Điều khiển H trong thời gian hữu hạn của hệ nơ ron thần kinh phân thứ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

————— o0o —————

NGUYỄN PHƯƠNG HẬU

ĐIỀU KHIỂN H∞ TRONG THỜI GIAN HỮU HẠN

CỦA HỆ NƠ RON THẦN KINH PHÂN THỨ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số: 8 46 01 12

TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS. MAI VIẾT THUẬN

TS. NGUYỄN HỮU SÁU

Thái Nguyên, 11/2020

1

Mục lục

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 6

1.1. Giải tích phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.1. Tích phân phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.2. Đạo hàm phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2. Một số bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3. Bài toán ổn định trong thời gian hữu hạn cho hệ phương trình

vi phân phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4. Bài toán điều khiển H∞ trong thời gian hữu hạn cho lớp hệ

phương trình vi phân với bậc nguyên . . . . . . . . . . . . . . . 17

Chương 2 Điều khiển H∞ trong thời gian hữu hạn của một lớp

hệ nơ ron thần kinh phân thứ 20

2.1. Phát biểu bài toán và một số tiêu chuẩn . . . . . . . . . . . . . 20

2.2. Ví dụ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2

LỜI NÓI ĐẦU

Mô hình mạng nơ ron mô tả bởi hệ phương trình vi phân với đạo hàm bậc

nguyên được nghiên cứu đầu tiên bởi L.O. Chua và L. Yang vào năm 1988

[10, 11]. Mô hình này đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà

khoa học trong những năm gần đây do những ứng dụng rộng lớn của nó trong

xử lí tín hiệu, xử lí hình ảnh, tối ưu hóa và các lĩnh vực khác [11, 21]. Năm

2008, trong một nghiên cứu của mình, A. Boroomand và M.B. Menhaj [7] lần

đầu tiên mô hình hóa mạng nơ ron bởi hệ phương trình vi phân phân thứ

(Caputo hoặc Riemann–Liouville). So với mạng nơ ron mô tả bởi hệ phương

trình vi phân với đạo hàm bậc nguyên, mạng nơ ron mô tả bởi hệ phương trình

vi phân phân thứ (Caputo hoặc Riemann–Liouville) có thể mô tả các đặc tính

và tính chất của mạng nơ ron một cách chính xác hơn [7, 21]. Do đó hệ phương

trình mạng nơ ron phân thứ đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều

nhà khoa học. Nhiều kết quả hay và thú vị về hệ phương trình mạng nơ ron

phân thứ đã được công bố trong những năm gần đây.

Như chúng ta đã biết, do nhiều lý do như lỗi đo lường, xấp xỉ tuyến tính,

sự không chính xác của việc mô hình hóa, nhiễu loạn thường không thể tránh

khỏi trong các hệ thống mạng thần kinh được mô tả bởi hệ phương trình vi

phân bậc nguyên và bậc không nguyên. Do đó nghiên cứu hiệu suất suy giảm

nhiễu thông qua phương pháp kiểm soát H∞ là một bài toán quan trọng nhận

được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học. Trong những năm gần

đây, bài toán điều khiển H∞ trong thời gian hữu hạn của một số lớp hệ phương

trình vi phân với bậc nguyên đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều

nhà khoa học trong nước cũng như quốc tế [2, 4, 6, 22, 24]. Sử dụng phương

pháp tiếp cận thời gian dừng trung bình, Xiang cùng các cộng sự [24] nghiên

3

cứu bài toán điều khiển H∞ trong thời gian hữu hạn cho lớp hệ chuyển mạch

trung tính. Sau đó kết quả của Xiang cùng các cộng sự [24] được cải tiến bởi

Wang cùng các cộng sự [22] cho lớp hệ chuyển mạch trung tính trong đó các

hệ con không ổn định hữu hạn thời gian. Ali và Saravanan [4] đưa ra vài tiêu

chuẩn cho bài toán điều khiển H∞ trong thời gian hữu hạn của lớp hệ nơ ron

thần kinh không chắc chắn chuyển mạch có trễ hỗn hợp bằng cách sử dụng

phương pháp hàm Lyapunov-Krasovskii và kỹ thuật bất đẳng thức ma trận

tuyến tính. Bài toán điều khiển H∞ trong thời gian hữu hạn cho lớp hệ nơ ron

thần kinh trung tính Markovian được nghiên cứu bởi Baskar cùng các cộng sự

[6]. Chú ý rằng các kết quả nói trên áp dụng cho các lớp hệ phương trình vi

phân với bậc nguyên. Gần đây, M.V. Thuan cùng các cộng sự [20] nghiên cứu

bài toán điều khiển H∞ trong thời gian hữu hạn cho một lớp hệ nơ ron thần

kinh phân thứ bằng cách tiếp cận sử dụng bất đẳng thức ma trận tuyến tính

và một số tính chất của đạo hàm, tích phân phân thứ.

Luận văn tập trung trình bày tính một số tiêu chuẩn cho bài toán điều khiển

H∞ trong thời gian hữu hạn của một lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ dựa

trên cơ sở đọc hiểu và tổng hợp các bài báo đã được công bố trong những năm

gần đây (xem [20]). Luận văn gồm có 2 chương gồm những nội dung chính sau

đây:

Trong chương 1, chúng tôi trình bày một số khái niệm về giải tích phân thứ

như tích phân và đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville, tích phân và đạo hàm

phân thứ Caputo. Ngoài ra, chúng tôi trình bày bài toán ổn định hữu hạn thời

gian cho lớp hệ điều khiển tuyến tính phân thứ. Bài toán điều khiển H∞ trong

thời gian hữu hạn cho lớp hệ điều khiển tuyến tính với bậc nguyên cũng được

chúng tôi trình bày trong chương này. Nội dung chính của chương này được

tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [13, 14, 15, 17, 18].

Trong chương 2 của luận văn, chúng tôi trình bày một số tiêu chuẩn cho bài

toán điều khiển H∞ trong thời gian hữu hạn của một lớp hệ nơ ron thần kinh

phân thứ. Nội dung chính của chương này được tham khảo chủ yếu từ tài liệu

[20].

Luận văn này được thực hiện tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái