Thư viện tri thức trực tuyến
Kho tài liệu với 50,000+ tài liệu học thuật
© 2023 Siêu thị PDF - Kho tài liệu học thuật hàng đầu Việt Nam
Đa thức nội suy và ứng dụng.
Nội dung xem thử
Mô tả chi tiết
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
NGUYỄN THỊ HOÀI THƢƠNG
ĐA THỨC NỘI SUY VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Phƣơng pháp toán sơ cấp
Mã số: 60. 46. 01.13
TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Đà Nẵng –Năm 2015
Công trình được hoàn thành tại
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
Người hướng dẫn khoa học: TS Lê Hải Trung
Phản biện 1: TS. Lê Hoàng Trí
Phản biện 2: PGS. TS. Trần Đạo Dõng
Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt
nghiệp thạc sĩ Phương pháp toán sơ cấp họp tại Đại học Đà
Nẵng vào ngày 27 tháng 06 năm 2015.
Có thể tìm hiểu luận văn tại:
- Trung tâm Thông tin – Học liệu, Đại học Đà Nẵng.
- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng
1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Bài toán nội suy là một trong những vấn đề quan trọng của giải
tích số, là công cụ đắc lực của giải tích trong lý thuyết nội suy, lý
thuyết xấp xỉ, lý thuyết điều khiển tối ưu,…Ngoài ra những đặc trưng
cơ bản của nội suy còn được sử dụng trong toán cao cấp, toán ứng
dụng, trong những mô hình thực tế và là một chuyên đề chọn lọc cho
giáo viên và học sinh hệ chuyên toán bậc trung học phổ thông, đầu
năm đại học và cũng là chuyên đề nâng cao cho bậc sau đại học.
Các bài toán nội suy ra đời rất sớm, khởi đầu là các công trình
của Lagrange, Newton, Hermite,…Tuy nhiên việc xây dựng các bài
toán nội suy tổng quát và thuật toán tìm nghiệm của nó cũng như việc
xây dựng lý thuyết nội suy cho đến nay vẫn đang được các nhà toán
học tiếp tục nghiên cứu. Có thể nói bài toán nội suy cổ điển đóng một
vai trò rất quan trọng trong việc thiết lập các đa thức thỏa mãn hệ các
điều kiện ràng buộc đặc biệt. Việc nghiên cứu các bài toán nội suy là
nhằm giải quyết các vấn đề về đa thức và hàm số, đặc biệt là nội suy
bất đẳng thức là một trong những vấn đề khá mới mẻ đối với học sinh
và giáo viên ở các trường trung học phổ thông. Để hiểu sâu hơn về đa
thức nội suy cùng với các ứng dụng của nó và cũng được gợi ý của
giáo viên hướng dẫn - TS Lê Hải Trung, tôi mạnh dạn lựa chọn đề tài
„„Đa thức nội suy và ứng dụng‟‟ cho luận văn thạc sĩ của mình.
2. Mục tiêu nghiên cứu
Đề tài tiến hành nghiên cứu và xây dựng đa thức nội suy trên
một đoạn [a, b] nào đó cho trước, đa thức nội suy Lagrange, đa thức
nội suy Newton của hàm số đã cho. Đồng thời ứng dụng đa thức nội
suy trong việc tính tổng của một dãy cho trước, chứng minh bất đẳng
thức, tính gần đúng, sai số, hệ số của một hàm số...
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu về lý thuyết đa thức nội suy Newton, Lagrange,
Hermitte.
2
Tìm hiểu và xây dựng các ứng dụng của đa thức nội suy để
giải các bài toán.
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là nghiên cứu về đa thức nội suy
Lagrange, đa thức nội suy Newton, đa thức nội suy Hermitte và các
bài toán liên quan.
Phạm vi nghiên cứu là các bài toán xây dựng đa thức nội suy
được xây dựng trên đoạn [a, b] với các điều kiện cho trước và ứng
dụng trong việc tính tổng một dãy, chứng minh bất đẳng thức, tính
gần đúng, sai số, hệ số của một hàm số.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
Trong luận văn, kiến thức sử dụng nằm trong các lĩnh vực sau
đây: Toán học giải tích, phương pháp tính, giải tích số.
