Tương đương Morita cho nửa vành và đặc trưng một số lớp nửa vành

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

TRẦN GIANG NAM

TƯƠNG ĐƯƠNG MORITA CHO NỬA VÀNH

VÀ ĐẶC TRƯNG MỘT SỐ LỚP NỬA VÀNH

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

VINH - 2011

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

TRẦN GIANG NAM

TƯƠNG ĐƯƠNG MORITA CHO NỬA VÀNH

VÀ ĐẶC TRƯNG MỘT SỐ LỚP NỬA VÀNH

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số

Mã số: 62.46.05.01

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

1. PGS. TSKH. NGUYỄN XUÂN TUYẾN

2. PGS. TS. NGÔ SỸ TÙNG

VINH - 2011

i

Mục lục

Lời cam đoan iii

Lời cảm ơn iv

Mở đầu 1

1 Lý do chọn đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2 Mục đích nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3 Đối tượng nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

4 Phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

5 Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

7 Tổng quan và cấu trúc luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

7.1 Tổng quan luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

7.2 Cấu trúc của luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Chương 1. TƯƠNG ĐƯƠNG MORITA 11

1.1 Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2 Vật sinh xạ ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3 Tương đương Morita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.4 Kết luận Chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Chương 2. BẤT BIẾN MORITA VÀ ÁP DỤNG 35

2.1 Nửa vành tự đồng cấu của vị nhóm giao hoán lũy đẳng . . . . . 35

2.2 Bất biến Morita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.3 Áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.4 Kết luận Chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

ii

Chương 3. TÍNH ĐƠN CỦA MỘT SỐ LỚP NỬA VÀNH 56

3.1 Nửa vành được sắp thứ tự dàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.2 Nửa vành nửa đơn cô lập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.3 Nửa vành đầy đủ không có tương đẳng không tầm thường . . . 68

3.4 Kết luận Chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

Chương 4. ĐẶC TRƯNG ĐỒNG ĐIỀU CỦA NỬA VÀNH 83

4.1 Nửa vành nửa đơn và nửa vành cô lập . . . . . . . . . . . . . . 83

4.2 Nửa vành nửa đơn cộng chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.3 Kết luận Chương 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

Kết luận của Luận án 102

Các công trình liên quan đến Luận án 103

Tài liệu tham khảo 104

iii

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các kết quả viết chung

với tác giả khác đã được sự nhất trí của đồng tác giả khi đưa vào luận án. Các

kết quả nêu trong luận án là hoàn toàn trung thực và chưa từng được ai công bố

trong bất kỳ một công trình nào khác.

Trần Giang Nam

iv

Lời cảm ơn

Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nghiêm khắc và đầy trách nhiệm

của PGS. TSKH. Nguyễn Xuân Tuyến và PGS. TS. Ngô Sỹ Tùng. Tác giả xin

bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đến với thầy Nguyễn Xuân Tuyến và thầy

Ngô Sỹ Tùng.

Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới GS. Yefim Katsov, Department of Mathematics

and Computer Science Hanover College, Hanover, IN 47243-0890, USA vì sự

cộng tác viết bài báo chung và giúp đỡ to lớn trong trao đổi tài liệu, thảo luận

những bài toán có liên quan.

Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới TS. Jens Zumbr¨agel, Claude Shannon Institute,

University College Dublin, Ireland vì sự cộng tác viết bài báo chung.

Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới GS. TSKH. Ngô Việt Trung, GS. TSKH. Nguyễn

Tự Cường, GS. TSKH. Lê Tuấn Hoa và PGS. TSKH. Phùng Hồ Hải, đã tạo

điều kiện cho tác giả học tập tại viện Toán học Hà Nội.

Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Khoa Toán học và Khoa Sau đại học - Trường

Đại học Vinh đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình làm nghiên

cứu sinh.

Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Trường Đại học Đồng Tháp nói chung và Khoa

Toán học - Trường Đại học Đồng Tháp nói riêng, nơi tác giả đã công tác và

giảng dạy từ năm 2007 tới nay.

