tôi thu được một số định lý điểm bất động cho lớp ánh

xạ kiểu T-co. Trong Mục 1.1, chúng tôi thu được các kết quả về sự tồn tại

điểm bất động của các lớp ánh xạ T-co kiểu Meir-Keeler. Cụ thể, chúng

tôi chứng minh Định lý 1.1.5 và Định lý 1.1.8 khẳng định sự tồn tại duy

nhất điểm bất động của lớp ánh xạ T-co kiểu Meir-Keeler trong không

gian mêtric đầy đủ. Trong Mục 1.2, chúng tôi thu được các kết quả về sự

tồn tại điểm bất động của các lớp ánh xạ T-co kiểu tựa co Ciric. Cụ thể,

chúng tôi thiết lập Định lý 1.2.2, Hệ quả 1.2.5, Hệ quả 1.2.6 và Hệ quả

1.2.7 khẳng định sự tồn tại duy nhất điểm bất động của lớp ánh xạ T-co

kiểu tựa co Ciric trong không gian mêtric đầy đủ. Trong Mục 1.3, chúng

tôi thu được các kết quả về sự tồn tại điểm bất động chung của lớp các

ánh xạ T-co kiểu (ψ, ϕ)-co yếu. Cụ thể, chúng tôi thiết lập Định lý 1.3.2