Đặc trưng một số lớp vành Artin và vành Noether

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

Đặc trưng một số lớp vành Artin và vành Noether

Đinh Đức Tài

Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số

Mã số: 62. 46. 05. 01

Người hướng dẫn: 1. GS. TSKH. Đinh Văn Huỳnh

2. PGS. TS. Ngô Sỹ Tùng

2011

i

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các kết quả

viết chung với tác giả khác đã được sự nhất trí của đồng tác giả trước

khi đưa vào luận án. Các kết quả nêu trong luận án là trung thực và

chưa từng được ai công bố trong bất kì công trình nào khác.

Tác giả

Đinh Đức Tài

ii

LỜI CẢM ƠN

Luận án được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng

dẫn của GS. TSKH. Đinh Văn Huỳnh (Trường Đại học Ohio, Hoa Kỳ)

và PGS.TS. Ngô Sỹ Tùng (Trường Đại học Vinh). Lời đầu tiên, tác giả

xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TSKH. Đinh Văn Huỳnh,

người Thầy nghiêm khắc và mẫu mực, đã định hướng nghiên cứu và

hướng dẫn tận tình, chú đáo trong suốt thời gian tác giả thực hiện luận

án này.

Xin trân trọng gửi lời cảm ơn sâu sắc tới PGS.TS. Ngô Sỹ Tùng,

người đã thường xuyên quan tâm tạo mọi điều kiện thuận lợi, cùng với

những lời động viên khích lệ tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên

cứu.

Trong quá trình hoàn thành luận án, tác giả đã nhận được nhiều ý

kiến đóng góp quý báu của GS.TSKH. Nguyễn Tự Cường (Viện Toán

học Việt Nam), PGS. TS. Nguyễn Tiến Quang (ĐHSP Hà Nội), GS.TS.

Lê Văn Thuyết (ĐH Huế). Tác giả xin trân trọng cảm ơn.

Xin chân thành cảm ơn sự góp ý và giúp đỡ của các nhà khoa học:

PGS.TS. Nguyễn Thành Quang, PGS.TS. Lê Quốc Hán, TS. Chu Trọng

Thanh, TS. Nguyễn Thị Hồng Loan đã dành cho tác giả trong quá trình

viết và chỉnh sửa luận án.

Tác giả xin được gửi lời cảm ơn tới:

Khoa Toán và khoa Đào tạo Sau đại học, Trường Đại học Vinh;

Ban Giám hiệu trường Đại học Hà Tĩnh;

Các thành viên trong nhóm xemina Lý thuyết Vành tại trường ĐH

Vinh;

iii

Trung tâm Lý thuyết Vành và ứng dụng (CRA) thuộc khoa Toán

(Trường Đại học Ohio - Hoa Kỳ) đã tạo điều kiện thuận lợi để tác giả

được sang thực tập, nghiên cứu trong khoảng thời gian 6 tháng hết sức

quý báu (từ tháng 6 đến tháng 12 năm 2008).

Cuối cùng, xin gửi tới gia đình, anh em, bạn bè, lời biết ơn chân

thành về sự động viên, chia sẻ trong suốt thời gian qua. Cảm ơn sự hy

sinh của vợ và hai con - chỗ dựa tinh thần vững chắc giúp tôi vượt qua

mọi khó khăn hoàn thành luận án.

Vinh, tháng 10 năm 2010

Đinh Đức Tài

1

MỤC LỤC

Lời cảm ơn ii

Mục lục 1

Bảng kí hiệu 3

Mở đầu 4

1 Kiến thức chuẩn bị 12

1.1. Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2. Môđun nội xạ, môđun xạ ảnh và các mở rộng . . . . . . . . 17

1.3. Vành Artin, vành Noether và các lớp vành liên quan . . . . 19

2 Vành CS - nửa đơn 23

2.1. Một số bổ đề cần thiết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2. Đặc trưng vành CS - nửa đơn . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3. Kết luận Chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3 QF-vành 35

3.1. Một số bổ đề cần thiết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.2. Đặc trưng QF-vành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.3. Kết luận Chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4 Điều kiện để một số lớp vành trở thành Noether 44

4.1. Một số bổ đề cần thiết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.2. Khi nào một V-vành là Noether . . . . . . . . . . . . . . . 48

2

4.3. Điều kiện để một vành đơn là Noether . . . . . . . . . . . 51

4.4. Khi nào một vành đơn là SI . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.5. Kết luận Chương 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Kết luận của luận án 61

Danh mục các công trình liên quan 62

Tài liệu tham khảo 62

3

BẢNG KÍ HIỆU

Z : Vành các số nguyên

Q : Trường các số hữu tỷ

R : Trường các số thực

C : Trường các số phức

A ⊆⊕ B : A là hạng tử trực tiếp của B

A /− B : A là môđun con cốt yếu của B

A ∼= B : A đẳng cấu với B

A ⊕ B : Tổng trực tiếp của môđun A và môđun B

ACC (DCC) : Điều kiện xích tăng (giảm)

E(M) : Bao nội xạ của môđun M

Soc(M) : Đế của môđun M

End(M) :Vành các tự đồng cấu của môđun M

u-dim(M) : Chiều Goldie của môđun M

Ker(f), Im(f) : Hạt nhân, ảnh của đồng cấu f (tương ứng)

M(I)

: ⊕i∈IM (tổng trực tiếp của I bản sao của M)

MR(RM) : M là một R-môđun phải (trái)

Mn(S) : Vành các ma trận vuông cấp n với các hệ tử trên S

Mod-R: Phạm trù các R-môđun phải

Rad(M) : Căn của môđun M

J(R) : Căn Jacobson của vành R

Z(M) : Môđun con suy biến của môđun M