Con đường mới của vật lý - chương 2

Chương II. TƯƠNG TÁC HẤP DẪN

__________________________________________________________________

88

Chương II

TƯƠNG TÁC HẤP DẪN

“Chúng ta có các định luật, nhưng không biết phải quy những định luật đó

về hệ quy chiếu nào, và tất cả lâu đài vật lý của chúng ta dường như được xây dựng trên cát.”

Albert Einstein

2.1. Định luật hấp dẫn và khối lượng quán tính trong trường hấp dẫn.

1. Định luật vạn vật hấp dẫn.

Theo quan niệm hiện hành, tương tác hấp dẫn là một trong 4 tương tác cơ

bản của Tự nhiên tuân theo định luật vạn vật hấp dẫn của Newton:

2 R

M M

F

A B

N = −γ , (2.1)

ở đây MA và MB tương ứng là khối lượng hấp dẫn của vật thể A và vật thể B được

coi như tập trung tại khối tâm của chúng; γ là hằng số hấp dẫn >0; R là khoảng

cách giữa 2 vật thể đó; dấu (–) nói lên rằng đây là tương tác hút nhau. Tuy nhiên,

vì “vật thể” chỉ là một bộ phận cấu thành của thực thể vật lý, nên khái niệm tương

tác ở đây cần phải được hiểu là tương tác giữa 2 thực thể vật lý, bao gồm cả phần

“trường” của nó nữa. Nói cách khác, MA và MB trong công thức (2.1) cần phải

được hiểu là đại lượng đặc trưng cho tương tác hấp dẫn của thực thể vật lý A và

thực thể vật lý B tương ứng.

Hơn nữa, công thức (2.1) cần phải hiểu là được viết trong HQC tuyệt đối

của Newton mà một HQC như vậy lại không thể tồn tại, nếu không, chí ít ra cũng

phải cho rằng vì một lý do nào đó, khoảng cách giữa 2 vật thể không thay đổi.

Trong trường hợp 2 vật chuyển động lại gần nhau dưới tác động của lực hấp dẫn

này mà muốn xác định các thông số động học của chúng thì không thể nào bỏ qua

Chương II. TƯƠNG TÁC HẤP DẪN

__________________________________________________________________

89

HQC được. Vì chỉ xem xét 2 vật thể “cô lập” nên có lẽ chỉ có 2 cách lựa chọn khả

dĩ đặt HQC: hoặc đặt trên các vật thể, hoặc đặt tại khối tâm hay tâm quán tính

chung của chúng. Trường hợp thứ nhất, ta có HQC thực còn trường hợp thứ hai ta

có HQC ảo. Ta sẽ xét cả 2 trường hợp.

2. Khối lượng quán tính chung.

Giả sử có HQC với gốc tọa độ đặt tại trọng tâm của vật thể A với trục 0X

trùng với đường nối trọng tâm của 2 vật thể như được chỉ ra trên Hình 2.1a. Khi

đó, tính đến chiều của các véc tơ đã được chỉ ra, ta viết lại biểu thức (2.1) dưới

dạng véc tơ:

FAB

AB

A B

AB R

M M

F e

2

= γ . (2.2)

a) HQC đặt trên vật thể A.

b) HQC đặt trên vật thể B.

Hình 2.1. Tương tác trong HQC thực.

0

X

gBA

FBA

Vật thể A

Vật thể B

RBA

eFBA

0 X

Y

gAB

FAB

Vật thể A

Vật thể B

RAB

eFAB

X

Chương II. TƯƠNG TÁC HẤP DẪN

__________________________________________________________________

90

ở đây eFAB là véc tơ đơn vị có hướng trùng với hướng của véc tơ lực tác động FAB.

Nếu tính đến gia tốc chuyển động tương đối của vật thể B bằng:

FAB

AB

AB dt

d R

g e

2

2

= , (2.3)

ta có thể xác định được khối lượng quán tính của vật thể B trong trường lực thế

của vật thể A theo công thức (1.54), cụ thể là:

AB

AB

AB

g

F

m = . (2.4)

Tương tự như vậy khi HQC đặt tại trọng tâm của vật thể B, ta có thể viết được các

biểu thức tương tự như (2.2) – (2.4), chỉ đổi lại trật tự chỉ số dưới “AB” thành “BA”:

FBA

BA

A B

BA R

M M

F e

2

= γ , (2.5)

FBA

BA

BA dt

d R

g e

2

2

= , (2.6)

BA

BA

BA

g

F

m = . (2.7)

So sánh các biểu thức (2.2) và (2.3) với các biểu thức (2.5) và (2.6), ta có

nhận xét là cho dù 2 vật thể khác nhau ở khối lượng hấp dẫn (MA ≠ MB) nhưng lực

tác động của vật thể này lên vật thể kia, hay gia tốc chuyển động tương đối giữa

chúng vẫn bằng nhau về giá trị, chỉ khác nhau về hướng:

FAB = −FBA , (2.8)

g AB = −gBA , (2.9)

Chương II. TƯƠNG TÁC HẤP DẪN

__________________________________________________________________

91

mà điều này sẽ dẫn đến hậu quả là khối lượng quán tính của chúng xác định theo

các biểu thức (2.4) và (2.7) cũng phải bằng nhau:

mAB ≡ mBA = m . (2.10)

Vì vậy, ta sẽ gọi các đại lượng này là khối lượng quán tính chung của 2 vật thể

chuyển động trong trường hấp dẫn. Vấn đề đặt ra là khối lượng quán tính này liên

hệ như thế nào với các khối lượng hấp dẫn của 2 vật thể? Để làm được việc này,

ta sẽ sử dụng tới HQC ảo đã nói tới ở mục 1.3.2.

