CÔNG THỨC VIÈTE VÀ ỨNG DỤNG doc

Tuyển tập Báo cáo Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu Khoa học lần thứ 7 Đại học Đà Nẵng năm 2010

454

CÔNG THỨC VIÈTE VÀ ỨNG DỤNG

VIÈTE’S FORMULA AND ITS APPLICATIONS

SVTH: Vũ Hứa Hạnh Nguyên

Lớp 07ST, Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm

GVHD: TS. Nguyễn Ngọc Châu

Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm

TÓM TẮT

Mục đích của đề tài này là trình bày các ứng dụng của công thức Viète trong chương trình

Toán bậc Phổ thông.

ABSTRACT

The aim of this topic is to present the applications of Viète’s formula in high – school

mathematics.

1. Mở đầu

Đa thức là một khái niệm cơ bản và quan trọng trong đại số nói riêng và Toán học

nói chung. Bài toán tìm nghiệm của đa thức đã được các nhà Toán học quan tâm nghiên

cứu trong nhiều thế kỉ. Mặc dầu lời giải của bài toán này cho đến nay chỉ mới tìm được đối

với các đa thức bậc nhỏ hơn 5, nhưng nhiều tính chất về nghiệm của đa thức đã được phát

hiện. Một trong những tính chất đó là mối liên hệ giữa các nghiệm và các hệ số của đa

thức, nó được thể hiện bằng một công thức mang tên nhà Toán học người Pháp – công

thức Viète ( Francois Viète 1540 – 1603 ).

Ứng dụng của công thức Viète khá phong phú và hiệu quả. Trong chương trình

Toán học bậc phổ thông, học sinh được học công thức Viète đối với tam thức bậc hai, tuy

nhiên với một thời lượng không nhiều và chỉ ở một mức độ nhất định. Nhằm mục đích

nghiên cứu, tìm hiểu và hệ thống hóa lại một cách đầy đủ các ứng dụng của công thức

Viète trong chương trình Toán bậc phổ thông, tôi chọn đề tài nghiên cứu khoa học của

mình là: “ Công thức Viète và ứng dụng ”.

2. Đa thức và công thức Viète

2.1. Đa thức đối xứng

2.1.1. Định nghĩa

Giả sử A là một vành giao hoán có đơn vị,

1

( ,..., )

n

f x x

là một đa thức của vành

1

,..., A x xn

. Ta bảo

1

( ,..., )

n

f x x

là một đa thức đối xứng của n ẩn nếu

1 2 (1) (2) ( ) ( , ,..., ) ( , ,..., )

n n

f x x x f x x x

với mọi phép thế

1 2 ...

(1) (2) ... ( ) ... ( )

i n

i n

(1) (2) ( ) ( , ,..., )

n

f x x x

suy ra từ

1

( ,..., )

n

f x x

bằng cách thay trong

1

( ,..., )

n

f x x 1

x

bởi