Điều kiện tối ưu và tính đối ngẫu cho bài toán tối ưu đa mục tiêu không trơn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

-------------------------------

TRẦN THỊ LAN HƯƠNG

ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU VÀ TÍNH ĐỐI NGẪU

CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU KHÔNG TRƠN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2017

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

-------------------------------

TRẦN THỊ LAN HƯƠNG

ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU VÀ TÍNH ĐỐI NGẪU

CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU KHÔNG TRƠN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số : 60 46 01 12

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS. Đỗ Văn Lưu

THÁI NGUYÊN - 2017

i

Mục lục

Mở đầu 1

1 Điều kiện tối ưu và đối ngẫu cho các nghiệm hữu hiệu

chính thường và cô lập của bài toán tối ưu đa mục tiêu

không trơn 4

1.1. Các định nghĩa và kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2. Điều kiện tối ưu và đối ngẫu cho các nghiệm hữu hiệu chính

thường và cô lập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3. Đối ngẫu cho nghiệm hữu hiệu chính thường . . . . . . . . 18

2 Điều kiện tối ưu và đối ngẫu cho các nghiệm hữu hiệu

và nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán tối ưu đa mục tiêu

không trơn 24

2.1. Các kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2. Điều kiện tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3. Các định lý đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.3.1. Đối ngẫu kiểu Wolfe . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.3.2. Đối ngẫu kiểu Mond - Weir . . . . . . . . . . . . . 44

Kết luận 48

Tài liệu tham khảo 50

1

Mở đầu

1. Lí do chọn đề tài

Điều kiện tối ưu và đối ngẫu là các hướng nghiên cứu quan trọng của

lý thuyết tối ưu đa mục tiêu. Với một bài toán tối ưu không trơn, người

ta thường dùng các khái niệm dưới vi phân để thiết lập các điều kiện

tối ưu và các định lý đối ngẫu như các dưới vi phân lồi, Clarke, Michel -

Penot, Mordukhovich, dưới vi phân suy rộng. T.D. Chuong ￾

[2], 2013

đã

sử dụng giải tích biến phân, dạng không trơn của quy tắc Fermat và dưới

vi phân Mordukhovich để thiết lập các điều kiện tối ưu và các định lý đối

ngẫu kiểu Wolfe cho nghiệm hữu hiệu chính thường và nghiệm hữu hiệu

cô lập của bài toán tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc đẳng thức và bất

đẳng thức. T.D. Chuong - D.S. Kim ￾

[3], 2014

đã thiết lập các điều kiện

tối ưu và các định lý đối ngẫu kiểu Wolfe và Mond - Weir cho nghiệm hữu

hiệu và nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán đó. Đây là đề tài được nhiều

tác giả quan tâm nghiên cứu. Chính vì thế tôi chọn đề tài: "Điều kiện tối

ưu và đối ngẫu cho bài toán tối ưu đa mục tiêu không trơn".

2. Mục đích của đề tài

Luận văn trình bày các kết quả về điều kiện tối ưu và đối ngẫu của

T.D. Chuong đăng trong tạp chí Nonlinear Analysis 76 (2013), 93 - 104

cho nghiệm hữu hiệu chính thường và nghiệm hữu hiệu cô lập của bài

toán tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc đẳng thức và bất đẳng thức, và

của T.D. Chuong - D.S. Kim đăng trong tạp chí Annals of Operations

Research 217 (2014), 117 - 136 cho nghiệm hữu hiệu và nghiệm hữu hi

2

yếu của bài toán đó.

3. Nội dung của luận văn

Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận và danh mục tài

liệu tham khảo

Chương 1. "Điều kiện tối ưu và đối ngẫu cho các nghiệm hữu hiệu chính

thường và cô lập của bài toán tối ưu đa mục tiêu không trơn"

Trình bày các điều kiện cần cho các nghiệm hữu hiệu chính thường địa

phương và cô lập địa phương của bài toán tối ưu đa mục tiêu có ràng

buộc đẳng thức và bất đẳng thức bằng cách sử dụng công cụ giải tích

biến phân và vi phân suy rộng như: Quy tắc Fermat không trơn, dưới vi

phân Mordukhovich (hay còn gọi là dưới vi phân giới hạn) của hàm max,

quy tắc tổng cho các dưới vi phân Fréchet và giới hạn. Các điều kiện đủ

tối ưu được trình bày với các giả thiết về tính lồi suy rộng dưới ngôn ngữ

dưới vi phân giới hạn của hàm Lipschitz địa phương. Các định lý đối ngẫu

yếu, mạnh cũng được trình bày trong chương này. Các kết quả trình bày

trong chương này được tham khảo trong [2], [1], [7], [8].

Chương 2. "Điều kiện tối ưu và đối ngẫu cho các nghiệm hữu hiệu và hữu

hiệu yếu của bài toán tối ưu đa mục tiêu không trơn"

Trình bày các điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu và nghiệm hữu hiệu

yếu của bài toán tối ưu đa mục tiêu với ràng buộc đẳng thức và bất đẳng

thức bằng công cụ giải tích biến phân như: Nguyên lý cực trị xấp xỉ, quy

tắc tổng mờ cho vi phân Fréchet, quy tắc tổng cho vi phân giới hạn và

công thức vô hướng hóa đối đạo hàm. Các điều kiện đủ cho nghiệm hữu

hiệu yếu và nghiệm hữu hiệu được trình bày với các giả thiết về tính lồi

suy rộng dưới ngôn ngữ dưới vi phân giới hạn. Các định lý đối ngẫu Wolfe

và Mond - Weir cũng được trình bày trong chương này. Các kết quả được

trình bày trong chương này được tham khảo trong [3], [7], [1].

Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học - Đại học

Thái Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Đỗ Văn