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Sau khi cho phép bảo vệ, được sự góp ý của các thầy cô trong
hội đồng, luận văn có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho học sinh,
sinh viên và các đối tượng có mối quan tâm đến lĩnh vực đa thức nội
suy.
7. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được chia thành ba
chương:
Chương 1. SAI SỐ
Chương 2. ĐA THỨC NỘI SUY
Chương 3. ỨNG DỤNG CỦA ĐA THỨC NỘI SUY
3
CHƢƠNG 1
SAI SỐ
1.1. SAI SỐ TUYỆT ĐỐI VÀ SAI SỐ TƢƠNG ĐỐI
1.2. BIỂU DIỄN SỐ GẦN ĐÚNG
1.3. PHÂN LOẠI SAI SỐ
1.3.1. Sai số giả thiết
1.3.2. Sai số phƣơng pháp
1.3.3. Sai số các số liệu
1.3.4. Sai số tính toán
1.4. SAI SỐ CỦA CÁC SỐ LIỆU BAN ĐẦU
1.5. SAI SỐ TÍNH TOÁN
1.5.1. Một số bài toán
Bài toán 1.1 (Bài toán thuận)
Bài toán 1.2 (Bài toán ngược)
Bài toán 1.3 (Xác định biểu thức của sai số tính toán)
1.5.2. Sai số của phép toán cộng, trừ
1.5.3. Sai số của phép tính nhân , chia
1.5.4. Sai số của phép lũy thừa
1.5.5. Sai số của phép tính logarit
CHƢƠNG 2
ĐA THỨC NỘI SUY
2.1. ĐA THỨC NỘI SUY TỔNG QUÁT
2.1.1. Bài toán nội suy tổng quát
Trong thực tế tính toán, người ta thường phải tính giá trị
hàm số
y f x
với
x a, b
trong khi chỉ biết hữu hạn giá trị
y f x i i
, với
x a, b , i 0,1, ,n i , và
i j x x , i j
. Trong
một số trường hợp khác, biểu thức giải tích của hàm số
y f x
trên
a, b
là đã biết nhưng quá phức tạp. Với những trường hợp
4
như vậy, người ta thường xây dựng một hàm số
y P x
tương
đối đơn giản, thoả mãn điều kiện
P x y f x , i i i i 0, 1, , n.
Định nghĩa 2.1. Hệ
n 1
điểm phân biệt
xi
với
x a, b , i 0,1, ,n i
được gọi là
n 1
mốc nội suy.
Hàm số
y P x
có tính chất
P x y , i 0, 1, , n i i
được
gọi là hàm nội suy của hàm số
y f x
ứng với các mốc nội suy
x , i 0, 1, i , n.
Bài toán xây dựng hàm số
y P x
như vậy được gọi là bài
toán nội suy.
Bây giờ xét X là tập hợp các hàm thực xác định trên đoạn
a, b , khi đó X là một không gian véctơ trên . Xét một hệ hàm
n x , n
là một hệ véctơ độc lập tuyến tính trong X.
Trong thực tế người ta thường lấy hệ hàm
n x , n
là
một trong ba hệ sau:
-
n
n x x , n
, vậy ta có hệ
2 n 1, x, x , , x ,
-
nx
n x e , n , vậy ta có hệ
x 2x nx 1, e , e , , e ,
- Hệ
n x
với
2n 2n 1 x cosnx; x sinnx
, như vậy có hệ
1, sinx, cosx, sin2x, cos2x, , sinnx, cosnx,
Giả sử
X x , x , , x 1 0 1 n
là không gian con của
không gian X sinh bởi
n 1
véctơ
0 1 n x , x , , x .