Tác giả xin gửi lời cảm ơn sự giúp đở của các bạn, anh trong Seminar Lý

thuyết vành và môđun tại Trường Đại học Vinh, do PGS. TS. Ngô Sỹ Tùng chủ

trì.

Tác giả xin chân thành cảm ơn tất cả các bạn bè thân hữu luôn động viên và

khích lệ tác giả học tập và hoàn thành luận án.

Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn vô hạn đến Bố, Mẹ, hai em và

những người thân của minh luôn yêu thương, cổ vũ, động viên, chăm lo chu đáo

để tác giả an tâm học tập và nghiên cứu.

Trần Giang Nam

1

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Khái niệm nửa vành được giới thiệu bởi Vandiver [52] vào nằm 1934, là tổng

quát hóa khái niệm vành không giao hoán theo nghĩa không đòi hỏi tính đối xứng

của phép cộng. Kể từ đó, nửa vành được quan tâm nghiên cứu cả về phương

diện lý thuyết lẫn áp dụng. Nhiều tính chất và áp dụng của nửa vành đã được

trình bày trong một số tài liệu như [17], [18], [21].

Luận án này quan tâm đến khái niệm nửa vành như là một tổng quát hóa

khái niệm vành có đơn vị không giao hoán theo nghĩa nói trên.

Một phương pháp để nghiên cứu đối tượng toán học là người ta tìm cách đưa

nó về các đối tượng khác dễ hơn và nghiên cứu các đối tượng này. Chẳng hạn, để

nghiên cứu các hình hình học người ta thường cắt chúng bởi các siêu phẳng và

nghiên cứu các siêu diện. Điều này cũng được tiến hành một cách tương tự cho

các nửa vành, ở đây các siêu phẳng được thay thế bằng các quan hệ tương đẳng

và các siêu diện chính là các nửa vành thương tương ứng. Với mỗi nửa vành R,

luôn tồn tại một tương đẳng ρ trên R sao cho nửa vành thương R/ρ là không

có tương đẳng không tầm thường (hoặc là tương đẳng-đơn); nghĩa là, R/ρ chỉ

có hai tương đẳng tầm thường. Do đó, theo một nghĩa nào đó, nghiên cứu nửa

vành không có tương đẳng không tầm thường giúp ta hiểu một phần nào cấu

trúc của nửa vành R.

Lưu ý rằng với mỗi tương đẳng ρ trên nửa vành R, lớp tương đương 0ρ của

phần tử 0 theo quan hệ ρ, là một iđêan của R; ngược lại, với mỗi iđêan I của R,

nó cảm sinh một tương đẳng Bourne ≡I trên R. Nói cách khác, ta có hai tương

ứng ρ 7−→ 0ρ và I 7−→ ≡I lần lượt là ánh xạ từ tập các tương đẳng trên R đến

tập các iđêan của R và ngược lại. Từ đây, theo một nghĩa nào đó, ta cũng có

thể hiểu được nửa vành không có tương đẳng không tầm thường R thông qua

việc nghiên cứu dàn các iđêan của nó; chẳng hạn, khi R là một vành, hai ánh

xạ trên là các song ánh (chúng là các ánh xạ ngược của nhau), do đó, vành R là

không có tương đẳng không tầm thường nếu và chỉ nếu 0 và R chỉ là hai iđêan

của nó (khi đó, R được gọi là vành đơn). Khẳng định này nói chung không còn

đúng cho các nửa vành. Vì thế, nửa vành chỉ chứa các iđêan tầm thường, được

gọi là không có iđêan không tầm thường, hay là iđêan-đơn.

2

Cấu trúc của các nửa vành giao hoán không có tương đẳng và iđêan không

tầm thường đã được mô tả. Cụ thể, năm 1988, Sidney S. Mitchell - Paul B.

Fenoglio chứng minh được rằng các nửa vành giao hoán không có tương đẳng

không tầm thường chỉ là các trường, hoặc là nửa vành Boole B := {0, 1} ([44,

Theorem 3.2]); dễ dàng thấy rằng các nửa vành giao hoán không có iđêan không

tầm thường chỉ là các nửa trường. Gần đây, năm 2001, R. El Bashir - J. Hurt - A.

