Đa thức chebyshev và các dạng toán liên quan.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN QUANG NGHĨA

ĐA THỨC CHEBYSHEV VÀ CÁC

DẠNG TOÁN LIÊN QUAN

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số: 60.46.40

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2015

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: GS. TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU

Phản biện 1: TS. LƯƠNG QUỐC TUYỂN

Phản biện 2: GS. TS. LÊ VĂN THUYẾT

Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp

thạc sĩ khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 10 tháng 01

năm 2015.

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng.

Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng.

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Đa thức có một vị trí rất quan trọng trong Toán học, không

những là đối tượng nghiên cứu của Đại số mà còn là công cụ trong

việc nghiên cứu các vấn đề khác nhau của Giải tích. Trong đó, đa

thức Chebyshev đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết xấp xỉ,

phương trình vi phân, ứng dụng trong đa thức nội suy, . . .

Đối với bậc THPT, các bài toán về đa thức thường xuyên xuất

hiện trong các kì thi học sinh giỏi quốc gia và Olympic quốc tế.

Trong đó, những dạng toán liên quan đến đa thức Chebyshev là

một mảng kiến thức quan trọng cần được khảo sát kĩ lưỡng. Tuy

nhiên, hiện nay đa thức Chebyshev và các dạng toán liên quan vẫn

còn được trình bày ở dạng toán cao cấp liên quan đến lý thuyết

xấp xỉ hàm thực và phức.

Nhằm hệ thống hóa các kiến thức về đa thức Chebyshev và các

bài toán về xấp xỉ Chebyshev, khảo sát một số dạng toán về đẳng

thức với các nút nội suy Chebyshev, định lý Bernstein - Markov và

những dạng toán liên quan khác, giúp các giáo viên THPT và em

học sinh giỏi có một tài liệu chuyên sâu để tìm hiểu, nâng cao kĩ

năng giải quyết các dạng toán liên quan đến đa thức Chebyshev,

tôi chọn đề tài “Đa thức Chebyshev và các dạng toán liên quan”

làm đề tài luận văn.

2

2. Mục đích nghiên cứu

Đề tài “Đa thức Chebyshev và các dạng toán liên quan” được

nghiên cứu với mục đích trình bày tổng quan các kiến thức về đa

thức, hệ thống đầy đủ và chi tiết các kiến thức chuyên sâu về đa

thức Chebyshev và tìm hiểu các dạng toán liên quan.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Các tài liệu về đa thức, các chuyên đề

liên quan đến ứng dụng của đa thức Chebyshev.

Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu từ các tài liệu của giáo viên

hướng dẫn, các bạn học viên trong lớp, các tài liệu sưu tầm được,

đồng thời sử dụng tài liệu trên một số trang web.

4. Phương pháp nghiên cứu

Tổng hợp các tài liệu liên quan đến đa thức Chebyshev, nắm

cốt lõi nội dung kiến thức từ đó sắp xếp trình bày một cách có hệ

thống và khai thác các ứng dụng theo đề tài đã chọn.

5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề

tài

Làm rõ các nghiên cứu đã có, tìm hiểu sâu hơn về đa thức

Chebyshev và các dạng toán liên quan.

3

Tạo được một đề tài phù hợp cho việc giảng dạy và bồi dưỡng

học sinh giỏi ở trường THPT.

6. Cấu trúc luận văn

Luận văn “Đa thức Chebyshev và các dạng toán liên quan” được

trình bày theo cấu trúc như sau:

Mở đầu

Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị

1.1. Đa thức đại số và các tính chất liên quan

1.2. Đa thức lượng giác và các tính chất liên quan

1.3. Các bài toán về xấp xỉ hàm số bởi đa thức

Chương 2. Đa thức Chebyshev và xấp xỉ Chebyshev

2.1. Đa thức Chebyshev loại 1

2.2. Đa thức Chebyshev loại 2

2.3. Xấp xỉ Chebyshev

Chương 3. Một số dạng toán liên quan

3.1. Đẳng thức và bất đẳng thức với nút nội suy Chebyshev

3.2. Định lý Bernstein – Markov

3.3. Một số bài toán liên quan khác

Kết luận

4

CHƯƠNG 1

MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 ĐA THỨC ĐẠI SỐ VÀ CÁC TÍNH CHẤT

LIÊN QUAN

1.1.1 Định nghĩa đa thức đại số

1.1.2 Các phép tính trên đa thức

1.1.3 Các tính chất cơ bản

1.1.4 Ước, ước chung lớn nhất

1.1.5 Một số bài toán phân tích đa thức thành nhân

tử

Bài toán 1.1.

Bài toán 1.2.

Bài toán 1.3.

Bài toán 1.4.

Bài toán 1.5. .

1.2 ĐA THỨC LƯỢNG GIÁC VÀ CÁC TÍNH

CHẤT LIÊN QUAN

1.2.1 Một số đồng nhất thức đại số sinh bởi hàm số

lượng giác

1.2.2 Định nghĩa đa thức lượng giác và tính chất

Một số bài toán minh họa

5

Bài toán 1.6.

