Đại số banach giao hoán.

MÖC LÖC

Möc löc .......................................................................................... 1

Líi nâi ¦u .................................................................................... 2

Ch÷ìng I: Mët sè ki¸n thùc cì b£n v· Tæpæ ¤i c÷ìng ...... 5

§ 1. ành lþ Hahn - Banach ...................................................... 5

§ 2. nh x¤ li¶n töc .................................................................... 13

§ 3. ành lþ nh x¤ mð ............................................................. 17

Ch÷ìng II: ¤i sè Banach ......................................................... 23

§ 1. C¡c kh¡i ni»m cì b£n ........................................................ 23

§ 2. Phê v  c¡c t½nh ch§t cì b£n cõa ¤i sè Banach ......... 28

Ch÷ìng III: ¤i sè Banach Giao ho¡n................................... 33

§ 1. Ph²p bi¸n êi Gelfand ...................................................... 33

§ 2. Ph²p èi hñp ........................................................................ 37

§ 3. Bi¶n Shilov ........................................................................... 40

K¸t luªn ....................................................................................... 45

T i li»u tham kh£o ...................................................................... 46

1

LÍI NÂI †U

Trong luªn ¡n ÷ñc vi¸t v o n«m 1920 cõa Stefan Banach, æng ¢ h¼nh

thùc hâa kh¡i ni»m b¥y gií ÷ñc bi¸t ¸n nh÷ l  khæng gian Banach,

v  chùng minh nhi·u ành lþ cì sð cõa gi£i t½ch h m. Trong â, ¤i sè

Banach giao ho¡n l  mët kh¡i ni»m cì b£n trong khæng gian Banach.

Qua qu¡ tr¼nh håc tªp t¤i tr÷íng ¤i håc S÷ Ph¤m  ¤i håc  

N®ng, t¡c gi£ ¢ ÷ñc håc qua nhúng ki¸n thùc cì b£n cõa Tæpæ ¤i

c÷ìng, t¡c gi£ bi¸t r¬ng ¤i sè Banach giao ho¡n l  mët v§n · ang

÷ñc r§t nhi·u nh  nghi¶n cùu Tæpæ ¤i sè quan t¥m.

Nhªn th§y t¦m quan trång cõa ¤i sè Banach giao ho¡n v  sü ành

h÷îng cõa th¦y gi¡o Th.S L÷ìng Quèc Tuyºn, t¡c gi£ quy¸t ành chån

nghi¶n cùu · t i ¤i sè Banach giao ho¡n.

2. Möc ½ch cõa · t i: T¼m hiºu sì khai v· ¤i sè Banach giao

ho¡n.

3. èi t÷ñng v  ph¤m vi nghi¶n cùu:

èi t÷ñng nghi¶n cùu: Luªn v«n nghi¶n cùu ¤i sè Banach giao ho¡n

trong khæng gian Banach.

Ph¤m vi nghi¶n cùu: Luªn v«n tr¼nh b y v  chùng minh ÷ñc mët sè

t½nh ch§t cõa c¡c ph²p to¡n trong ¤i sè Banach giao ho¡n.

4. Þ ngh¾a khoa håc v  thüc ti¹n cõa · t i:

¤i sè Banach giao ho¡n ÷ñc ùng döng trong vi»c nghi¶n cùu v·

khæng gian Banach.

¤i sè Banach giao ho¡n ÷ñc ùng döng trong vi»c gi£i quy¸t c¡c b i

to¡n Gi£i t½ch h m.

Vîi möc ½ch tr¶n, khâa luªn ÷ñc chia l m ba ch÷ìng:

Ch÷ìng 1: Mët sè ki¸n thùc cì b£n v· Tæpæ ¤i c÷ìng

Trong ch÷ìng n y, chóng tæi nh­c l¤i mët sè kh¡i ni»m v· tªp hñp

mð, tªp hñp âng, ¡nh x¤ li¶n töc, ...; v  chùng minh mët sè ành lþ li¶n

2

quan nh÷: ành lþ Hahn - Banach, ành lþ nh x¤ mð, ...

Ch÷ìng 2: ¤i sè Banach

Trong ch÷ìng n y, ¦u ti¶n chóng tæi nh­c l¤i mët sè kh¡i ni»m cì

b£n nh÷: ¤i sè phùc, ¤i sè Banach, ¤i sè con, çng c§u phùc, ...Ti¸p

â l  n¶u mët sè kh¡i ni»m nh÷: Phê, gi£i, ...Cuèi còng chóng tæi tr¼nh

b y v  chùng minh mët sè ành lþ li¶n quan.

Ch÷ìng 3: ¤i sè Banach Giao Ho¡n

Trong ch÷ìng n y, tr÷îc ti¶n chóng tæi ÷a ra kh¡i ni»m v· ¤i sè

Banach giao ho¡n, ph²p bi¸n êi Gelfand, ph²p èi hñp, bi¶n Shilov.

Cuèi còng chóng tæi tr¼nh b y v  chùng minh mët sè ành lþ li¶n quan.

Do khuæn khê cõa khâa luªn, mët sè k¸t qu£ cõa c¡c b i b¡o ÷ñc

dòng trong khâa luªn chóng tæi xin ÷ñc tr½ch d÷îi d¤ng Bê ·, khæng

chùng minh.

Sau ¥y l  mët sè k½ hi»u ÷ñc vi¸t trong khâa luªn

Gi£ sû A, B, E l  c¡c khæng gian con cõa khæng gian X. Khi â A l 

bao âng cõa A trong X, A

E

l  bao âng cõa A trong khæng gian con

E, intA l  ph¦n trong cõa A trong X, A\B l  hi»u cõa A v  B.

Gi£ sû V l  khæng gian vectì, x l  mët ph¦n tû cõa V , k x k ÷ñc gåi

l  chu©n cõa x.

Nh¥n dàp n y, cho ph²p t¡c gi£ ÷ñc b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c nh§t

¸n th¦y gi¡o Th.S L÷ìng Quèc Tuyºn. Th¦y ¢ tªn t¼nh h÷îng d¨n t¡c

gi£ trong suèt qu¡ tr¼nh nghi¶n cùu. çng thíi t¡c gi£ xin ch¥n th nh

c£m ìn Ban chõ Nhi»m Khoa To¡n v  c¡c th¦y cæ gi¡o trong Khoa ¢

nhi»t t¼nh gi£ng d¤y, truy·n thö ki¸n thùc trong suèt 4 n«m håc qua.

3

Cuèi còng t¡c gi£ xin c£m ìn t§t c£ c¡c b¤n b± trong lîp 08CTT2 ¢

ëng vi¶n gióp ï v  t¤o i·u ki»n thuªn lñi cho t¡c gi£ trong suèt qu¡

tr¼nh håc tªp v  nghi¶n cùu.

M°c dò ¢ câ nhi·u cè g­ng, nh÷ng v¼ thíi gian v  n«ng lüc cán h¤n

ch¸ n¶n khâa luªn khæng thº tr¡nh khäi nhúng thi¸u sât v· c£ nëi dung

l¨n h¼nh thùc. V¼ vªy t¡c gi£ r§t mong nhªn ÷ñc nhúng líi ch¿ b£o quþ

b¡u cõa c¡c th¦y cæ gi¡o v  nhúng gâp þ cõa b¤n åc.

  N®ng, th¡ng 5 n«m 2012

T¡c gi£

4