Đề thi HSG khối 10(có đáp án)

Sở GD – ĐT Bình Định Đề thi HSG khối 10 THPT năm học 2008 - 2009

Trường THPT Trưng Vương Quy Nhơn Môn: TOÁN ( thời gian làm bài 120 phút)

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bài 1: ( 3 điểm)

a) Giải bất phương trình: 1 5 5 2x 4

2x 2

x

x

− < − + .

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 2

y x x x x = + + + − + 1 1 .

Bài 2: ( 3 điểm)

Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z ta có: ( )

3 3 3

2010 2010

4

x y x y

x y z z x y

+ + + + ≤

+ + + +

.

Bài 3: ( 3 điểm)

Cho tam giác ABC có đường cao CH, H∈AB. Các điểm I, K lần lượt là trung điểm của các

đoạn AB và CH . Một đường thẳng d di động luôn song song với cạnh AB cắt cạnh AC tại M và

cạnh BC tại N.

Vẽ hình chữ nhật MNPQ với hai điểm P, Q thuộc cạnh AB. Gọi J là tâm của hình chữ nhật MNPQ.

Chứng minh I, J, K thẳng hàng.

Bài 4:( 1 điểm)

Số 3 2009 n

+ , n là số nguyên dương, có chia hết cho 184 không? hãy chứng minh điều mà

bạn khẳng định.

------------------------------------------------------------Hết---------------------------------------------------------------

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM

Bài Nội dung từng ý Điểm

1.a + Đưa bất phương trình về dạng: 1 1 5 2 4

2 4x

x x

x

     ÷ + < + +  ÷     0,25đ

+ Đặt

1

, 2

2

t x t

x

= + ≥ , x > 0 và tính được

1 2

x 1

4x

+ = − t 0,5đ

+ Viết được bất phương trình theo t: t2 − 5t + 2 > 0 ⇔ ( t > 2 ∨ t <

1

2

(loại)) 0,25đ

+ Viết được bất phương trình

( )

2 3 3 2 4 1 0 2 0 2

2 2

x x x x

 

− + > ⇔ > + ∨ < < −  ÷  

0,5đ

1.b + Nhận xét: y là tổng của hai biểu thức nhận giá trị dương nên có thể dùng bất đẳng thức

cauchy biến đổi từ TBC sang TBN. 0,25đ

+ Viết được: ( ) ( )

2 2 4 2 4

y x x x x x x ≥ + + − + = + + ≥ 2 1 1 2 1 2 4 0,5đ

+ Đẳng thức xảy ra khi:

2 2

4 2

1 1

0

1 1

x x x x

x

x x

 + + = − +  ⇔ =

 + + =

0,5đ