Đề thi HSG tp Hà Nội- Môn Toán- 08 -09

Së Gi¸o dôc ®µo t¹o Kú thi HSG Thµnh phè líp 9

Hµ Néi N¨m häc 2008 – 2009

M«n : To¸n

Ngµy thi : 27 – 3 – 2009

Thêi gian lµm bµi : 150 phót.

C©u I ( 4 ®iÓm)

1) Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn a ta ®Òu cã ( a3

+ 5a) lµ sè nguyªn chia hÕt cho 6.

2) Cho A = 2 3 10 10 10 10 10 2730 927309 27309 ... 27309 + + + + . T×m sè d trong phÐp

chia A cho 7.

C©u II ( 4 ®iÓm)

1) Chøng minh

1 1 4

x y x y

+ ≥

+

víi x>0 vµ y>0. X¶y ra ®¼ng thøc khi nµo?

2) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P, biÕt

2 2

2 35 P ab 2

a b ab

= + +

+

víi a>0 , b>0 vµ a+b≤4.

C©u III ( 4®iÓm)

Cho ph¬ng tr×nh x + m -1 = m 3

2 1 x − ( víi x lµ Èn sè).

1) Gi¶i ph¬ng tr×nh khi m=3.

2) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm lín h¬n 1.

C©u IV ( 4 ®iÓm)

Cho ®êng trßn (O;3) vµ ®iÓm A cè ®Þnh ( A kh¸c O). Chøng minh :

1) NÕu HK lµ ®êng kÝnh cña ®êng trßn (O;3) th× AH≥ 3 hoÆc AK ≥ 3.

2) Tån t¹i h×nh thang c©n MNPQ néi tiÕp ®êng trßn (O;3) tho¶ m·n ®ång thêi hai ®iÒu kiÖn

MA + NA + PA + QA >12 vµ MN + NP +PQ +QM <12.

C©u V ( 4 ®iÓm)

Cho nöa ®êng trßn t©m O ®êng kÝnh AB = 2R vµ C lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung AB. LÊy ®iÓm

M tuú ý trªn cung BC ( M kh¸c B). Gäi N lµ giao ®iÓm cña hai tia OC vµ BM; H, I lÇn lît lµ

trung ®iÓm cña c¸c ®o¹n th¼ng AO, AM ; K lµ giao ®iÓm c¸c ®êng th¼ng BM vµ HI.

1) Chøng minh c¸c ®iÓm A, H, K vµ N cïng n»m trªn mét ®êng trßn.

2) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®iÓm M trªn cung BC ( M kh¸c B) sao cho AK = 10

2

R

.