Janˇcaˇrík - T. Kepka đã mở rộng hai kết quả trên cho nửa vành giao hoán không

đòi hỏi phần tử không và phần tử đơn vị (xem [4, Theorem 10.1 và Theorem

11.2]). Xin nói thêm, các tính không có tương đẳng, iđêan không tầm thường

của nửa vành giao hoán không đòi hỏi phần tử không và phần tử đơn vị vẫn còn

được quan tâm bởi một số tác giả, chẳng hạn [26], [27], [29], [28],...

Việc nghiên cứu cấu trúc của các nửa vành không giao hoán không có tương

đẳng và iđêan không tầm thường là khó khăn hơn. Đối với nửa vành không có

tương đẳng không tầm thường, năm 2004, C. Monico đã mô tả các nửa vành

(không đòi hỏi phải chứa phần tử không và đơn vị) hữu hạn không có tương

đẳng không tầm thường (xem [45, Theorem 4.1]); nhưng sự mô tả này là không

đầy đủ. Sau đó, năm 2008, J. Zumbragel chỉ mới phân loại được các nửa vành

(không đòi hỏi phần tử đơn vị) hữu hạn không có tương đẳng không tầm thường

(xem [56, Theorem 1.7]). Hơn nữa, các nửa vành không có tương đẳng không

tầm thường bất kỳ đã được nghiên cứu bởi một số tác giả, chẳng hạn, [5], [14],

[15], [25],... Tuy nhiên, việc mô tả một cách đầy đủ nửa vành không có tương

đẳng không tầm thường vẫn chưa làm được.

Đối với nửa vành không có iđêan không tầm thường, năm 1957, Bourne -

Zassenhaus đã mô tả được cấu trúc của nửa vành nửa đơn không có iđêan

không tầm thường và không chứa các iđêan một phía lũy linh khác không; cụ

thể hơn, các nửa vành này chỉ là các nửa vành ma trận trên các nửa thể (xem [8,

Theorem 1]). Năm 1967, Steinfeld - Wiegandt [57] chỉ ra rằng kết quả này vẫn

đúng cho nửa vành nửa đơn không có iđêan không tầm thường. Sau đó, năm

1977, Stone [48] mở rộng kết quả trên cho nửa vành mà nó có thể nhúng được

vào một vành nào đó. Năm 1984, Weinert nghiên cứu tính không có iđêan không

tầm thường cho nửa vành ma trận ([55, Theorem 4.1]) và nửa vành nửa nhóm

([55, Theorem 4.3]). Khái niệm nửa vành mà Weinert xem xét là không đòi hỏi

phần tử đơn vị. Tính đến thời điểm hiện tại, việc phân loại các nửa vành không

có iđêan không tầm thường vẫn là một câu hỏi mở.

Một cách khác để nghiên cứu đối tượng toán học là người ta cố gắng hiểu

cách nó tác động lên các đối tượng khác. Nói cách khác, chúng ta có thể hiểu

được đối tượng toán học nhờ vào phạm trù các biểu diễn của nó. Lý thuyết biểu

diễn (lý thuyết môđun) của nhóm, vành và đại số có thể soi sáng nhiều thông

tin về cấu trúc của chúng. Việc dùng phạm trù những biểu diễn thích hợp để

đặc trưng cấu trúc nửa vành cũng đã được nghiên cứu bởi một số nhà toán học

như T. S. Fofanova, E. B. Katsov, Y. Katsov, M. Takahashi, H. J. Weinert,...