Khi đó
mỗi
P x X n 1
có dạng:
0
( ) ( ),
n
n i i i
i
P x c x c
(2.1)
Định nghĩa 2.2. Ta gọi
P x n
cho bởi (2.1) là một đa thức nội
suy rộng của một hệ hàm
0 1 n x , x , , x .
Ngoài ra nếu có
5
2
0
0
n
i
i
c
thì
P x n
được gọi là đa thức suy rộng thực sự của hệ hàm
i x , i 0, 1, .., n.
Đa thức suy rộng
P x n
cho bởi (2.1) sao cho
P x f x , i 0,1, ,n n i
với
x , i 0, 1, , n i
là hệ
n 1
mốc
nôi suy trên đoạn
a, b
được gọi là đa thức nội suy tổng quát của
hàm số
y f x
ứng với các mốc nối suy
xi
và hệ hàm
i x , i 0, 1, .., n.
2.1.2. Hệ hàm chebyshev
2.1.3. Đa thức nội suy tổng quát
Định lý 2.1. Cho hàm
y f x
bất kỳ xác định trên đoạn [a,
b] và cho hệ n + 1 mốc nội suy {xi}, i = 0, 1,…, n bất kỳ trên đoạn [a,
b]. Khi đó điều kiện cần và đủ để tồn tại đa thức nội suy tổng quát:
Pn(x) = a0φ0(x) +a1φ1(x) +…+ anφn(x) của hàm số f(x) ứng với
mốc nội suy {xi}, i = 0,1,…,n là {φi(x)}, i = 0, 1, …, n là hệ
Chebyshev.
2.2. ĐA THỨC NỘI SUY LAGRANGE
Chúng ta đã chứng minh được sự tồn tại và duy nhất của đa
thức nội suy tổng quát
P x n
của một hàm số
y f x
bất kỳ xác
định trên đoạn
a, b
tương ứng với
n 1
mốc nội suy bất kỳ
x , i 0, 1, , n i
và hệ
n 1
hàm Chebyshev
{ x } i
bất kỳ. Trong
mục này chúng ta mô tả một dạng tường minh của
P x n
trong
trường hợp hệ
{ x }, i 0, 1, , n i
là
n 1
hàm đơn thức quen biết
n
1, x, , x .
2.2.1. Đa thức nội suy Lagrage với các mốc nội suy bất kỳ
Cho
n 1
mốc nội suy phân biệt
x , i 0, 1, , n i
và
n 1
giá
6
trị
f x y , i 0, 1, , n. i i
Hãy xây dựng đa thức
1
n
i
n i
i
P x c x
có
bậc thấp nhất sao cho
P x y . n i i
Đặt
0
0
( )
( )
( )
n
i
i
i j
j n
j i i
i j
x x
x
x x
, j 0, 1, , n.
Khi đó dễ thấy
( ) j x
là một đa thức của ẩn x và
deg ( ) j x n ,
hơn nữa :
0 ,
( )
1 . j
i j
x
i j
Đặt:
0
( ) ( )
n
n j j
j
P x y x
Ta có:
deg P x n n
và
P x y , i 0, 1, , n. n i
Đặt:
1
0
( ) ( )
n
n i i
x x x
, khi đó:
'
1
0
( ) ( )
n
n j j i i
i j
x x x
, j 0, 1, ,n.
Thay
1
( )
n x
và
,
1
( ) n j x
vào biểu thức của
P x n
ta có:
1
'
0 1
( ) ( )
( ). ( )
n
n
n j
j j n j
x
P x y
x x x
(2.5)
Đa thức
P x n
cho bởi (2.5) là một nghiệm của bài toán nêu
trên, nó được gọi là đa thức nội suy Lagrange. Dễ thấy đa thức
P x n
là nghiệm duy nhất của bài toán trên. Thật vậy, giả sử có
Q x n
là đa thức thỏa mãn:
Q x y n j j
với
j 0, 1, , n
và
deg Q x n. n
Khi đó xét
S x Q x – P x n n
là đa thức có ít nhất
n 1
nghiệm
0 1 n x , , , x x
và
deg S x n.
Vậy
Q x P x . n n