3. Khối lượng quán tính riêng và quan hệ của nó với khối lượng quán

tính chung.

Chúng ta sẽ xem xét trường hợp HQC ảo đặt tại khối tâm hay tâm quán tính

chung của 2 vật thể như được mô tả trên Hình 2.2. Khi đó, lực tác động đặt lên

mỗi vật, như đã biết, vẫn không thay đổi và do đó vẫn được xác định theo các biểu

thức (2.2) và (2.5), tuy nhiên, gia tốc chuyển động của chúng trong HQC này sẽ

khác nhau, ký hiệu là gB và gA và gọi là gia tốc tuyệt đối. Nhưng vì gia tốc chuyển

động tương đối giữa chúng, về nguyên tắc, không thể phụ thuộc vào HQC nên ta

phải có:

gA + gB = gAB = gBA . (2.11)

Hình 2.2. HQC ảo đặt tại khối tâm chung của hệ 2 vật thể

X

0

Y

gA

FBA

Vật thể A

Vật thể B

RBA=RAB

FAB

gB

RA RB

A B

eFAB eFBA

Chương II. TƯƠNG TÁC HẤP DẪN

__________________________________________________________________

92

Khi đó, đối với khối lượng quán tính của các vật thể A và B trong HQC khối tâm

có thể viết tương tự như với các biểu thức (2.4) và (2.7), chỉ cần thay gia tốc

tương đối bằng gia tốc tuyệt đối:

A

BA mA

g

F

= ;

B

AB mB

g

F

= (2.12)

và gọi là khối lượng quán tính riêng của mỗi vật. Có thể viết lại (2.12) dưới dạng

vô hướng vì các đại lượng véc tơ ở đây chỉ nằm trên cùng một đường thẳng còn

dấu của gia tốc đã được tính đến trong biểu thức (2.11):

A

N

A m

F

g = ,

B

N

B m

F

g = , (2.13)

ở đây FN = FAB = FBA . (2.14)

Thay (2.14) vào (2.11) rồi biến đổi đi ta được:















 +

= =

A B

A B

AB BA N m m

m m

g g F . (2.15)

Thay biểu thức (2.15) vào các biểu thức (2.4) hoặc (2.7), ta nhận được:

A B

A B

AB BA

m m

m m

m m

+

= = . (2.16)

Công thức (2.16) cho ta quan hệ giữa khối lượng quán tính chung được xác định

trong HQC thực đặt trên một trong hai vật thể với các khối lượng quán tính riêng

được xác định trong HQC ảo – khối tâm hay là tâm quán tính của chúng.

4. Quan hệ giữa khối lượng quán tính và khối lượng hấp dẫn.

Từ khái niệm về tâm quán tính, ta có thể viết lại (1.31) dưới dạng đạo hàm

của quãng đường:

Chương II. TƯƠNG TÁC HẤP DẪN

__________________________________________________________________

93

dt

dR

m

dt

dR

m

B

B

A

A = . (2.17)

Sau khi giản ước dt, ta lấy tích phân cả 2 vế của (2.17)

∫ ∫ A A = B B m dR m dR

sẽ thu được: mARA = mBRB

. (2.18)

Chia cả 2 vế của (1.47) ở mục 1.3.5 cho 2 vế tương ứng của (2.18), ta có:

k

m

M

m

M

B

B

A

A = = . (2.19)

Hệ số k này đặc trưng cho sự khác nhau giữa khối lượng hấp dẫn và khối lượng

quán tính riêng mà ta sẽ còn bàn tới ngay dưới đây. Bên cạnh đó, có thể viết lại

(2.2) và (2.5) dưới dạng:

FAB B A

AB

A

AB B M

R

M

M γ F = (γ e ) = g 2

, (2.20)

FBA A B

BA

B

BA A M

R

M

M γ F = (γ e ) = g 2

, (2.21)

ở đây ta ký hiệu FAB

AB

B

B

R

M

g e

2

γ γ = , FBA

BA

A

A

R

M

g e

2

γ γ = , (2.22)

và gọi là cường độ tuyệt đối của trường lực thế của thực thể vật lý tương ứng. Vì

γ là đặc trưng của trường lực thế nên ta dùng ký hiệu này làm chỉ số dưới của

cường độ trường lực thế – gγ để phân biệt với gia tốc chuyển động của vật thể

trong trường lực thế g, còn chỉ số “A” hay “B” liền ngay sau đó liên quan trực tiếp

tới vật thể gây nên trường lực thế tương ứng. Cũng chính vì thế, chỉ số dưới “A” và

“B” của cường độ trường lực thế theo (2.22) ngược với chỉ số dưới của gia tốc