Thư viện tri thức trực tuyến
Kho tài liệu với 50,000+ tài liệu học thuật
© 2023 Siêu thị PDF - Kho tài liệu học thuật hàng đầu Việt Nam
đề thi tuyển sinh cao học
Nội dung xem thử
Mô tả chi tiết
§Æng Xu©n C¬ng - Cao häc 12 - Gi¶i tÝch - §¹i häc Vinh
Kỷ niệm hè 2005
1
Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o
Trêng §¹i häc Vinh
Céng hßa x· héi chñ nghÜa ViÖt Nam
§éc lËp - Tù do - H¹nh phóc
§Ò thi tuyÓn sinh cao häc n¨m 1999
M«n: Gi¶i tÝch
Ngµnh: To¸n
Thêi gian lµm bµi: 180 phót
C©u1. 1) Gi¶ sö hµm f R Æ R
2
: cho bëi c«ng thøc
( )
Ô
Ó
Ô
Ì
Ï
+ =
+ ¹
= +
0 0
0
,
2 2
2 2
2 2
2
x y
x y
x y
x y
f x y
nÕu
nÕu
a) XÐt tÝnh liªn tôc cña f trªn
2
R .
b) XÐt tÝnh kh¶ vi cña hµm f t¹i ®iÓm (0,0).
2) T×m miÒn héi tô cña chuçi
n
n
n
x
x
˜
¯
ˆ
Á
Ë
Ê
+
-
+
Â
•
= 1
1
2 1
1
0
C©u 2. KÝ hiÖu 1
l = { }
˛
˝
¸
Ó
Ì
Ï
= Œ Œ  < •
•
=1
: ; ,
n
n n n
x x x C n N x ;
( , ) ,
1
1 Â
•
=
= -
n
n n d x y x y ( )
2
1
1
2
2
, ˜
¯
ˆ
Á
Ë
Ê
= Â -
•
n=
n n d x y x y víi x = {xn }; y = {yn } thuéc 1
l .
Chøng minh r»ng
a) 1
d , 2
d lÇn lît lµ c¸c mªtric trªn 1
l ;
b) kh«ng gian ( ) 1 1
l ,d ®Çy ®ñ ; kh¶ li.
c) Kh«ng gian ( ) 1 2
l ,d kh«ng ®Çy ®ñ.
C©u 3. Gi¶ sö C[0,1]
lµ kh«ng gian ®Þnh chuÈn c¸c hµm sè thùc liªn tôc trªn [0,1] víi chuÈn sup
vµ A:C[0,1] Æ C[0,1] biÕn x thµnh Ax cho bëi (Ax)(t) t x(t)
2
= víi mäi x Œ C[0,1] vµ t Œ[0,1]
a) Chøng minh r»ng A lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh liªn tôc. TÝnh A
b) Chøng tá r»ng [ ] ( ) A C 0,1
lµ kh«ng gian con ®ãng cña C[0,1]
.
C©u 4. ¸nh x¹ f : X Æ Y tõ kh«ng gain t«p« X vµo kh«ng gian t«p« Y ®îc gäi lµ ®ãng nÕu víi
tËp ®ãng A bÊt k× ta cã f (A) ®ãng trong Y. Chøng minh r»ng f : X ÆY lµ ®ãng khi vµ chØ khi
f ( A) Ã f A( ) víi mäi A Ã X .