Phạm trù biểu diễn của nửa vành được gọi là phạm trù nửa môđun. Cũng giống

3

như các trường hợp của vành (xem [42]), vị nhóm (xem [39]), dàn phân phối

(xem [16]), các khái niệm nửa môđun thường được sử dụng để đặc trưng nửa

vành là xạ ảnh, phẳng và nội xạ. Ở đây khái niệm nửa môđun xạ ảnh và nội

xạ được định nghĩa theo cách thông thường, còn nửa môđun trái G được gọi là

phẳng (đơn-phẳng) nếu hàm tử − ⊗R G bảo toàn giới hạn ngược hữu hạn (bảo

toàn tính đơn cấu của các đồng cấu). Mọi nửa môđun xạ ảnh là phẳng; chiều

ngược lại là không đúng. Năm 2002, O. Sokratova đã chỉ ra rằng tính xạ ảnh và

tính phẳng của các nửa môđun trên nửa vành giao hoán cộng lũy đẳng là phân

biệt (xem [47, Theorem 3.4]). Năm 2004, Katsov mở rộng kết quả này cho các

nửa vành cộng chính quy như sau: Nếu R là một nửa vành cộng chính quy sao

cho tồn tại một đồng cấu nửa vành từ R lên B, thì tính xạ ảnh và tính phẳng

của các nửa môđun trên R là phân biệt (xem [33, Theorem 5.11]); hệ quả rút ra

từ khẳng định này là: tính xạ ảnh và tính phẳng của các nửa môđun trên nửa

vành giao hoán cộng chính quy R là tương đương khi và chỉ khi R là một vành

hoàn chỉnh (xem [33, Corollary 5.12]). Đồng thời, Y. Katsov còn phát biểu giả

thuyết dưới đây:

Giả thuyết. ([33, Conjecture]) Tính xạ ảnh và tính phẳng của các nửa môđun

trên một nửa vành cộng chính quy R là tương đương khi và chỉ khi R là một

vành hoàn chỉnh.

Đối với các nửa môđun, tính phẳng suy ra tính đơn-phẳng, nhưng chiều ngược

lại nói chung là không đúng. Năm 1978, Bulman-Fleming và McDonwell chỉ ra

rằng một B-nửa môđun trái A là phẳng khi và chỉ khi A là đơn-phẳng, và khi

và chỉ khi A là một nửa dàn phân phối (xem [10, Theorem 3.1]). Năm 1986, E.

B. Katsov mở rộng kết quả này cho các nửa môđun trên Đại số Boole hữu hạn

(xem [59, Theorem 2]). Gần đây nhất, năm 2004, Y. Katsov chứng minh được

rằng khẳng định trên vẫn còn đúng đối với các nửa môđun trên các Đại số Boole

bất kỳ (xem [32, Theorem 3.2]). Đồng thời, Y. Katsov cũng nêu ra bài toán sau:

Bài toán. ([32, Problem 3.9]) Mô tả lớp của các nửa vành sao cho tính phẳng

và tính đơn-phẳng của các nửa môđun trên chúng là tương đương.

Tính đến thời điểm này, giả thuyết và bài toán nêu trên vẫn chưa có lời giải.

Mặt khác, việc dùng nửa môđun nội xạ để nghiên cứu nửa vành cũng đã được

quan tâm (xem [1], [23], [30]), và nhận được những kết quả đáng chú ý sau:

năm 1994, H. Wang chỉ ra rằng mỗi nửa môđun trên nửa vành cộng lũy đẳng

đều nhúng được vào nửa môđun nội xạ nào đó ([53, Theorem]). Năm 1997, Y.

Katsov mở rộng kết quả này cho nửa vành cộng chính quy ([30, Theorem 4.2]).

Năm 2008, S. N. Il’in chứng minh được rằng các nửa vành thỏa mãn điều kiện

Baer và mọi nửa môđun trên đó đều nhúng được vào nửa môđun nội xạ chỉ là

các vành ([23, Theorem 3]). Cuối cùng, J. Ahsan - M. Shabir - H. J. Weinert [1]

đã đặc trưng được nửa vành chính quy von Neumann thông qua các nửa môđun

cyclic p-nội xạ. Nói chung, các kết quả theo hướng này vẫn còn ít.

4

Với các lí do nêu trên, chúng tôi chọn đề tài “Tương đương Morita cho

nửa vành và đặc trưng một số lớp nửa vành” làm đề tài luận án tiến sĩ.

Những vấn đề sau của đề tại được tập trung nghiên cứu:

(1) Mô tả cấu trúc của nửa vành không có tương đẳng không tầm thường và

nửa vành không có iđêan không tầm thường;

(2) Dùng các nửa môđun phẳng, xạ ảnh, nội xạ để nghiên cứu nửa vành nửa

đơn, đặc biệt là hướng đến giải quyết giả thuyết và bài toán nêu trên của Y.

