Cơ sở groebner và một áp dụng cho phân tích nguyên sơ

i

Lêi cam ®oan

T«i xin cam ®oan r»ng c¸c kÕt qu¶ nghiªn cøu trong luËn v¨n nµy lµ hoµn

toµn trung thùc vµ kh«ng trïng lÆp víi ®Ò tµi kh¸c. Nguån tµi liÖu sö dông

cho viÖc hoµn thµnh luËn v¨n ®· ®­îc sù ®ång ý cña c¸ nh©n vµ tæ chøc. C¸c

th«ng tin, tµi liÖu trong luËn v¨n nµy ®· ®­îc ghi râ nguån gèc.

Th¸i Nguyªn, th¸ng 9 n¨m 2013

Häc viªn

NguyÔn Thïy Trang

X¸c nhËn X¸c nhËn

cña Tr­ëng khoa chuyªn m«n cña ng­êi h­íng dÉn khoa häc

TS. TrÇn Nguyªn An

Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc-tnu.edu.vn/

ii

Lêi c¶m ¬n

LuËn v¨n ®­îc hoµn thµnh d­íi sù chØ b¶o vµ h­íng dÉn tËn t×nh cña TS.

TrÇn Nguyªn An. ThÇy ®· dµnh nhiÒu thêi gian h­íng dÉn vµ gi¶i ®¸p c¸c

th¾c m¾c cho t«i trong suèt qu¸ tr×nh lµm luËn v¨n. T«i xin bµy tá lßng biÕt

¬n s©u s¾c ®Õn thÇy.

T«i xin göi tíi c¸c thÇy c« Khoa To¸n, Khoa Sau ®¹i häc Tr­êng §¹i häc

S­ ph¹m - §¹i häc Th¸i Nguyªn còng nh­ c¸c thÇy c« ®· tham gia gi¶ng d¹y

khãa häc 2011-2013, lêi c¶m ¬n s©u s¾c nhÊt vÒ c«ng lao d¹y dç trong suèt

qu¸ tr×nh gi¸o dôc, ®µo t¹o cña nhµ tr­êng.

T«i xin c¶m ¬n Tr­êng §¹i häc C«ng nghÖ th«ng tin vµ TruyÒn th«ng -

§¹i häc Th¸i Nguyªn, n¬i t«i ®ang c«ng t¸c, ®· t¹o ®iÒu kiÖn cho t«i hoµn

thµnh khãa häc nµy.

T«i xin c¶m ¬n gia ®×nh, b¹n bÌ vµ ng­êi th©n ®· quan t©m, t¹o ®iÒu kiÖn,

®éng viªn, cæ vò ®Ó t«i cã thÓ hoµn thµnh nhiÖm vô cña m×nh.

Th¸i Nguyªn, th¸ng 9 n¨m 2013

Häc viªn

NguyÔn Thïy Trang

Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc-tnu.edu.vn/

iii

Môc lôc

Trang

Lêi cam ®oan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i

Lêi c¶m ¬n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii

Môc lôc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

Më ®Çu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Ch­¬ng 1. KiÕn thøc chuÈn bÞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1. Ph©n tÝch nguyªn s¬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2. ChiÒu vµ ®é cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Ch­¬ng 2. C¬ së Groebner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1. Thø tù tõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2. C¬ së Groebner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3. ThuËt to¸n Buchberger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Ch­¬ng 3. Ph©n tÝch nguyªn s¬ cña c¸c i®ªan trong K[x, y] theo c¬ së

Groebner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.1. C¬ së Groebner cña vµnh K[x, y] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27

3.2. TÝnh to¸n c¸c thµnh phÇn nguyªn s¬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

KÕt luËn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Tµi liÖu tham kh¶o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc-tnu.edu.vn/

1

Më ®Çu

N¨m 1964, Hironaka ®· giíi thiÖu kh¸i niÖm c¬ së chuÈn t¾c cho i®ªan

c¸c chuçi lòy thõa h×nh thøc. Mét n¨m sau, n¨m 1965, Buchberger ®· ®Þnh

nghÜa ®éc lËp mét kh¸i niÖm t­¬ng tù cho i®ªan c¸c ®a thøc mµ «ng gäi lµ

c¬ së Groebner, tªn ng­êi thÇy h­íng dÉn cña Buchberger, h¬n n÷a «ng cßn

®­a ra mét thuËt to¸n tÝnh c¬ së Groebner, lµ thuËt to¸n Buchberger. C¬ së

Groebner nhanh chãng trë thµnh trung t©m cña §¹i sè m¸y tÝnh (Computer

Algebra) vµ lµ c«ng cô h÷u hiÖu trong rÊt nhiÒu bµi to¸n cña §¹i sè giao

ho¸n vµ H×nh häc ®¹i sè.

Trong luËn v¨n nµy, chóng t«i tr×nh bµy vÒ c¬ së Groebner vµ mét ¸p

dông cña c¬ së Groebner ®Ó ph©n tÝch nguyªn s¬ mét i®ªan trong vµnh ®a

thøc K[x, y], víi K lµ mét tr­êng, theo bµi b¸o "Ideal bases and primary

decomposition: case of two variables" cña Lazard [3]. Còng cÇn ph¶i nãi

thªm r»ng, ph©n tÝch nguyªn s¬ cña mét i®ªan lµ mét bµi to¸n quan träng

trong §¹i sè giao ho¸n vµ H×nh häc §¹i sè, ®Æc biÖt lµ ph©n tÝch nguyªn s¬

cña i®ªan trong vµnh ®a thøc víi hÖ sè trªn mét tr­êng.

LuËn v¨n bao gåm ba ch­¬ng. Ch­¬ng mét tr×nh bµy mét sè kiÕn thøc

chuÈn bÞ cña luËn v¨n nh­ ph©n tÝch nguyªn s¬ cña i®ªan trªn vµnh giao

ho¸n, chiÒu cña vµnh, ®é cao cña i®ªan. Ch­¬ng hai tr×nh bµy chi tiÕt vÒ c¬

së Groebner vµ thuËt to¸n Buchberger ®Ó t×m c¬ së Groebner theo thuËt ng÷

cña Robbiano [5]. Ch­¬ng ba tr×nh bµy mét thuËt to¸n cña Lazard vÒ mét ¸p

dông cña c¬ së Groebner trong viÖc t×m ph©n tÝch nguyªn s¬ cña mét i®ªan

trong vµnh ®a thøc hai biÕn K[x, y] víi K lµ mét tr­êng.

Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc-tnu.edu.vn/