Đề thi HSG tỉnh Đồng Tháp năm 2007

SÔÛ GIAÙO DUÏC VAØ ÑAØO TAÏO ÑOÀNG THAÙP

KYØ THI CHOÏN HOÏC SINH GIOÛI LÔÙP 12 THPT CAÁP TÆNH

NAÊM HOÏC 2007-2008.

Moân thi : Toaùn.

Ngaøy thi : 14/10/2007.

Thôøi gian laøm baøi : 180 phuùt (khoâng keå phaùt ñeà).

(Ñeà thi goàm coù 01 trang).

Baøi 1: (5 ñieåm).

a) Tìm taát caû caùc soá nguyeân m sao cho phöông trình x2

+(m2

-m)x - m3

+1= 0 coù moät

nghieäm nguyeân .

b) Giaûi baát phöông trình

Baøi 2: (5 ñieåm).

a) Giaûi phöông trình 4sin2

5x-4sin2

x+2(sin6x+sin4x)+1=0

b) Cho caùc soá thöïc x1,x2,… ,xn thoûa maõn sin2

x1+2sin2

x2+…+nsin2

xn= a ,vôùi n laø soá nguyeân

döông , a laø soá thöïc cho tröôùc , .Xaùc ñònh caùc giaù trò cuûa x1,x2,… ,xn

sao cho toång S= sin2x1+2sin2x2+…+nsin2xn ñaït giaù trò lôùn nhaát vaø tìm giaù trò lôùn nhaát naøy theo a

vaø n.

Baøi 3: (4 ñieåm).

a) Cho ba soá thöïc a,b,c thoûa abc=1 .Chöùng minh :

b) Cho tam giaùc ABC nhoïn thoûa ñieàu kieän

Chöùng minh raèng ABC laø tam giaùc caân.

Baøi 4: (2 ñieåm).

Cho tam giaùc ABC ,treân caùc caïnh BC,CA,AB laàn löôït laáy caùc ñieåm A’,B’,C’ sao cho AA’,BB’

vaø CC’ ñoàng qui taïi ñieåm M.Goïi S1,S2 vaø S3 laàn löôït laø dieän tích cuûa caùc tam giaùc

MBC,MCA ,MAB vaø ñaët .

Chöùng minh raèng: (y+z-1) S1+(x+z-1)S2 +(x+y-1)S3 =0

Baøi 5: (2 ñieåm).

Cho daõy {un} , n laø soá nguyeân döông , xaùc ñònh nhö sau : .

Tính un vaø chöùng minh raèng u1+u2+…+ un .

Baøi 6: (2 ñieåm).

Cho ña thöùc f(x)=x3

+ax2

+bx+b coù ba nghieäm x1,x2,x3 vaø ña thöùc g(x)=x3

+bx2

+bx+a .Tính toång

S=g(x1)+g(x2)+g(x3) theo a,b. Heát.

1

Ñeà chính thöùc

log2

( 2 −1) +3 +1−log2

( 2 +1) ≤2

x x

2

( 1)

0

+

≤ ≤

n n

a

) cot .

2

2cot (

) cot

2

2cot (

cot (cot 2cot )

gB A B

g

gB A B

g

gA gA gB

−

+

=

+

+

+

z

MC

MC

y

MB

MB

x

MA

MA

= = =

'

,

'

,

'















>

+ −

=

=

+

0

1 1

1

2

1

1

n

n

n

n

u

u

u

u

u

) ]

2

1

[1 (

4

1

−1

≥ + −

π n

2

3

( )

1

( )

1

( )

1

6 2 2 6 2 2 6 2 2

≥

+

+

+

+

a b + c b c a c a b