Bài toán 1.7.

Bài toán 1.8.

Bài toán 1.9. .

1.3 CÁC BÀI TOÁN VỀ XẤP XỈ HÀM SỐ BỞI

ĐA THỨC

1.3.1 Các công thức nội suy

Bài toán 1.10 (Công thức khai triển Abel).

Bài toán 1.11 (Công thức Taylor).

Bài toán 1.12 (Công thức nội suy Lagrange). Cho x1, x2, . . . , xn

là các số đôi một khác nhau. Tìm tất cả các đa thức bậc ≤ n − 1

thỏa mãn điều kiện

P(xk) = ak ∈ R, k ∈ {1, 2, . . . , n}

cho trước.

Bài toán 1.13 (Công thức nội suy Hermite).

Bài toán 1.14 (Công thức nội suy Hermite). .

1.3.2 Các bài toán xấp xỉ hàm số bởi đa thức

6

Bài toán 1.15. Cho hàm số f (x) và cho tập hợp X gồm n + 1

điểm phân biệt xj (xo < x1 < · · · < xn) trong tập xác định của

hàm số f (x). Hãy tìm một đa thức Pn (x), bậc không quá n sao

cho

P (xj ) = f (xj ),(j = 0, 1, . . . , n)

Bài toán 1.16. Chứng minh rằng đa thức Pn (x) nêu trong Bài

toán 1.15 là duy nhất trong số các đa thức bậc ≤ n.

Bài toán 1.17.

Bài toán 1.18. Cho (n + 1) bộ ba số (xj , yj , dj ),(j = 0, 1, . . . , n)

thỏa mãn điều kiện xo < x1 < · · · < xn. Tìm đa thức Pm (x) bậc

m với (m ≤ 2n + 1) sao cho

Pm (xj ) = yj ; Pm

0

(xj ) = dj ; ∀j ∈ {0, 1, . . . , n}

Bài toán 1.19. Cho y (x) là hàm số khả vi liên tục (n + 1) lần

trong khoảng (0; 1). Gọi Pn (x) là đa thức xấp xỉ của y (x) xác định

theo công thức nội suy Lagrange trên tập X = {xj ; j = 0, 1, . . . , n} ⊆

(0; 1). Hãy xác định độ lệch sai số

Rn+1 (x) := |y (x) − Pn (x)|

trên tập {(0; 1) \X}.

7

CHƯƠNG 2

ĐA THỨC CHEBYSHEV VÀ

XẤP XỈ CHEBYSHEV

2.1 ĐA THỨC CHEBYSHEV LOẠI 1

2.1.1 Định nghĩa

Định nghĩa 2.1. Các đa thức Tn (x),(n ∈ N) xác định như sau:

(

T0 (x) = 1; T1 (x) = x

Tn+1 (x) = 2xTn (x) − Tn−1 (x), ∀n ≥ 1

được gọi là các đa thức Chebyshev loại 1.

Ví dụ 2.1. Các đa thức Chebyshev loại 1 đầu tiên

T0(x) = 1

T1(x) = x

T2(x) = 2x

2 − 1

T3(x) = 4x

3 − 3x

2.1.2 . Tính chất của đa thức Tn (x)

Tính chất 2.1. Với mọi x ∈ [−1; 1], ta có Tn (x) = cos (n arccos x)

Tính chất 2.2. Tn (x) là đa thức bậc n thuộc Z [x] và có hệ số

bậc cao nhất bằng 2

n−1

Tính chất 2.3. Tn (x) là hàm chẵn khi n chẵn và là hàm lẻ khi

n lẻ.

8

Tính chất 2.4. Đa thức Tn (x) có đúng n nghiệm phân biệt trong

[−1; 1] là

xk = cos

2k + 1

2n

π (k = 0, 1, . . . , n − 1)

Tính chất 2.5. a) |Tn (x)| ≤ 1, ∀x ∈ [−1, 1]

b) |Tn (x)| = 1 chỉ tại n + 1 điểm khác nhau trong [−1; 1] là

xk = cos

kπ

n

(k = 0, 1, . . . , n)

Rõ hơn là Tn (xk) = (−1)k

Các điểm xk còn được gọi là các điểm luân phiên Chebyshev.

Tính chất 2.6. Với mọi đa thức P (x) bậc n với hệ số bậc cao

nhất bằng 1, ta đều có

max

−1≤x≤1

|P (x)| ≥ 1

2

n−1

Dấu 00 =00 chỉ xảy ra khi P (x) = Tn

∗

(x) = 1

2

n−1 Tn (x), tức là:

max

−1≤x≤1

|Tn

∗

(x)| là bé nhất trong số các max

−1≤x≤1

|P (x)|.

2.2 ĐA THỨC CHEBYSHEV LOẠI 2

2.2.1 Định nghĩa

Định nghĩa 2.2. Các đa thức Un (x),(n ∈ N) xác định như sau:

(

U0 (x) = 0;U1 (x) = 1,

Un+1 (x) = 2xUn (x) − Un−1 (x), ∀n ≥ 1

được gọi là các đa thức Chebyshev loại 2.