Đề tuyển sinh cao học môn Giải tích năm 1999 - Đại học Vinh

§Æng Xu©n C­¬ng - Cao häc 12 - Gi¶i tÝch - §¹i häc Vinh

Kỷ niệm hè 2005

1

Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o

Tr­êng §¹i häc Vinh

Céng hßa x· héi chñ nghÜa ViÖt Nam

§éc lËp - Tù do - H¹nh phóc

§Ò thi tuyÓn sinh cao häc n¨m 1999

M«n: Gi¶i tÝch

Ngµnh: To¸n

Thêi gian lµm bµi: 180 phót

C©u1. 1) Gi¶ sö hµm f R Æ R

2

: cho bëi c«ng thøc

( )

Ô

Ó

Ô

Ì

Ï

+ =

+ ¹

= +

0 0

0

,

2 2

2 2

2 2

2

x y

x y

x y

x y

f x y

nÕu

nÕu

a) XÐt tÝnh liªn tôc cña f trªn

2

R .

b) XÐt tÝnh kh¶ vi cña hµm f t¹i ®iÓm (0,0).

2) T×m miÒn héi tô cña chuçi

n

n

n

x

x

˜

¯

ˆ

Á

Ë

Ê

+

-

+

Â

•

= 1

1

2 1

1

0

C©u 2. KÝ hiÖu 1

l = { }

˛

˝

¸

Ó

Ì

Ï

= Œ Œ  < •

•

=1

: ; ,

n

n n n

x x x C n N x ;

( , ) ,

1

1 Â

•

=

= -

n

n n d x y x y ( )

2

1

1

2

2

, ˜

¯

ˆ

Á

Ë

Ê

= Â -

•

n=

n n d x y x y víi x = {xn }; y = {yn } thuéc 1

l .

Chøng minh r»ng

a) 1

d , 2

d lÇn l­ît lµ c¸c mªtric trªn 1

l ;

b) kh«ng gian ( ) 1 1

l ,d ®Çy ®ñ ; kh¶ li.

c) Kh«ng gian ( ) 1 2

l ,d kh«ng ®Çy ®ñ.

C©u 3. Gi¶ sö C[0,1]

lµ kh«ng gian ®Þnh chuÈn c¸c hµm sè thùc liªn tôc trªn [0,1] víi chuÈn sup

vµ A:C[0,1] Æ C[0,1] biÕn x thµnh Ax cho bëi (Ax)(t) t x(t)

2

= víi mäi x Œ C[0,1] vµ t Œ[0,1]

a) Chøng minh r»ng A lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh liªn tôc. TÝnh A

b) Chøng tá r»ng [ ] ( ) A C 0,1

lµ kh«ng gian con ®ãng cña C[0,1]

.

C©u 4. ¸nh x¹ f : X Æ Y tõ kh«ng gain t«p« X vµo kh«ng gian t«p« Y ®­îc gäi lµ ®ãng nÕu víi

tËp ®ãng A bÊt k× ta cã f (A) ®ãng trong Y. Chøng minh r»ng f : X ÆY lµ ®ãng khi vµ chØ khi

f ( A) Ã f A( ) víi mäi A Ã X .