Katsov.

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của Luận án là đặc trưng các tính đơn, không có tương đẳng không

tầm thường và không có iđêan không tầm thường cho các lớp nửa vành chứa

iđêan một phía tối tiểu xạ ảnh, nửa vành cô lập một phía, nửa vành đầy đủ

và nửa vành sắp thứ tự dàn; đặc trưng nửa vành nửa đơn thông qua các nửa

môđun phẳng, xạ ảnh, nội xạ; đồng thời, trả lời giả thuyết ([33, Conjecture]) và

bài toán ([32, Problem 3.9]) nêu trên của Y. Katsov cho nửa vành nửa đơn cộng

chính quy.

3 Đối tượng nghiên cứu

Nửa vành không có tương đẳng không tầm thường, nửa vành không có iđêan

không tầm thường, nửa vành đơn và nửa vành nửa đơn.

4 Phạm vi nghiên cứu

Đại số kết hợp. Lý thuyết nửa vành và nửa môđun.

5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng tương đương Morita để nghiên cứu những vấn đề đặt ra của Luận

án.

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Mở rộng lý thuyết tương đương Morita cho phạm trù nửa vành. Mô tả cấu

trúc nửa vành không có tương đẳng không tầm thường, nửa vành không có iđêan

không tầm thường, nửa vành đơn và nửa vành nửa đơn cho một số lớp nửa vành

5

đặc biệt. Đồng thời, trả lời giả thuyết và bài toán nêu trên của Y. Katsov cho

nửa vành nửa đơn cộng chính quy.

7 Tổng quan và cấu trúc luận án

7.1 Tổng quan luận án

Trước tiên, Luận án xây dựng lý thuyết tương đương Morita cho phạm trù

nửa vành dựa trên lý thuyết tương Morita quen biết của vành kết hợp và vị

nhóm. Định nghĩa 1.3.1 nêu ra khái niệm tương đương Morita cho các nửa vành.

Để đặc trưng được khái niệm tương đương Morita, Luận án mô tả hàm tử hiệp

biến có phù hợp phải giữa các phạm trù nửa môđun. Định lý dưới đây cho thấy

hàm tử này chính là hàm tử tích tenxơ.

Định lý 1.3.5. Với mỗi hàm tử F : MR −→ MS, các phát biểu sau đây là

tương đương:

(i) F có một phù hợp phải;

(ii) F là khớp phải và bảo toàn đối tích;

(iii) Tồn tại duy nhất (sai khác đẳng cấu tự nhiên) một R-S-song nửa môđun

P ∈ |RMS| sao cho các hàm tử − ⊗R P : MR −→ MS và F là đẳng cấu tự

nhiên.

Sử dụng Định lý 1.3.5, Luận án thu được kết quả dưới đây, nó đặc trưng

tương đương Morita cho nửa vành thông qua phạm trù nửa môđun.

Định lý 1.3.12. Với hai nửa vành R và S, các điều kiện sau là tương đương:

(i) R và S là tương đương Morita;

(ii) Hai phạm trù nửa môđun MR và MS là tương đương;

(iii) Hai phạm trù nửa môđun RM và SM là tương đương.

Áp dụng tương đương Morita vào nghiên cứu tính không có tương đẳng không

tầm thường, tính không có iđêan không tầm thường và tính đơn của nửa vành,

Luận án chỉ ra rằng những tính chất này là bất biến qua tương đương Morita.

Định lý 2.2.6. Cho R và S là hai nửa vành tương đương Morita với nhau.

Khi đó, R là không có iđêan không tầm thường (không có tương đẳng không tầm

thường) khi và chỉ khi S là không có iđêan không tầm thường (không có tương

đẳng không tầm thường). Đặc biệt, R là một nửa vành đơn khi và chỉ khi S là

một nửa vành đơn.

Từ Định lý 1.3.5, Định lý 1.3.12 và Định lý 2.2.6, chúng tôi mô tả cấu trúc

nửa vành đơn thông qua các iđêan một phía của nó.

Định lý 2.3.1. Cho R là một nửa vành đơn và I là một iđêan trái khác không.